1、2018-2019学年山西大学附中高二（下）3月诊断数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，请把答案写在答题纸上）1（5分）下列导数运算正确的是（）A（3x2+2）6x+2B（sinx）cosxCD（2e）x（2e）x2（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD3（5分）已知函数，则f（x）的增区间为（）A（0，1）B（0，e）C（1，+）D（e，+）4（5分）函数yx33x29x（2x2）有（）A极大值5，无极小值B极小值27，无极大值C极大值5，极小值27D极大值5，极小值115（5分）已知函数f（x
2、）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）3xf（2）+lnx，则f（1）的值等于（）ABCD6（5分）若函数f（x）sinxkx存在极值，则实数k的取值范围是（）A（1，1）B1，1C（1，+）D（，1）7（5分）已知函数，则曲线yf（x）上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）ABCD8（5分）函数f（x）ax2+sinx的图象在处的切线方程为yx+b，则b的值为（）ABCD9（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）10（5分）
3、若函数f（x）（x+1）2alnx在区间（0，+）内任取有两个不相等的实数x1，x2，不等式1恒成立，则a的取值范围是（）A（，3）B（，3）C（，3D（，311（5分）已知lnaln3lnc，bd3，则（ab）2+（dc）2的最小值为（）ABCD12（5分）已知直线l为函数yex图象的切线，若l与函数yx2的图象相切于点（m，m2），则实数m必定满足（）AmBm1C1mDm0二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题纸上）13（5分）函数f（x）（x+1）ex的单调减区间是 14（5分）设曲线yex在点（0，1）处的切线与曲线y（x0）上点P的切线垂直，则P的坐标为
4、15（5分）若函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是 16（5分）设函数f（x），g（x），对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则正数k的取值范围是 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知，若直线l过点（2，4）且与f（x）图象相切，求直线l的方程18（12分）已知函数f（x）x2+lnx（1）求函数f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求证：在区间1，+）上，函数f（x）的图象在函数g（x）x3图象的下方19（12分）已知函数f（x）x3ax2+bx（1）当b2时，f（x）在1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当处取得极值，求函数f
5、（x）在1，a上的值域20（12分）已知函数f（x）aln（xa）x2+x（a0）（1）求f（x）的单调区间；（2）若1a2（ln21），求证：函数f（x）只有一个零点x0，且a+1x0a+221（12分）已知函数f（x）alnxx2+（2a1）x（aR）有两个不同的零点（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x22a22（12分）已知函数f（x）2lnx2mx+x2（m0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当m时，若函数f（x）的导函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别为x1，x2（x1x2），线段AB的中点的横坐标为x0，且x1，x2恰为
6、函数h（x）lnxcx2bx的零点求证（x1x2）h（x0）+ln22018-2019学年山西大学附中高二（下）3月诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，请把答案写在答题纸上）1（5分）下列导数运算正确的是（）A（3x2+2）6x+2B（sinx）cosxCD（2e）x（2e）x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的导数，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（3x2+2）6x，A错误；对于B，（sinx）cosx，B错误；对于C，（）（），C正确；对于D，（2e）xln（2e）（2e）x，D错误；故选：C【点评】本题考
7、查导数的计算，关键是掌握导数计算的公式，属于基础题2（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD【分析】根据导函数图象可知，函数在（，0），（2，+）上单调增，在（0，2）上单调减，从而可得结论【解答】解：根据导函数图象可知，函数在（，0），（2，+）上单调增，在（0，2）上单调减，由此可知函数f（x）的图象最有可能的是A故选：A【点评】本题考查导函数与原函数图象的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题3（5分）已知函数，则f（x）的增区间为（）A（0，1）B（0，e）C（1，+）D（e，+）【分析】先确定函数的定
