2018-2019学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合Ax|x22x30，Bx|2x0则AB（）A3，2）B（2，3C1，2）D（1，2）2（5分）复数z（1+i）2在复平面内对应的点在（）A实轴上B虚轴上C第一象限D第二象限3（5分）已知A（1，1），B（1，3），C（x，5），若，则x（）A2B3C2D54（5分）若角是第四象限角，满足，则sin2（）ABCD5（5分）设实数ab0，c0，则下列不等式一定正确的是（）ABcacbCacbc0D6（5分）已知两个不

2、同的平面，和两条不同的直线a，b满足a，b，则“ab”是“（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）函数f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则该函数的图象（）A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称8（5分）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A0.5B0.6C0

3、.7D0.89（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），且函数f（x）在（，0）上是减函数，若af（1），bf（log2），cf（20.3），则a，b，c的大小关系为（）AcbaBacbCbcaDabc10（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）ABCD11（5分）若双曲线的一条渐近线被圆x2+（y2）22所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）AB2CD12（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f

4、（x+2）f（x），当0x1时，f（x）x2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（）A2019B0C1D1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）抛物线y24x上的点P（4，m）到其焦点的距离为 14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B，b，a1，则c 15（5分）若面数f（x）的最小值为f（2），则实数a的取值范围为 16（5分）一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必

5、考题，每题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共60分.17（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F2FB（）求证：A1C1D1D；（）求平面AEF与平面AA1D1D所成锐二面角的余弦值18（12分）已知数列an满足a11，an+1an2n+2（）证明：数列an+2n是等差数列；（）求数列an的前n项和Sn19（12分）第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到A、B、C三个不同的岗位服

6、务，每个岗位至少有一名志愿者（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（2）设随机变量为这四名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列及数学期望E20（12分）已知函数f（x）（2x24ax）lnx，aR（）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（）当a1时，若函数g（x）f（x）+x2在x1，+）上有两个不同的零点，求a的取值范围21（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2+y2相切于点M（，）（）求椭圆E的标准方程；（）设椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率存在的直线L与椭E相交于A点，且|AF2|+|BF2|2|AB|，求直线L的方程（二

7、）选考题：共10分考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l经过坐标原点O，曲线C1的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）求l与C1的极坐标方程；（2）设l与C1的交点为O、A，l与C2的交点为O、B，且，求值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x+a|（）当a1时，求不等式f（x）2x的解集；（）当不等式f（x）1的解集为R时，求实数a的取值范围2018-2019学年陕西省汉中市高二（下）期末数学试卷（

9、答】解：z（1+i）21+2i+i22i，复数z（1+i）2在复平面内对应的点的坐标为（0，2），在虚轴上故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）已知A（1，1），B（1，3），C（x，5），若，则x（）A2B3C2D5【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值【解答】解：A（1，1），B（1，3），C（x，5），（2，4），（x1，2）；若，则224（x1）0，解得x2故选：A【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题4（5分）若角是第四象限角，满足，则sin2（）ABCD【分析】由题意利用任

10、意角同角三角函数的基本关系，求得sin2的值【解答】解：角是第四象限角，满足，平方可得：1+sin2，sin2，故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题5（5分）设实数ab0，c0，则下列不等式一定正确的是（）ABcacbCacbc0D【分析】由不等式的性质及对数的运算得：因为ab0，所以，当c1时，cacb，acbc（ab）c0，因为ab0，所以lnalnb，所以ln0，得解【解答】解：因为ab0，所以，故A错误，当c1时，cacb，故B错误，acbc（ab）c0，故C错误，因为ab0，所以lnalnb，所以ln0，故D正确，

11、综合得：选项D正确，故选：D【点评】本题考查了不等式的性质及对数的运算，属简单题6（5分）已知两个不同的平面，和两条不同的直线a，b满足a，b，则“ab”是“（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】结合长方体分析线面关系，举反例即可【解答】（1）证明充分性，如图所示：设为长方体上底面，a；设为长方体前面，b；满足ab，但，即“ab”不是“的充分条件；（1）证明必要性，如图所示：设为长方体上底面，a；设为长方体下底面，b；满足，但直线a与b异面，即“ab”不是“的必要条件；故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面

12、间相互关系的合理运用，充分使用规则几何模型解题7（5分）函数f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则该函数的图象（）A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称【分析】根据三角函数的周期求出，结合三角函数的对称性分别进行判断即可【解答】解：f（x）的最小正周期为，得4，则f（x）sin（4x+），由4x+k+得x+，kZ，当k0时，对称轴为x，由4x+k得x，kZ，当k0时，对称中心为（，0），故正确的是B，故选：B【点评】本题主要考查三角函数对称性的应用，求出函数的解析式，结合三角函数的对称性是解决本题的关键8（5分）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国

