1、2018-2019学年山西大学附中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题1（3分）若函数f（x）x2，则f（1）（）A1B2C3D42（3分）函数f（x）alnx+x2在x1处取得极值，则a等于（）A2B2C4D43（3分）“因为指数函数yax是增函数（大前提），而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”上面推理错误的原因是（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D大前提和小前提都错误4（3分）设函数f（x）可导，则（）Af（1）Bf（x）Cf（1）Df（x）5（3分）如图，曲线f（x）x2和g（x）2x围成几何图形的面积是（）ABCD46（3分）已知f（x）x3+ax2+（a+6
2、）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A3，6B（3，6）C（，36，+）D（，3）（6，+）7（3分）已知m，n，p，qN*，且m+np+q，由“若an是等差数列，则am+anap+aq”可以得到“若an是等比数列，则amanapaq”用的是（）A归纳推理B演绎推理C类比推理D数学证明8（3分）设f（x），则f（x）dx的值为（）A+B+3C+D+39（3分）设点P是曲线f（x）x2lnx上任意一点，则P到直线x+y+20的距离的最小值为（）AB2CD10（3分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f（x），若对任意的正实数x，都有xf（x）+2f（x）0恒成立，且，则使
3、x2f（x）2成立的实数x的集合为（）ABCD11（3分）函数f（x）x2lnx+ax，若不等式f（x）0恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）AB2a1C3a1D12（3分）已知函数f（x）lnxx2与g（x）（x2）2+m（mR）的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（）A（，1ln2）B（，1ln2C（1ln2，+）D1ln2，+）二、填空题13（3分）函数的单调减区间为 14（3分）古埃及发现如下有趣等式：，按此规律， （nN*）15（3分）已知函数f（x）exalnx在1，2上单调递减，则实数a的取值范围是 16（3分）已知函数f（x）x2+2ax，g（x）4a2
4、lnx+b，设两曲线yf（x），yg（x）有公共点P，且在P点处的切线相同，当a（0，+）时，实数b的最大值是 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设a、bR+且a+b3，求证18已知曲线C：yx2（x0），直线l为曲线C在点A（1，1）处的切线（）求直线l的方程；（）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积19已知函数f（x）+cx+d的图象过点（0，3），且在（，1）和（3，+）上为增函数，在（1，3）上为减函数（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在R上的极值20设函数f（x）lnx+x2ax（1）讨论f（x）的单调性（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，
5、且x1（0，1，求证：21已知函数f（x）x2（a2+a+2）x+a2（a+2）lnx，aR（1）当a1时，求函数yf（x）的单调区间；（2）试判断当a（2，1时，函数yf（x）的零点的个数，并说明理由2018-2019学年山西大学附中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（3分）若函数f（x）x2，则f（1）（）A1B2C3D4【分析】求出原函数的导函数，取x1得答案【解答】解：f（x）x2，f（x）2x+，则f（1）2+13故选：C【点评】本题考查导数的计算，关键是熟记初等函数的求导公式，是基础题2（3分）函数f（x）alnx+x2在x1处取得极值，则a等于（）A
6、2B2C4D4【分析】函数f（x）alnx+x2在x1处取得极值，可得f（1）0，解出即可得出【解答】解：f（x）+2x，函数f（x）alnx+x2在x1处取得极值，f（1）a+20，解得a2经过验证满足题意a2故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（3分）“因为指数函数yax是增函数（大前提），而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”上面推理错误的原因是（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D大前提和小前提都错误【分析】对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a1时，函数是一个增函数，当0a1时，指
7、数函数是一个减函数yax是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解：当a1时，函数是一个增函数，当0a1时，指数函数是一个减函数yax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错故选：A【点评】本题考查演绎推理的基本方法，考查指数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的4（3分）设函数f（x）可导，则（）Af（1）Bf（x）Cf（1）Df（x）【分析】根据导数的定义即可求出【解答】解：因为函数f（x）可导，所以f（1），故选：A【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题5（3分）如图，曲线f（x）x2和g（x）2x围成几何图形的面积是（）ABCD4【分析】
8、利用积分的几何意义即可得到结论【解答】解：由题意，S4，故选：C【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据积分的几何意义，是解决本题的关键6（3分）已知f（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A3，6B（3，6）C（，36，+）D（，3）（6，+）【分析】先求出导数f（x），由f（x）有极大值、极小值可知f（x）0有两个不等实根【解答】解：函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1，所以f（x）3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f（x）0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）0有两个不相等的实数根，0，（2a）243（a