8、义域，然后利用f（x）0求解【解答】解：易知函数f（x）的定义域为（0，+），又，令f（x）0，解之得0xe，故选：B【点评】本题考查函数的单调区间的求法，属于基础题目4（5分）函数yx33x29x（2x2）有（）A极大值5，无极小值B极小值27，无极大值C极大值5，极小值27D极大值5，极小值11【分析】求出y的导函数得到x1，x3（因为2x2，舍去），讨论当2x1时，y0；当1x2时，y0，得到函数极值即可【解答】解：y3x26x90，得x1，x3，由于2x2，则当2x1时，y0；当1x2时，y0，当x1时，y极大值5；x取不到3，无极小值故选：A【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的
9、能力，属于基础题5（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）3xf（2）+lnx，则f（1）的值等于（）ABCD【分析】根据题意，求出函数的导数为f（x）3f（2）+，令x2可得：f（2）3f（2）+，解可得f（2）的值，即可得f（x），令x1计算可得答案【解答】解：根据题意，f（x）3xf（2）+lnx，其导数f（x）3f（2）+，令x2可得：f（2）3f（2）+，解可得f（2），则f（x），则f（1）1，故选：A【点评】本题考查导数的计算公式，注意f（2）为常数，属于基础题6（5分）若函数f（x）sinxkx存在极值，则实数k的取值范围是（）A（1，1）B1，1C（1
10、，+）D（，1）【分析】求出函数的导函数，利用导数为0时左右符号不同的关系，求出k的取值范围【解答】解：函数f（x）sinxkx，f（x）cosxk，当k1时，f（x）0，f（x）是定义域上的减函数，无极值；当k1时，f（x）0，f（x）是定义域上的增函数，无极值；当1k1时，令f（x）0，得cosxk，方程有解，方程的解的两侧导函数的符号不相同，使f（x）在定义域内存在极值；实数k的取值范围是（1，1）故选：A【点评】本题考查了导数知识的运用与函数的极值问题，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力，是中档题7（5分）已知函数，则曲线yf（x）上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）ABCD
11、【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由基本不等式可得切线斜率的范围，结合正切函数的图象可得倾斜角的范围【解答】解：函数的导数为f（x）ex+ex，由ex+ex2，可得切线的斜率不小于，即有切线的倾斜角，），故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用，以及化简能力，属于基础题8（5分）函数f（x）ax2+sinx的图象在处的切线方程为yx+b，则b的值为（）ABCD【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程求得a，代入可得b【解答】解：函数f（x）ax2+sinx的导数为f（x）2ax+cosx，可得图象在处的切线斜率为a+cosa，切线方程为yx
12、+b，可得a，bsin+1，故选：B【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题9（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）【分析】构造函数g（x）exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）exf（x）ex，（xR），则g（x）exf（x）+exf（x）exexf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（
13、x）0，yg（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+3，g（x）3，又g（0）e0f（0）e0413，g（x）g（0），x0故选：A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键10（5分）若函数f（x）（x+1）2alnx在区间（0，+）内任取有两个不相等的实数x1，x2，不等式1恒成立，则a的取值范围是（）A（，3）B（，3）C（，3D（，3【分析】由条件可知f（x）1在（1，+）上恒成立，分离参数得a2x（x+1）1，求出函数的最小值即可得出a的范围【解答】解：1恒成立，f（x）2（x+1）1在（1，+）上恒成立，a2x（x+1
14、）x2x2+x在（1，+）恒成立，令g（x）2x2+x，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x，g（x）g（1）3，a3故选：C【点评】本题考查了函数的恒成立问题研究，函数最值得计算，属于中档题11（5分）已知lnaln3lnc，bd3，则（ab）2+（dc）2的最小值为（）ABCD【分析】lnaln3lnc，化为lnlnc，即a3cbd3，令y3x，y，则（ab）2+（dc）2表示直线yf（x）3x上的点与曲线yg（x）上的点的最小距离的平方利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：lnaln3lnc，化为lnlnc，即a3cbd3，令y3x，y，则（ab）2+（
15、dc）2表示直线yf（x）3x上的点与曲线yg（x）上的点的最小距离的平方设直线yf（x）3x+m与曲线yg（x）相切于点P（x0，y0）不妨取（x00）g（x），3，解得x01可得切点P（1，3），33+m，解得m6切点到直线y3x的距离d（ab）2+（dc）2的最小值故选：B【点评】本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知直线l为函数yex图象的切线，若l与函数yx2的图象相切于点（m，m2），则实数m必定满足（）AmBm1C1mDm0【分析】分别求得两个函数的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得en（1n）m2，且2men，f（