13、古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A0.5B0.6C0.7D0.8【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过西游记的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生

14、共有60位，作出维恩图，得：该学校阅读过西游记的学生人数为70人，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：0.7故选：C【点评】本题考查该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题9（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），且函数f（x）在（，0）上是减函数，若af（1），bf（log2），cf（20.3），则a，b，c的大小关系为（）AcbaBacbCbcaDabc【分析】由已知可得函数f（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，函数f（x）在（0，+）上是增函数，即可比大小

15、【解答】解：f（x）f（x），即函数f（x）为偶函数，函数f（x）在（，0）上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数f（x）在（0，+）上是增函数，af（1）f（1），bf（2），cf（20.3），而120.32，则acb，故选：B【点评】本题主要考查了利用偶函数的对称性及单调比较大小，属于基础试题10（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）ABCD【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利

16、用古典概型计算公式求解其概率值即可【解答】解：由题意可得（88+87+85+92+93+95）90，设被污损的数字为x，则（85+86+88+90+99+x）89+，满足题意时，即：9089+，解得x6，即x可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p故选：C【点评】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力11（5分）若双曲线的一条渐近线被圆x2+（y2）22所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）AB2CD【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离

17、公式与垂径定理列式求解【解答】解：双曲线的渐近线方程为y，由对称性，不妨取y，即bxay0圆x2+（y2）22的圆心坐标为（0，2），半径为，则圆心到准线的距离d，解得e故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题12（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），当0x1时，f（x）x2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（）A2019B0C1D1【分析】根据f（x+2）f（x）即可得出f（x+4）f（x），即得出f（x）的周期为4，再根据f（x）是R上的奇函数即可得出f（0）0，并得出f（2）0，f（3）f（1），从而得出f（1

18、）+f（2）+f（3）0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0，从而得出f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）0【解答】解：f（x+2）f（x）；f（x+4）f（x）；f（x）的周期为4；f（x）是R上的奇函数，则f（0）0；f（2）f（0）0，f（3）f（1），f（4）f（2）0；f（1）+f（2）+f（3）0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0；f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）504f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1）+f（2）+f（3）0故选：B【点评】考查奇函数、周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，已知函数求值的方法二、填空

19、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）抛物线y24x上的点P（4，m）到其焦点的距离为5【分析】点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+，从而得到结论【解答】解：由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+4+15，故答案为：5【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，体现了转化的数学思想，利用抛物线的定义是解题的关键14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B，b，a1，则c2【分析】直接由余弦定理可得b2a2+c22accosB，代入数值得到关于c的一元二次方程，解方程可得c

20、【解答】解：B，b，a1，由余弦定理，有b2a2+c22accosB，即c2c20，c2故答案为：2【点评】本题考查了余弦定理的应用和一元二次方程的解法，属基础题15（5分）若面数f（x）的最小值为f（2），则实数a的取值范围为0，+）【分析】分别讨论f（x）的单调性，求得最值，可得a的不等式，解不等式可得所求范围【解答】解：当x2时，f（x）2|x2|，递减，即有f（x）1；当x2时，f（x）log2（x+a）递增，可得f（x）log2（，2+a），由题意f（x）的最小值为1，可得log2（2+a）1，解得a0，故答案为：0，+）【点评】本题考查分段函数的单调性和最值，考查运算能力，属于中档

21、题16（5分）一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为21【分析】由题意，三棱柱为正三棱柱，正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：由题意，三棱柱为正三棱柱，正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，r，球的表面积为：4r24（）221故答案为：21【点评】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键，是基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每题考生都

22、必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共60分.17（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F2FB（）求证：A1C1D1D；（）求平面AEF与平面AA1D1D所成锐二面角的余弦值【分析】（）由D1D平面A1B1C1D1，能证明A1C1D1D（）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面AA1D1D所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（）在正方体ABCDA1B1C1D1中，D1D平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，A1C1

23、D1D解：（）如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），E（0，0，1），F（2，2，），B（2，2，0），（2，0，1），（0，2，），（0，2，0），设（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，则，取z6，得（3，2，6），AB平面AA1D1D，（0，2，0）是平面AA1D1D的一个法向量，cos，平面AEF与平面AA1D1D所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18（12分）已知数列an满足a11，an+1an2n+2（

24、）证明：数列an+2n是等差数列；（）求数列an的前n项和Sn【分析】（）运用等差数列的定义，结合条件即可得证；（）由等差数列的通项公式可得an2n+12n，再由数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：（）证明：a11，an+1an2n+2可得an+1+2n+1an+2n+2即有an+1+2n+1（an+2n）2数列an+2n是首项为3，公差为2的等差数列；（）an+2n3+2（n1）2n+1，即an2n+12n，则Sn（3+5+2n+1）（2+4+2n）n（2n+4）n2+2n2n+1+2【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式，等比数列的求和公