9、+6）0，解得：a3或a6故选：D【点评】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f（x）0有两个不相等的实数根是解题的关键7（3分）已知m，n，p，qN*，且m+np+q，由“若an是等差数列，则am+anap+aq”可以得到“若an是等比数列，则amanapaq”用的是（）A归纳推理B演绎推理C类比推理D数学证明【分析】利用类比推理的定义直接判断【解答】解：m，n，p，qN*，且m+np+q，由“若an是等差数列，则am+anap+aq”，可以得到“若an是等比数列，则amanapaq”用的是类比推理故选：C【点评】本题考查推理类型的判断，考查
10、类比推理的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8（3分）设f（x），则f（x）dx的值为（）A+B+3C+D+3【分析】根据定积分性质可得f（x）dx+，然后根据定积分可得【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，f（x）dx+（），+，故选：A【点评】本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题9（3分）设点P是曲线f（x）x2lnx上任意一点，则P到直线x+y+20的距离的最小值为（）AB2CD【分析】求出平行于直线x+y+20且与曲线yx2lnx相切的切点
11、坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论【解答】解：设P（x，y），则y1（x0）令11，解得x1，y1，即平行于直线yx2且与曲线yx2lnx相切的切点坐标为（1，1）由点到直线的距离公式可得点P到直线x+y+20的距离的最小值d2故选：C【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学思想10（3分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f（x），若对任意的正实数x，都有xf（x）+2f（x）0恒成立，且，则使x2f（x）2成立的实数x的集合为（）ABCD【分析】构造函数h（x）x2f（x），利用函数h（x）的奇偶性、单调性来解不等式【解
12、答】解：令h（x）x2f（x），易知函数h（x）为偶函数，当x0时，h（x）2xf（x）+x2f（x）x（2f（x）+xf（x）0，所以h（x）在（0，+）上为增函数，则h（x）在（，0）上为减函数所以x2f（x）2即，所以，解之得故选：B【点评】本题考查函数的单调性的应用，属于中档题目11（3分）函数f（x）x2lnx+ax，若不等式f（x）0恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）AB2a1C3a1D【分析】利用参数分离法转化为ax+，设h（x）x+，研究函数的极值和单调性，利用数形结合进行转化求解即可【解答】解：由x2lnx+ax0得axx2+lnx，当x0时，等价为ax+，设h（x）x
13、+，（x0），h（x）1+设g（x）x2+1lnx，则g（x）在（0，+）上为减函数，当x1时，g（1）1+1ln10，当x1时，g（x）0，此时h（x）0，h（x）为减函数，当0x1时，g（x）0，此时h（x）0，h（x）为增函数，即当x1时，h（x）取得极大值，此时h（1）1，则h（x）对应的图象如图：要使ax+，的整数解只有两个，则这两个整数解只能为x1，x2，即ya应该满足h（3）ah（2），即3a2，故选：D【点评】本题主要考查函数与方程应用，利用参数分离法进行转化，构造函数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键12（3分）已知函数f（x）lnxx2与g（x）（x2）2
14、+m（mR）的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（）A（，1ln2）B（，1ln2C（1ln2，+）D1ln2，+）【分析】由题意可知f（x）g（2x）有解，即mlnx+在（0，+）有解，求导数，确定函数的单调性，可知m的范围【解答】解：数f（x）lnxx2与g（x）（x2）2+m（mR）的图象上存在关于（1，0）对称的点，f（x）g（2x）有解，lnxx2x2+m，mlnx+在（0，+）有解，m，函数在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，mln+11ln2故选：D【点评】本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为mlnx+在（0，+）有解，属于中档题二、
15、填空题13（3分）函数的单调减区间为【分析】求出导函数，利用导函数的符号小于0，求解即可【解答】解：函数，函数的定义域为：x|x0可得f（x）2x，由2x0，可得x（0，故答案为：（0，【点评】本题考查函数的导数的应用，减函数的解法，考查计算能力14（3分）古埃及发现如下有趣等式：，按此规律，+，（nN*）【分析】先观察再通过计算可归纳推理出答案【解答】解：由，可归纳出：+，故答案为：+，【点评】本题考查了观察能力及归纳推理能力，属简单题15（3分）已知函数f（x）exalnx在1，2上单调递减，则实数a的取值范围是2e2，+）【分析】利用函数单调和导数之间的关系转化为f（x）0恒成立，利用参
16、数分离法进行求解即可【解答】解：函数f（x）exalnx，函数的导数为f（x）ex，若函数f（x）exalnx在区间1，2上单调递减，则等价为f（x）0恒成立，即ex0，即axex，xex是1，2上的增函数即a2e2，故答案为：2e2，+）【点评】本题主要考查函数单调性和导数的关系，利用参数分离法是解决本题的关键，比较基础16（3分）已知函数f（x）x2+2ax，g（x）4a2lnx+b，设两曲线yf（x），yg（x）有公共点P，且在P点处的切线相同，当a（0，+）时，实数b的最大值是【分析】由题意可得f（x0）g（x0），f（x0）g（x0），联立后把b用含有a的代数式表示，再由导数求最值得
