1、2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二（下）3月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1（5分）i是虚数单位，若z，则等于（）A3i1B3i+1C13iD13i2（5分）函数yln（3x2）上过点（1，0）的切线方程（）Ayx1By3x3Cyx1Dy3x+13（5分）已知等差数列an满足a33，且a1，a2，a4成等比数列，则a5（）A5B3C5或3D4或34（5分）若函数f（x）Asin（x）（A0，0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A1+BC1D5（5分）用数学归纳法证明 1+n
2、（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD6（5分）若函数f（x）x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A0，+）B（，0C（，0）D（0，+）7（5分）已知三棱锥PABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、PB、PC两垂直，若PAPBPC2，则球心O到平面ABC的距离为（）ABC1D8（5分）设aR，若函数yeax+3x，xR有大于零的极值点，则（）ABCa3Da39（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数zax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD410（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于点
3、P，点P在第一象限，O为坐标原点，若OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）ABCD11（5分）设命题p：在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），实数a满足a+（1a）；命题q：函数f（x）x3+x2+9x无极值点；若pq为假，pq为真，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（，0）1，5C（0，1D（，512（5分）已知奇函数f（x）的定义域为（，0）（0，+），f（x）为其导函数，且满足以下条件x0时，f（x）；f（1）；f（2x）2f（x），则不等式2x2的解集为（）A（，）（，+）B（，）C（，+）D（，）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分
4、，共20分，把正确答案填在题中横线上）13（5分）设点P在曲线y2ex+x上，点Q在直线y3x1上，则PQ的最小值为 14（5分）已知函数f（x），则f（x）dx 15（5分）若f（x）xsinx+cosx，则f（3），f（），f（2）的大小关系为 16（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列的前n项和等于，则n 三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数f（x）cos2x+sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f
5、（A），a3，SABC，求b2+c2的值18（12分）已知函数f（x）exalnx（aR）在x处取得极小值，（1）求实数a的值；（2）若在区间，e内存在x0，使不等式f（x）x+m成立，求m的取值范围19（12分）在如图所示的六面体中，底面ABCD是矩形，平面ABEF是以EF为直角腰的直角梯形，且平面ABCD平面ABEF，ADAFBEAB2（1）求证：AC平面DEF；（2）求直线CE和平面DEF所成角的正弦值20（12分）已知函数f（x）plnx+（p1）x2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当p1时，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围21（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等
6、于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x24y的焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由22（12分）对于函数yH（x），若在其定义域内存在x0，使得x0H（x0）1成立，则称x0为函数H（x）的“倒数点”已知函数f（x）lnx，g（x）（x+1）21（1）求证：函数f（x）有“倒数点”，并讨论函数f（x）的“倒数点”的个数；（2）若当x1时，不等式xf（x）mg（x）x恒成立，试求实数m的取值范围2018-2019学年山西省临汾一
7、中、忻州一中高二（下）3月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1（5分）i是虚数单位，若z，则等于（）A3i1B3i+1C13iD13i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案【解答】解：由z，得z，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）函数yln（3x2）上过点（1，0）的切线方程（）Ayx1By3x3Cyx1Dy3x+1【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论【解答】解：点（1，0）在函数yln（3x2）上函数的导数为f
8、（x），当x1时，f（1）3，则切线的斜率kf（1）3，直线过点（1，0）切线方程为y03（x1），即y3x3，故选：B【点评】本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键3（5分）已知等差数列an满足a33，且a1，a2，a4成等比数列，则a5（）A5B3C5或3D4或3【分析】设等差数列an的公差为d，可得a132d，a23d，a43+d，由a1，a2，a4成等比数列，得关于d的方程，求出d，则a5可求【解答】解：设等差数列an的公差为d，则a132d，a23d，a43+d，由a1，a2，a4成等比数列，得a1a4，即（3d）2（32d）（3+d），解得：d0或1，当d0时，a