25、式，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题19（12分）第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（2）设随机变量为这四名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列及数学期望E【分析】（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件M，根据题意求出P（M），再由P（）1P（M），即可得出结果；（2）根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望【解答】解：（1）记

26、甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件M，那么P（M）所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（）1P（M）1（2）由题意，知随机变量可能取得的值为1，2则P（2）所以P（1）1P（2）1所以所求的分布列是 1 2 P 所以E1【点评】本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属中档题20（12分）已知函数f（x）（2x24ax）lnx，aR（）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（）当a1时，若函数g（x）f（x）+x2在x1，+）上有两个不同的零点，求a的取值范围【分析】（）函数f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）2x2lnx，f（x）

27、4xlnx+2x2x（2lnx+1），分别令导函数大于零和小于零可以得到所求单调区间；（）（x）（2x24ax）lnx+x2，g（x）（4x4a）lnx+2x4a+2x4（xa）（lnx+1），由x1，+）得，lnx+10，当x（1，a）时，g（x）0，当x（a，+）时，g（x）0，所以函数g（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增因为g（1）10，g（2a）4a20，所以函数g（x）在x1，+）上有两个不同的零点，只需g（x）maxg（a）a2（12lna）0，解得【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）2x2lnx，f（x）4xlnx+2x2x（2l

28、nx+1），令f（x）0，即2lnx+10，解得，令f（x）0，即2lnx+10，解得，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（e，+）（）g（x）（2x24ax）lnx+x2，g（x）（4x4a）lnx+2x4a+2x4（xa）（lnx+1），由x1，+）得，lnx+10，当x（1，a）时，g（x）0，当x（a，+）时，g（x）0，函数g（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增g（1）10，g（2a）4a20，函数g（x）在x1，+）上有两个不同的零点，只需g（x）maxg（a）a2（12lna）0，解得，a的取值范围为（）【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间

29、，求零点个数问题，属于中档题21（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2+y2相切于点M（，）（）求椭圆E的标准方程；（）设椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率存在的直线L与椭E相交于A点，且|AF2|+|BF2|2|AB|，求直线L的方程【分析】（）根据直线和圆相切的等价条件求出切线方程，即可得到P，Q坐标，即可求得椭圆方程；（）求出直线方程，根据等差数列的性质以及椭圆的定义联立方程，利用设而不求思想进行求解即可【解答】解：（I）直线PQ与圆x2+y2相切于点M（，）kOM2，直线PQ的方程为y（x_P（0，1），Q（2，0）即a2，b1椭

30、圆E的方程为（）设直线l的方程为yk（x+），代入椭圆E的方程得：（1+4k2）x2+8k2x+12k240 （1）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|4a又|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，|AF2|+|BF2|2|AB|，从而|AB|a设A（x1，y1），B（x2，y2），则由（1）得x1+x2，|AB|x1x2|，故直线l的方程为xy+0或x+y+0【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线和椭圆的位置关系，联立方程组，利用设而不求思想结合直线和椭圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于中档题（二）选考题：共10分考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

31、第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l经过坐标原点O，曲线C1的参数方程为（为参数）以点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）求l与C1的极坐标方程；（2）设l与C1的交点为O、A，l与C2的交点为O、B，且，求值【分析】（1）倾斜角为的直线l经过坐标原点O，可以直接写出（R）；利用sin2+cos21，把曲线C1的参数方程化为普通方程，然后再利用siny，cosx，2x2+y2，把普通方程化成极坐标方程；（2）设A（1，），B（2，），则14cos，24sin，已知，所以有，运用二角差的正弦公式，

32、可以得到，根据倾斜角的范围，可以求出值【解答】解：（1）因为l经过坐标原点，倾斜角为，故l的极坐标方程为（R）C1的普通方程为（x2）2+y24，可得C1的极坐标方程为4cos（2）设A（1，），B（2，），则14cos，24sin所以|AB|12|4|cossin|由题设，因为0，所以【点评】本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程重点考查了极坐标下求两点的距离属中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|+|x+a|（）当a1时，求不等式f（x）2x的解集；（）当不等式f（x）1的解集为R时，求实数a的取值范围【分析】（）根据x的范围得到分段函数f（x）的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；（）由绝对值三角不等式得到f（x）的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果【解答】解：（）a1时，f（x）当x1时，f（x）2x2x，即x0，此时x1，当1x1时，f（x）22x，得x1，1x1，当x1时，f（x）2x2x，无解，综上，f（x）2x的解集为（，1）（）f（x）|x+1|+|x+a|x+ax1|a1|，即f（x）的最小值为|a1|，要使f（x）1的解集为R，|a1|1恒成立，即a11或a11，得a2或a0，即实数a的取值范围是（，0）（2，+）【点评】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型

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