1、2019-2020学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（4分）下列实数：，0.1414，中，无理数的个数是（）A1个B2个C3个D4个2（4分）6的算术平方根是（）A3BC36D3（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到y轴的距离为（）A3B3C2D24（4分）如图，直线l1l2，140，275，则3等于（）A55B60C65D705（4分）下列计算正确的是（）AB+C2D26（4分）如果直线ykx+b经过一、二、四象限，则有（）Ak0，b0Bk0，b0Ck0，b0Dk0
2、，b07（4分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分，80分，85分，若依次按20%，40%，40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（）A82分B84分C85分D86分8（4分）如图，在RtABC中，A30，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若AD4，则DC的值为（）A1B1.5C2D39（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标（2，1）将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A的坐标为（2，0）则点B的对应点B的坐标为（）A（5，2）B（1，2）C（1，3）D（0，2）10（4分）如图，一次函数ykx+b与y
3、x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（）AB.CD11（4分）如图，AEAB且AEAB，BCCD且BCCD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A50B62C65D6812（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数yx和的图象分别为直线l1、l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，依次进行下去，则点A2019的横坐标为（）A21008B21008C21009D21006二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）1
4、3（4分）|2| 14（4分）如图，ACD是ABC的外角，若ACD135，A75，则B 度15（4分）某中学为了选拔一名运动员参加区运会100m短跑比赛，有甲、乙、丙3名运动员备选，他们100m短跑的平均成绩和方差如下表所示 甲乙丙12.83秒12.85秒12.83s22.11.11.1如果要选择一名成续优秀且稳定的人去参赛，应派 去16（4分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90后，得到线段AB，则点B的坐标为 17（4分）如图，ABC的平分线BF与ABC中ACB的相邻外角ACG的平分线CF相交于点F，过F作DFBC，交AB于D，交AC于E，若BD8cm，DE3cm
5、，求CE的长为 cm18（4分）如图，ABC中，ABAC，BAC54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为 度三、解答题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）计算（1）3（+）（2）+20（10分）解下列二元一次方程组（1）（2）21（6分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，ABDE，ACBD，EFBD，垂足分别为点C、点F，CDBF求证：ABDE22（6分）如图，在ABC中，ABBC，ABC110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求DBA的度数23（8分）
6、在“基善一日捐册”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成如图的统计图（1）本次调查中，一共调查了 名同学：（2）抽查学生捐款数额的众数是 元，中位数是 元：（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款不少于15元的人数24（8分）某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价（元/只）售价（元/只）甲种节能灯3040乙种节能灯3550（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？25（8分）某网络公司推出了一系列上网包月业务，其中的一项业务是10M50元包240小时，且
7、其中每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，小刚和小明家正好选择了这项上网业务（1）当x240时，求y与x之间的函数关系式；（2）若小刚家10月份上网200小时，则他家应付多少元上网费？（3）若小明家10月份上网费用为62元，则他家该月的上网时间是多少小时？26（12分）如图，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B处（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由27（12分
8、）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BAC+BDC180，可证ABDACE易证得ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ；【拓展延伸】（2）如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC若点D
9、是边BC下方一点，BDC90，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为 cm2019-2020学年山东省济南市历城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（4分）下列实数：，0.1414，中，无理数的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据有理数与无理数的定义判断即可【解答】解：是分数，属于有理数；0.1414是有限小数，属于有理数无理数有
10、，共2个故选：B【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数2（4分）6的算术平方根是（）A3BC36D【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，利用定义即可求出结果【解答】解：的平方为6，6算术平方根为故选：D【点评】此题主要考查了算术平方根的概念解题的关键是掌握算术平方根的概念，注意：算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误3（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到y轴的距离为（）A3B3C2D2【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答【解答】解：在平面直