9、5a3+2d3；当d1时，a5a3+2d5故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题4（5分）若函数f（x）Asin（x）（A0，0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A1+BC1D【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可【解答】解：依题意A1，T2，1，f（x）sin（x），故当x时，f（x）0阴影面积为cos（x）|1故选：C【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题5（5分）用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD【分析】直接利用数学归纳法写出n2时左边的表达式
10、即可【解答】解：用数学归纳法证明（nN+，n1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B【点评】在数学归纳法中，第一步是论证n1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误6（5分）若函数f（x）x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A0，+）B（，0C（，0）D（0，+）【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围【解答】解：函数f（x）x+alnx的定义域为：x0函数f（x）x+alnx的导数为：f（x）1+，当a0时，f（x）0，函数是增函数，当a0时，函数f（x）x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（，0）故选
11、：C【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性，考查计算能力7（5分）已知三棱锥PABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、PB、PC两垂直，若PAPBPC2，则球心O到平面ABC的距离为（）ABC1D【分析】设过A，B，C的截面圆的圆心为O，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，O为ABC的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球心O到平面ABC的距离【解答】解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O，半径为r，球心O到该截面的距离为d，因为PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC2，所以ABBCCA2，且
12、O为ABC的中心，于是2r，得r，又POOORd，解得R，故dR故选：D【点评】本题是基础题，考查球心O到平面ABC的距离，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力8（5分）设aR，若函数yeax+3x，xR有大于零的极值点，则（）ABCa3Da3【分析】根据题意，问题可以转化为f（x）3+aeax0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围【解答】解：设f（x）eax+3x，则f（x）3+aeax，函数在xR上有大于零的极值点，f（x）3+aeax0有正根，当a0时，f（x）3+aeax0，f（x）3+aeax0无实数根，函数yeax+3x，xR无极值点；当a0时，由f（x）
13、3+aeax0，解得xln（），当xln（）时，f（x）0，当xln（）时，f（x）0，xln（）为函数的极值点，ln（）0，解得a3，实数a的取值范围是a3故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，解题时要注意极值点即为导函数等于0的根，从而可以将问题转化为根的存在性问题进行解决属于中档题9（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数zax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD4【分析】已知2a+3b6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+byz（a0，b0）过直线xy+
14、20与直线3xy60的交点（4，6）时，目标函数zax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b12，即2a+3b6，而，故选：A【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值10（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）ABCD【分析】先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率【解答】解：设
15、右焦点F（c，0），则过F且斜率为1的直线l方程为ycx直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限为解得P（，）OFP的面积为，c整理得a3b该双曲线的离心率为故选：C【点评】本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式11（5分）设命题p：在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），实数a满足a+（1a）；命题q：函数f（x）x3+x2+9x无极值点；若pq为假，pq为真，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（，0）1，5C（0，1D（，5【分析】根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行
16、转化求解即可【解答】解：+y+y（）y+（1+y），3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），y（0，）又a+（1a）；ay（，0），即p：a（，0），函数f（x）x2+3（3a）x+9，若f（x）无极值点，则f（x）0恒成立，即判别式9（3a）2360，得（a3）24，即2a32，得1a5，即q：1a5，若pq为假，pq为真，则p，q一个为真命题，一个为假命题，若p真q假则，此时x0若p假q真，则得1a5，综上x0或1a5则a的取值范围是（，0）1，5，故选：B【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键12（5分）已知奇函数f（x）的