17、答案【解答】解：设P（x0，y0），f（x）2x+2a，g（x）由题意知，f（x0）g（x0），f（x0）g（x0），即，解得x0a或x02a（舍），代入得：b3a24a2lna，a（0，+），b6a8alna4a2a（14lna），当a（0，）时，b0，当a（，+）时，b0实数b的最大值是b（）故答案为：【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设a、bR+且a+b3，求证【分析】证法一综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；证法二运用分析的解题方法，执果
18、索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件分析法执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件，从而使问题得证【解答】证明：证法一：（综合法）证法二：（分析法）a、bR+且a+b3，欲证只需证即证即证只需证4（1+a）（1+b）25只需证4（1+a）（1+b）25即证4（1+a+b+ab）25只需证4ab9即证成立成立【点评】运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），由欲知确定需知，求需知利用已知，适时采用由结论到条件的分析方法逆向训练，有利于养成双向考虑问题的良好习惯18已知曲线C：yx2（x0），直
19、线l为曲线C在点A（1，1）处的切线（）求直线l的方程；（）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积【分析】（）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积【解答】解：（）由y2x，则切线l的斜率ky|x1212，切线l的方程为y12（x1）即2xy10；（）如图，所求的图形的面积【点评】本题考查了切线方程的求法和定积分的我几何意义，属于基础题19已知函数f（x）+cx+d的图象过点（0，3），且在（，1）和（3，+）上为增函数，在（1，3）上为减函数（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在R上的极值【分析】（1）函数f（x）在（，1）和（3，
20、+）上为增函数，在（1，3）上为减函数，说明x1，x3是f（x）0的两个根，求导后解方程即可；（2）利用导数求极值，先求函数的导函数，令导函数等于0，解出x的值，为函数的极值点，由已知可得x1是f（x）的极大值点，x3是f（x）的极小值点，然后把极值点代入原函数，求出函数值即可【解答】解：（1）f（x）的图象过点（0，3），f（0）d3，f（x）x2+2bx+c又由已知得x1，x3是f（x）0的两个根，故（8分）（2）由已知可得x1是f（x）的极大值点，x3是f（x）的极小值点f（x）极大值f（x）极小值f（3）6（12分）【点评】本题主要考查了应用导数求函数的极值、导数在函数中的应用，极值的
21、意义，解题时要透彻理解函数与其导函数的关系，熟练运用消元化简的技巧提高解题效率20设函数f（x）lnx+x2ax（1）讨论f（x）的单调性（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1（0，1，求证：【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程2x2ax+10的两个不相等的实根，可得x1+x2，x1x2，则f（x1）f（x2）2lnx1x12+ln2，（x1（0，1），构造函数，利用导数求出函数的最值即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）+2xa，当a0时，f（x）0，则f（x）
22、在（0，+）上单调递增，当a280时，即当0a2时，f（x）0，则f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，令f（x）0，解得x1，x2函数f（x）在（0，）和（，+）上递增，在（，）上递减，综上所述当a2时，f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，函数f（x）在（0，）和（，+）上递增，在（，）上递减，（2）证明：函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程2x2ax+10的两个不相等的实根，x1+x2，x1x2，即a2（x1+x2），x2f（x1）f（x2）lnx1+x12ax1lnx2x22+ax22lnx1x12+ln2，（x1（0，1）设g（x）2lnxx2+ln2，（x
23、（0，1），g（x）2x0，g（x）在（0，1上单调递减，g（x）g（1）ln2，即f（x1）f（x2）ln2【点评】本题考查了利用导数以及函数的单调性极值与最值、考查了等价转化方法、分类讨论的思想方法，考查了构造函数解决问题，考查了推理能力和计算能力，属于难题21已知函数f（x）x2（a2+a+2）x+a2（a+2）lnx，aR（1）当a1时，求函数yf（x）的单调区间；（2）试判断当a（2，1时，函数yf（x）的零点的个数，并说明理由【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的零点的个数即可【解答】解：（1）函数的
24、定义域是（0，+），当a1时，f（x）x22x+lnx，故f（x）x2+0，故函数f（x）在定义域内递增，递增区间是（0，+）；（2）a0时，f（x）x22x（x2）22（x0），由于f（4）0，故函数有且只有1个零点，a1时，由（1）知函数yf（x）在定义域内递增，由于f（e）2e+10，f（e2）0，故函数有且只有1个零点，2a1时，4a21a+20，由于f（x）x（a2+a+2）+，故x（0，a+2）时，f（x）0，函数递增，x（a+2，a2）时，f（x）0，函数递减，x（a2，+）时，f（x）0，函数递增，故xa+2时，函数有最大值是：f（a+2）（a+2）（a+2）2（a2+a+2）
25、+2a2ln（a+2）（a+2）2a2（a+2）+2a2ln（a+2）0，又f（e3）e3（a2+a+2）+3a2（a+2）e3（4）+3a2（a+2）0，故函数有且只有1个零点，1a0或0a1时，a+2a20，故x（0，a2）时，f（x）0，函数递增，x（a2，a+2）时，f（x）0，函数递减，x（a+2，+）时，f（x）0，函数递增，故xa2时，函数取极大值f（a2）a2a22（a+2）+2（a+2）lna2，当1a0或0a1时，a21，f（a2）0，又f（e3）0，故函数有且只有1个零点，综上，a（2，1时函数有且仅有1个零点【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用依据分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