11、角坐标系中，点P（3，2）到y轴的距离为3故选：A【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键4（4分）如图，直线l1l2，140，275，则3等于（）A55B60C65D70【分析】设2的对顶角为5，1在l2上的同位角为4，结合已知条件可推出1440，2575，即可得出3的度数【解答】解：直线l1l2，140，275，1440，2575，365故选：C【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角5（4分）下列计算正确的是（）AB+C2D2【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别化简得出答案【解答】解：
12、A、，符合题意；B、+，无法计算，不合题意；C、2，不合题意；D、，不合题意；故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键6（4分）如果直线ykx+b经过一、二、四象限，则有（）Ak0，b0Bk0，b0Ck0，b0Dk0，b0【分析】根据一次函数ykx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，从而求解【解答】解：由一次函数ykx+b的图象经过第一、二、四象限，又由k0时，直线必经过二、四象限，故知k0再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b0故选：C【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系解答本题注意理解：直线
13、ykx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系k0时，直线必经过一、三象限；k0时，直线必经过二、四象限；b0时，直线与y轴正半轴相交；b0时，直线过原点；b0时，直线与y轴负半轴相交7（4分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分，80分，85分，若依次按20%，40%，40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是（）A82分B84分C85分D86分【分析】根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，xn的权分别是w1，w2，w3，wn，则叫做这n个数的加权平均数进行计算【解答】解：84，故选：B【点评】此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算方法8（4分）如图
14、，在RtABC中，A30，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若AD4，则DC的值为（）A1B1.5C2D3【分析】根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：C90，A30，ABC60，DE垂直平分AB，ADBD4，ABDA30，CBD30，CDBD2，故选：C【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30角的直角三角形的性质此题注意掌握数形结合思想的应用9（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标（2，1）将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A的坐标为（2，0）则点B的对应点B的坐标为（）A（
15、5，2）B（1，2）C（1，3）D（0，2）【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可【解答】解：A（1，3）的对应点的坐标为（2，0），平移规律为横坐标减3，纵坐标减3，点B（2，1）的对应点的坐标为（1，2）故选：B【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键10（4分）如图，一次函数ykx+b与yx+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（）AB.CD【分析】先利用yx+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两
16、个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断【解答】解：把P（m，4）代入yx+2得m+24，解得m2，所以P点坐标为（2，4），所以关于x，y的二元一次方程组的解是故选：D【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标11（4分）如图，AEAB且AEAB，BCCD且BCCD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A50B62C65D68【分析】由AEAB，EFFH，BGAG，可以得到EAFABG，而AEAB，EFAAGB，由此可以证明EFAABG，所以AFBG，AGEF；同理证得BGCDHC，GCDH，CHBG故FHFA+AG
17、+GC+CH3+6+4+316，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积【解答】解：AEAB且AEAB，EFFH，BGFHEABEFABGA90，EAF+BAG90，ABG+BAG90EAFABG，AEAB，EFAAGB，EAFABGEFAABGAFBG，AGEF同理证得BGCDHC得GCDH，CHBG故FHFA+AG+GC+CH3+6+4+316故S（6+4）16346350故选：A【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，是中考常见题型12（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数yx和的图象分别为直线l1、l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交
18、l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，依次进行下去，则点A2019的横坐标为（）A21008B21008C21009D21006【分析】由题意分别求出A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的坐标，找出A2n1的横坐标的规律，即可求解【解答】解：过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，依次进行下去，A1与A2横坐标相同，A2与A3纵坐标相同，当x1时，y1，A2（1，1），当y1时，x2A3（2，1），同理可得：A4（2，2），A5（4