17、定义域为（，0）（0，+），f（x）为其导函数，且满足以下条件x0时，f（x）；f（1）；f（2x）2f（x），则不等式2x2的解集为（）A（，）（，+）B（，）C（，+）D（，）【分析】构造函数，研究h（x）的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式【解答】解：令函数，当x0时，f（x），所以h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递减，又f（x）为奇函数，所以函数为偶函数h（x）在（，0）上单调递增，又f（1），f（2x）2f（x），即，所以，解之得故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性解函数不等式，属于中档题目二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填
18、在题中横线上）13（5分）设点P在曲线y2ex+x上，点Q在直线y3x1上，则PQ的最小值为【分析】设与直线y3x1平行的直线y3x+c与曲线2ex+x相切与点（m，n），两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由相切函数平行线间的距离公式可得【解答】解：设与直线y3x1平行的直线y3x+c与曲线y2ex+x相切于点（m，n），则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，2em+13，3m+c2em+m，解得m0，c2，曲线的切线为y3x+2，由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为 故答案为：【点评】本题考查指数函数的导数，涉及切线问题，注意运用转化思想，属中档题14（5分）已知函数f（x），则
19、f（x）dx2【分析】由定积分基本定理及分段函数的应用得：sinxdx（cosx）2，dx的几何意义为第一象限的单位圆的面积，即，故则f（x）dxsinxdx+dx2，得解【解答】解：sinxdx（cosx）2，dx的几何意义为第一象限的单位圆的面积，即，故则f（x）dxsinxdx+dx2，故答案为：2【点评】本题考查了定积分基本定理及分段函数的应用，属中档题15（5分）若f（x）xsinx+cosx，则f（3），f（），f（2）的大小关系为f（）f（2）f（3）【分析】由f（x）f（x）知，函数f（x）为偶函数，得f（3）f（3）又f（x）sin x+xcos xsin xxcos x，从
20、而f（x）在区间（，）上是减函数，得f（）f（2）f（3）f（3）【解答】解：由f（x）f（x）知，函数f（x）为偶函数，因此f（3）f（3）又f（x）sinx+xcosxsinxxcosx，当x（0，）时，f（x）0，x（，）时，f（x）0，f（x）在区间（，）上是减函数，f（）f（2）f（3）f（3），故答案为：f（）f（2）f（3）【点评】本题考察了函数的单调性，偶函数的定义，导数的应用，是一道基础题16（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列的前n项和等于，则n5【分析】根据函数商的导数公式确定a的范围，利用方程求得a值，从而可
21、得有穷数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求得结论【解答】解：函数f（x），g（x）满足，f（x）g（x）f（x）g（x），（ax）0（ax）axlna0，0a1，a+a或a2（舍去）有穷数列是以为首项，为公比的等比数列有穷数列的前n项和等于，n5故答案为：5【点评】本题考查数列与函数的综合，考查导数知识的运用，确定有穷数列是以为首项，为公比的等比数列是关键三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数f（x）cos2x+sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
22、b，c，若f（A），a3，SABC，求b2+c2的值【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）sin（2x+）+，由周期公式可得；（2）由已知条件和（1）的结果可得A，再由面积公式整体可得bc，代入a2b2+c22bccosA即可得解【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）cos2x+sinxcosx+sin2xsin（2x+）+，f（x）的最小正周期T；（2）f（A）sin（2A+）+，sin（2A+）1，A（0，），2A+（，），2A+，解得A，又SABCbcsinAbc，bc4，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA，代入数据可得32b2+c224，解得b2+c221【点评
23、】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及三角函数的周期性和整体思想，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）已知函数f（x）exalnx（aR）在x处取得极小值，（1）求实数a的值；（2）若在区间，e内存在x0，使不等式f（x）x+m成立，求m的取值范围【分析】（1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系建立方程进行求解即可（2）利用参数分离法，构造函数转化为求mh（x）min，即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）e，若f（x）在x处取得极小值，则f（）eeae0，得a1（2）a1，f（x）exlnx，若在区间，e内存在x0，使不等式f（x）x+m成立，
24、即f（x）xm成立，设h（x）f（x）xexlnxx，f（x）xm成立等价为mh（x）min，即可函数的导数h（x）（e1），由h（x）0得（e1）0，得xe，此时函数h（x）为增函数由h（x）0得（e1）0，得x，此时函数h（x）为减函数，即当x时，h（x）取得极小值同时也是最小值h（）（e1）ln1+ln（e1），即h（x）min1+ln（e1），即m1+ln（e1），即实数m的取值范围是（1+ln（e1），+）【点评】本题主要考查导数的应用，结合函数极值和导数之间的关系进行转化，以及构造函数，利用参法分离法转化为最值是解决本题的关键19（12分）在如图所示的六面体中，底面ABCD是矩形，