16、m）m+22ln（2m），m0，再由零点存在定理，即可得到所求范围【解答】解：函数yx2的导数为y2x，在点（m，m2）处的切线的斜率为k2m，切线方程为y+m22m（xm），设切线与yex相切的切点为（n，en），即有yex的导数为yex，可得ken，切线方程为yenen（xn），令x0，可得yen（1n）m2，且2men，可得m0，则m2ln（2m）2，设f（m）m+22ln（2m），m0，f（m）10，f（m）递增，且f（1）12ln20，f（）22lne0，f（）22ln0，可得1m故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理
17、的运用，属于中档题二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题纸上）13（5分）函数f（x）（x+1）ex的单调减区间是（，2）【分析】先求函数f（x）得导函数f（x），通过解f（x）0进行解答【解答】解：f（x）（x+2）ex，令f（x）0，解之得x2，故答案为（，2）【点评】本题主要考查利用导数求解函数的单调区间，属于基础题目14（5分）设曲线yex在点（0，1）处的切线与曲线y（x0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）【分析】利用yex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标【解答】解：f（x）ex，f（0）e01yex在
18、（0，1）处的切线与y（x0）上点P的切线垂直点P处的切线斜率为1又y，设点P（x0，y0）1，x01，x0，x01y01点P（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中15（5分）若函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是m1【分析】根据函数f（x）的解析式，分母不为0，列出不等式，不等式等价于函数yex和yxm的图象没有交点，由此求出m的取值范围【解答】解：函数f（x）的定义域为R，exx+m0exxm令yex，yxm，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示；与直线yxm平行的函数曲线yex的斜率为：kex1，x0，
19、此时ye01，切点坐标为（0，1），切线方程为yx+1；要使两个函数图象没有交点，应满足m1，实数m的取值范围是m1故答案为：m1【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题时应根据题意，利用数形结合思想进行解答，是综合性题目16（5分）设函数f（x），g（x），对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则正数k的取值范围是【分析】利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值，利用最值关系进行求解即可【解答】解：对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则等价为恒成立，f（x）x+22，当且仅当x，即x1时取等号，即f（x）
20、的最小值是2，由g（x），则g（x），由g（x）0得0x1，此时函数g（x）为增函数，由g（x）0得x1，此时函数g（x）为减函数，即当x1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1），则的最大值为，则由，得2ekk+1，即k（2e1）1，则，故答案为：【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法进行转化，结合基本不等式以及求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键考查学生的转化和计算能力三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知，若直线l过点（2，4）且与f（x）图象相切，求直线l的方程【分析】设切点为（m，n），求得f（x）的导数，可得切线的斜
21、率和方程，代入点（2，4），解方程可得m，进而得到所求切线方程【解答】解：设切点为（m，n），的导数为f（x）x2，可得切线的斜率为m2，切线方程为y（m3+）m2（xm），代入（2，4）可得4（m3+）m2（2m），解得m1或m2，则切线方程为y4x4或yx+2【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，注意切点的确定，考查直线方程的运用，属于基础题18（12分）已知函数f（x）x2+lnx（1）求函数f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求证：在区间1，+）上，函数f（x）的图象在函数g（x）x3图象的下方【分析】（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数
22、值，进而求出函数的最大值、最小值；（2）构造函数设F（x）x2+lnxx3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）F（1）0可证【解答】解：（1）由f（x）x2+lnx有f（x）x+（2分）当x1，e时，f（x）0f（x）maxf（e）e2+1，f（x）minf（1）（6分）（2）设F（x）x2+lnxx3，则F（x）x+2x2当x1，+）时，F（x）0，且F（1）0故x1，+）时F（x）0x2+lnxx3，得证（12分）【点评】本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性19（12分）已知函数f（