19、，2），A6（4，4），A7（8，4），A8（8，8）A2n1的横坐标为（2）n1，点A2019的横坐标（2）100921009故选：C【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类，找出点A2n1的横坐标是解题的关键二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13（4分）|2|2【分析】先判断2的正负值，在根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求出答案【解答】解：20，|2|2故本题的答案是2【点评】此题主要考查了绝对值的意义和运算，先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号14（4分）如图，ACD是ABC的外角，若A
20、CD135，A75，则B60度【分析】根据三角形的内角与外角之间的关系解答即可【解答】解：ACD是ABC的外角，ACD135，A75，BACDA1357560故答案为：60【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和15（4分）某中学为了选拔一名运动员参加区运会100m短跑比赛，有甲、乙、丙3名运动员备选，他们100m短跑的平均成绩和方差如下表所示 甲乙丙12.83秒12.85秒12.83s22.11.11.1如果要选择一名成续优秀且稳定的人去参赛，应派丙去【分析】选择平均数较大，方差较小的人参赛即可【解答】解：观察表格可知，甲、丙的平均数小于乙的平均数，即甲
21、、丙的100m短跑的平均成绩较好，只要比较甲、丙的方差就可得出正确结果，甲的方差大于丙的方差，丙的成绩优秀且稳定故答案为丙【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定也考查了平均数16（4分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90后，得到线段AB，则点B的坐标为（4，2）【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解【解答】解：AB旋转后位置如图所示B（4，2）【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓
22、住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90，通过画图得B坐标17（4分）如图，ABC的平分线BF与ABC中ACB的相邻外角ACG的平分线CF相交于点F，过F作DFBC，交AB于D，交AC于E，若BD8cm，DE3cm，求CE的长为5cm【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分ABC、ACB的外角，且DEBC，可得DBFDFB，ECFEFC，根据等角对等边得出DFBD，CEEF，根据BDCEDE即可求得【解答】解：BF、CF分别平分ABC、ACB的外角，DBFCBF，FCEFCM，DEBC，DFBCBF，EFCFCM，DBFDFB，FCEEFC，BDFD，EFCE，BDCEFDEF
23、DE，EFDFDEBDDE835，EC5cm故答案为5【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点18（4分）如图，ABC中，ABAC，BAC54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为108度【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出BAO，根据等腰三角形两底角相等求出ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OAOB，根据等边对等角可得ABOBAO，再求出OBC，根据全等三角形的性质可得OBOC，根据等边对等角求出OCBOBC，根据翻
24、折的性质可得OECE，然后根据等边对等角求出COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解【解答】解：如图，连接OB、OC，BAC54，AO为BAC的平分线，BAOBAC5427，又ABAC，ABC（180BAC）（18054）63，DO是AB的垂直平分线，OAOB，ABOBAO27，OBCABCABO632736，AO为BAC的平分线，ABAC，AOBAOC（SAS），OBOC，OCBOBC36，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，OECE，COEOCB36，在OCE中，OEC180COEOCB1803636108故答案为：108【点评】本题考查了线段垂直平分线上
25、的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键三、解答题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）计算（1）3（+）（2）+【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可【解答】解：（1）原式32；（2）原式+24+24+【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次
26、根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍20（10分）解下列二元一次方程组（1）（2）【分析】（1）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可【解答】解：（1）+，可得3x18，解得x6，把x6代入，解得y5，原方程组的解是（2）3+，可得10x50，解得x5，把x5代入，解得y3，原方程组的解是【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用21（6分）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，ABDE，ACBD，EFBD，垂足分别为点C、点F，CDBF求证：ABDE【分析】证明RtABCRtEDF（HL
27、），得出BD，即可得出ABDE【解答】证明：ACBD，EFBD，ABC和EDF为直角三角形，CDBF，CF+BFCF+CD，即BCDF，在RtABC和RtEDF中，RtABCRtEDF（HL），BD，ABDE【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键22（6分）如图，在ABC中，ABBC，ABC110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求DBA的度数【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得AC35，再由线段垂直平分线的性质可求出DBAA，问题得解【解答】解
28、：在ABC中，ABBC，ABC110，AC35，AB的垂直平分线DE交AC于点D，ADBD，DBAA35【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键23（8分）在“基善一日捐册”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成如图的统计图（1）本次调查中，一共调查了30名同学：（2）抽查学生捐款数额的众数是10元，中位数是10元：（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款不少于15元的人数【分析】（1）把所有捐款人数相加即可得出答案；（2）根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用