25、平面ABEF是以EF为直角腰的直角梯形，且平面ABCD平面ABEF，ADAFBEAB2（1）求证：AC平面DEF；（2）求直线CE和平面DEF所成角的正弦值【分析】（1）找到BE中点G，连接CG、AG、FG，证明平面ACG平面DEF，（2）过E做EO垂直于AB于O，以O为坐标原点，AB所在直线为y轴建立坐标系，利用坐标运算求线面角的正弦值【解答】解：（1）证明：去BE中点G，连接CG、AG、FG，AF2，BE4，AFBE，G为BE中点，AFGE，AFGE，AFGB，AFGB，EFBE四边形AFEG为矩形，四边形AFGB为平行四边形，AGFE，FGAB，FGAB，AG不在平面DEF内，FE平面D
26、EF，所以AG平面DEF，四边形AFGB均为平行四边形，FGAB，FGAB，ABCD，ABCD，FGDC，FGDC，四边形CDFG为平行四边形CGDF，又DF平面DEF，CG不在平面DEF内，所以CG平面DEF，又因为AGFGG，所以平面ACG平面DEEF，AC平面DEF（2）过E做EO垂直于AB于O，以O为坐标原点，AB所在直线为y轴建立坐标系，设直线CE和平面DEF所成角为，由（1）知AFCE2，AGBE，BG，ABE60，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，OE平面ABEF，OE平面ABCD，OEBEsin602，FABE，故F点坐标为（0，3，0），D（2，2，0）
27、，C（2，2，0）（2，2，2），（2，1，），（2，2，2），设平面DEF的法向量（x，y，1）则解得（，1）sin|cos|【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知函数f（x）plnx+（p1）x2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当p1时，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论当p1时，当p0时，当0p1时，求出单调区间即可；（2）当p1时，f（x）kx恒成立，1+lnxkxk，令h（x），则kh（x）max，运用导数求出单
28、调区间，进而得到最大值即可【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）+2（p1）x，当p1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调递增；当p0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调递减；当0p1时，令f（x）0，解得x则当0x时，f（x）0；x，时，f（x）0故f（x）在（0，）单调递增，在（，+）单调递减；（2）因为x0，所以当p1时，f（x）kx恒成立，1+lnxkxk，令h（x），则kh（x）max，因为h（x），由h（x）0得x1，且当0x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+）上递减所以h（x）maxh（1）1，故k1【点
29、评】本题考查导数的运用：求单调区间，判断单调性，求最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题21（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x24y的焦点（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由【分析】（）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y10，y20，设F1AB的内切圆的径R，则F1AB的周长4
30、a8，（|AB|+|F1A|+|F1B|）R4R，因此最大，R就最大设直线l的方程为xmy+1，与椭圆方程联立，从而可表示F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为（ab0）则，解得a24，b23，椭圆的标准方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨y10，y20，设F1AB的内切圆的半径R，则F1AB的周长4a8，（|AB|+|F1A|+|F1B|）R4R，因此最大，R就最大，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为xmy+1，由，得（3m2+4）y2+6my90，则|F1F2|（y1y2），令，则m2t21，令f（t）3t
31、+，则f（t）3，当t1时，f（t）0，f（t）在1，+）上单调递增，有f（t）f（1）4，3，即当t1，m0时，3，由4R，得Rmax，这时所求内切圆面积的最大值为故直线l：x1，F1AB内切圆面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出三角形F1AB最大，R就最大是关键，是中档题22（12分）对于函数yH（x），若在其定义域内存在x0，使得x0H（x0）1成立，则称x0为函数H（x）的“倒数点”已知函数f（x）lnx，g（x）（x+1）21（1）求证：函数f（x）有“倒数点”，并讨论函数f（x）的“
32、倒数点”的个数；（2）若当x1时，不等式xf（x）mg（x）x恒成立，试求实数m的取值范围【分析】（1）令m（x）f（x），判断m（x）的零点个数得出倒数点个数；（2）分离参数可得m（x1），利用导数求出h（x）的最大值，从而得出m的范围【解答】解：（1）令f（x）lnx，可得lnx0，故函数f（x）有倒数点等价于方程lnx0有解，令m（x）lnx（x0），则m（x）+0，故m（x）在（0，+）上单调递增，m（1）10，m（e）10，m（x）在（1，e）上必存在一个零点，即方程lnx0有解，f（x）有倒数点m（x）为单调递增函数，m（x）在（0，+）上只有1个零点，f（x）只有1个倒数点（2）
33、xf（x）mg（x）x在1，+）上恒成立，即xlnxm（x21）在1，+）上恒成立当x1时，显然不等式恒成立，当x1时，由xlnxm（x21）可得：m（x1），令h（x），则h（x），令p（x）x2lnx+lnxx2+1，则p（x）2xlnxx+，p（x）2lnx+1，x1，2lnx0，10，p（x）0，p（x）在（1，+）上单调递增，故p（x）p（1）0，p（x）在（1，+）上单调递增，故p（x）p（1）0，h（x）0在（1，+）上恒成立，h（x）在（1，+）单调递减，又当x1时，h（x）1，故h（x）1在（1，+）上恒成立m1【点评】本题考查了函数零点的个数判断，函数单调性的判断与最值的计算，属于中档题