23、x）x3ax2+bx（1）当b2时，f（x）在1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当处取得极值，求函数f（x）在1，a上的值域【分析】（1）求得f（x）的导数，可得3x22ax20在区间1，+）上恒成立，即2ax3x22，在区间1，+）上恒成立，求得不等式右边函数的最小值即可；（2）求得导数，解方程可得a，求得f（x）的导数和极值、端点处的函数值，可得最值【解答】解：（1）f（x）x3ax22xf（x）3x22ax2，因为f（x）在1，+）上是增函数，所以f（x）3x22ax20在区间1，+）上恒成立，即2ax3x22，在区间1，+）上恒成立，令，g（x）在1，+）上单调增函数所以（
24、2）f（x）x3ax2+3xf（x）3x22ax+3，因为处取得极值，所以0，得出a5f（x）3x210x+3（3x1）（x3），令f（x）在1，3上为减函数，在3，5上增函数，又f（1）1，f（5）15，f（x）maxmaxf（1），f（5）15，f（x）minf（3）9，所以，函数f（x）在1，a上的值域为9，15【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查恒成立问题解法，以及化简整理的运算能力，属于中档题20（12分）已知函数f（x）aln（xa）x2+x（a0）（1）求f（x）的单调区间；（2）若1a2（ln21），求证：函数f（x）只有一个零点x0，且a+1x0a+2【分析
25、】（1）先求出函数的导数，得到导函数小于0，从而求出函数的单调区间；（2）根据函数零点的判定定理进行证明即可【解答】解：（1）f（x）x+1，a0，xa，xa0，a（x+1）（xa）0，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减；（2）由1a2（ln21），a+10，a+22ln2，（a+2）ln2，a12ln230，由（1）f（x）在（0，+）单调递减，f（a+1）f（a+2），而f（a+1）aln（a+1a）（a+1）2+（a+1）a2a+a+1（a+1）（a1）0，f（a+2）aln（a+2a）（a+2）2+（a+2）aln2a（a+2）aln2a+2）0，函数f（x）只有一个零点x0，且
26、a+1x0a+2【点评】本题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，函数的零点的判定定理，本题属于中档题21（12分）已知函数f（x）alnxx2+（2a1）x（aR）有两个不同的零点（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x22a【分析】（1）f（x），分以下情况讨论：若a0，若a0，（2）令g（x）f（x）f（2ax），x（0，a）g（x），可得g（x）在（0，a）递增，得：f（x1）f（x2）f（2ax1），即：x1+x22a【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x），若a0，则f（x）0，此时f（x）在（0，+）递减，不符合题意若a0，则
27、由f（x）0，解得：xa，当0xa时，f（x）0，当xa时，f（x）0，此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+）递减；要使函数f（x）alnxx2+（2a1）x（aR）有两个不同的零点只需f（a）alna+a2a0即可令h（a）alna+a2a（a0），h（a）lna+2a，易知h（a）lna+2a在（0，+）递增且h（1）0，存在x0（0，1）使h（x0）0，a（0，x0）时，h（a）递减，a（x0，+）h（a）递增，h（a）alna+a2a（a0），的草图如下：a的取值范围为（1，+）（2）令g（x）f（x）f（2ax），x（0，a）则g（x）alnxx2+（2a1）xaln（2ax）（
28、2a1）（2ax）+（2ax）2，g（x），当0xa时，g（x）0，g（x）在（0，a）递增，而g（a）0，故g（x）g（a）0，故0xa时，f（x）f（2ax）； 不妨设0x1x2，则0x1ax2，02ax1a， 得：f（x1）f（x2）f（2ax1），f（x）在（a，+）递减，x22ax1，即：x1+x22a【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点个数的判断，函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力22（12分）已知函数f（x）2lnx2mx+x2（m0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当m时，若函数f（x）的导函数f（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横
29、坐标分别为x1，x2（x1x2），线段AB的中点的横坐标为x0，且x1，x2恰为函数h（x）lnxcx2bx的零点求证（x1x2）h（x0）+ln2【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，表示出b，令，由得，得，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）由于f（x）2lnx2mx+x2的定义域为（0，+），对于方程x2mx+10，其判别式m24当m240，即0m2时，f（x）0恒成立，故f（x）在（0，+）内单调递增当m240，即m2，方程x2mx+10恰有两个不相等是实根，令f（x）0，得或，此时f（x）单调递增；令f（x）0，得，此时f
30、（x）单调递减综上所述，当0m2时，f（x）在（0，+）内单调递增；当m2时，f（x）在内单调递减，在，内单调递增（2）证明：由（1）知，所以f（x）的两根x1，x2即为方程x2mx+10的两根因为，所以m240，x1+x2m，x1x21又因为x1，x2为h（x）lnxcx2bx的零点，所以，两式相减得，得而，所以（x1x2）h（x0）令，由得，因为x1x21，两边同时除以x1x2，得，因为，故，解得或t2，所以设，所以，则yG（t）在上是减函数，所以，即y（x1x2）h（x0）的最小值为所以【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题