29、中位数的定义得出即可；（3）用总人数乘以捐款不少于15元的人数所占的百分比即可得出答案【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+530（名）；故答案为：30；（2）这组数据的众数为10元；中位数是10元；故答案为：10，10；（3）根据题意得：600260（人），答：该校学生捐款不少于15元的人数有260人【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据本题也考查了中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想24（8分）某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价（元/只）售
30、价（元/只）甲种节能灯3040乙种节能灯3550（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种节能灯各进了多少只；（2）根据（1）中的答案和表格中的数据可以求得该商场获得的利润【解答】解：（1）设甲种节能灯进了x只，乙种节能灯进了y只，得，答：甲、乙两种节能灯各进40只，60只；（2）由题意可得，该商场获利为：（4030）40+（5035）60400+9001300（元），答：该商场获利1300元【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思
31、想解答25（8分）某网络公司推出了一系列上网包月业务，其中的一项业务是10M50元包240小时，且其中每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，小刚和小明家正好选择了这项上网业务（1）当x240时，求y与x之间的函数关系式；（2）若小刚家10月份上网200小时，则他家应付多少元上网费？（3）若小明家10月份上网费用为62元，则他家该月的上网时间是多少小时？【分析】（1）设当x240时，y与x之间的函数关系式为ykx+b，然后把（240，50）（300，80）代入可得关于k、b的方程组，再解即可；（2）根据图象可直接得到答案；（3）把y62代入（1）的结论解答即可【解答】解：（
32、1）设当x240时，y与x之间的函数关系式为ykx+b，图象经过（240，50）（300，80），解得，当x240时，y与x之间的函数关系式为：y0.5x70；（2）根据图象可得小刚家10月份上网200小时，应交费50元；（3）把y62代入y0.5x70，得0.5x7062，解得x264，答：他家该月的上网时间是264（小时）【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，能从图象中获取重要信息26（12分）如图，直线yx+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B处（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的
33、表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）令x0可得点B的坐标，令y0可得点A的坐标；（2）先根据勾股定理求AB的长，由折叠可得BMBM4，设OMa，则BMBM8a，由勾股定理列式得：a2+42（8a）2，解方程可得a的值，利用待定系数法求AM的解析式；（3）分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定和性质求得即可【解答】解：（1）当x0时，y8，B（0，8），当y0时，x+80，x6，A（6，0）；（2）在RtAOB中，AOB90，OA6，OB8，AB10，由折叠得：ABAB10，OB106
34、4，设OMa，则BMBM8a，由勾股定理得：a2+42（8a）2，a3，M（0，3），设AM：ykx+b，则，解得：，直线AM的解析式为：yx+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形是等腰二角形，如图M（0，3），B（4，0），BM5，当PBBM时，P1（9，0），P2（1，0）；当BMPM时，P3（4，0），当PBPM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交BM与Q，易证得P4BQMBO，则，即，P4B，OP44，P4（，0），综上，P点的坐标为（9，0）或（1，0）或（4，0）或（，0）【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及折叠的性质、待定系数法、勾股定理等知识在（1
35、）中利用函数与坐标轴的交点列方程是解题的关键，在（2）中求得M点的坐标是解题的关键，（3）中分类讨论是解题的关键，难度适中27（12分）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BAC+BDC180，可证ABDACE易证得ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关
36、系根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是DADC+DB；【拓展延伸】（2）如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC若点D是边BC下方一点，BDC90，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为cm【分析】（1）由等边三角形知ABAC，BAC60，结合BDC120知ABD+ACD180，由ACE+ACD180知ABDACE，证ABDACE得ADAE，BADCAE，再证ADE是等边三角形得DADEDC+CEDC+DB（2）延长DC到点E，
37、使CEBD，连接AE，先证ABDACE得ADAE，BADCAE，据此可得DAEBAC90，由勾股定理知DA2+AE2DE2，继而可得2DA2（DB+DC）2；（3）由直角三角形的性质知QNMN7，MQ7，利用（2）中的结论知PQQN+QM7+7，据此可得答案【解答】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CEBD，连接AE，ABC是等边三角形，ABAC，BAC60，BDC120，ABD+ACD180，又ACE+ACD180，ABDACE，ABDACE（SAS），ADAE，BADCAE，ABC60，即BAD+DAC60，DAC+CAE60，即DAE60，ADE是等边三角形，DADEDC+CEDC+D
38、B，即DADC+DB，故答案为：DADC+DB；（2）DADB+DC，如图2，延长DC到点E，使CEBD，连接AE，BAC90，BDC90，ABD+ACD180，ACE+ACD180，ABDACE，ABAC，CEBD，ABDACE，ADAE，BADCAE，DAEBAC90，DA2+AE2DE2，2DA2（DB+DC）2，DADB+DC；（3）如图3，连接PQ，MN14，QMN30，QNMN7，MQ7，由（2）知PQQN+QM7+7，PQ，故答案为：【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键
