2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(上)期中数学试卷(文科)含详细解答

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1、2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(4分)抛物线的焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0,1)D(0,1)2(4分)圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1,则a()ABCD23(4分)已知直线l的参数方程是,则直线l的斜率为()ABC1D14(4分)已知椭圆:+1的焦距为4,则m等于()A4B8C4或8D以上均不对5(4分)已知向量,则k等于()A12B12C6D66(4分)已知 f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0对,f

2、(x),f(f(16)()ABCD7(4分)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点,若|AB|5,则ABF1的周长为()A16B20C21D268(4分)已知直线ax+by+c10(bc0)经过圆x2+y22y50的圆心,则的最小值是()A9B8C4D29(4分)函数f(x)ln(x2+1)的图象大致是()ABCD10(4分)已知椭圆1(ab0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为eP是椭圆上一点,满足PF2F1F2,点Q在线段PF1上,且若0,则e2()ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11(4分)若直

3、线x+2my10与直线(3m1)xmy10平行,那么实数m的值为   12(4分)圆心在A(2,0)半径为1的圆的极坐标方程是   13(4分)在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若c2(ab)2+6,C,则ABC的面积是   14(4分)长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2x上滑动,则线段AB中点M到y轴距离的最小值是   三、解答题(大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15(8分)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog2an,求数列an+bn的前n项和Tn

4、16(8分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的方程是x+2y10,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系()求直线l和圆C的极坐标方程;()已知射线OM:(其中0)与圆C交于O、P,射线OQ:+与直线l交于点Q,若|OP|OQ|6,求的值17(8分)已知圆C:x2+y2+2x4y+10,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线,设切点为M(1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程;(2)当|PO|PM|时,求点P的轨迹方程P;(3)求两切点所在直线方程18(10分)已知函数f(x)sin(2x)+2cos2x1(0)的最小正周期为()求的值;(

5、)求f(x)在区间0,上的最大值和最小值19(10分)椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,长轴长为4(1)求椭圆C的方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C相较于P、Q两点,满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围四、附加题(本大题共2小题,共20分)20(10分)数列an满足,求的值21(10分)如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(RtFHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上已知AB20米,AD10米,记BHE(1)试将污水净

6、化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;(2)问:当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(4分)抛物线的焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0,1)D(0,1)【分析】根据题意,先将抛物线的方程变形为标准方程的形式,分析可得抛物线的焦点位置以及p的值,进而可得其焦点坐标,即可得答案【解答】解:根据题意,抛物线的方程为:,则其标准方程为:x24y,其焦点在y轴正半轴上,且p2,则其焦点

7、坐标为(0,1);故选:D【点评】本题考查抛物线的标准方程和性质,注意先将抛物线的方程变形为标准方程的形式2(4分)圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1,则a()ABCD2【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案【解答】解:圆x2+y22x8y+130的圆心坐标为:(1,4),故圆心到直线ax+y10的距离d1,解得:a,故选:A【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程,点到直线的距离公式,难度中档3(4分)已知直线l的参数方程是,则直线l的斜率为()ABC1D1【分析】根据题意,将直线的参数方程变形为普通方程,分析可得答案【解答】解:根据题意,直线l的参数

8、方程是,其普通方程为(y2)+(x1)0,即yx+3,直线l的斜率为1;故选:D【点评】本题考查直线的参数方程,注意将直线的参数方程变形为普通方程,属于基础题4(4分)已知椭圆:+1的焦距为4,则m等于()A4B8C4或8D以上均不对【分析】首先分两种情况:(1)焦点在x轴上时:10m(m2)4(2)焦点在y轴上时m2(10m)4分别求出m的值即可【解答】解:(1)焦点在x轴上时:10m(m2)4解得:m4(2)焦点在y轴上时m2(10m)4解得:m8故选:C【点评】本题考查的知识要点:椭圆方程的两种情况:焦点在x轴或y轴上,考察a、b、c的关系式,及相关的运算问题5(4分)已知向量,则k等于

9、()A12B12C6D6【分析】用数量积公式列方程计算【解答】解:因为(2,1),(1,k),2(5,2k),25+1(2k)0,解得:k12,故选:B【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算属基础题6(4分)已知 f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0对,f(x),f(f(16)()ABCD【分析】由题意,利用奇偶性可得f(16)f(16)log2164;再求f(4)即可【解答】解:由题意,f(16)f(16)log2164;故f(f(16)f(4)f(4)cos;故选:C【点评】本题考查了分段函数的应用,属于基础题7(4分)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与该

10、双曲线的右支交于A、B两点,若|AB|5,则ABF1的周长为()A16B20C21D26【分析】根据双曲线的定义和性质,即可求出三角形的周长【解答】解:由双曲线的方程可知a4,则|AF1|AF2|8,|BF1|BF2|8,则|AF1|+|BF1|(|BF2|+|AF2|)16,即|AF1|+|BF1|BF2|+|AF2|+16|AB|+165+1621,则ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|21+526,故选:D【点评】本题主要考查双曲线的定义,根据双曲线的定义得到A,B到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键8(4分)已知直线ax+by+c10(bc0)经过圆x2+y22y50的

11、圆心,则的最小值是()A9B8C4D2【分析】将圆化成标准方程可得圆心为C(0,1),代入题中的直线方程算出b+c1,从而化简得+5,再根据基本不等式加以计算,可得当b且c时,的最小值为9【解答】解:圆x2+y22y50化成标准方程,得x2+(y1)26,圆x2+y22y50的圆心为C(0,1),半径r直线ax+by+c10经过圆心C,a0+b1+c10,即b+c1,因此,(b+c)()+5,b、c0,24,当且仅当时等号成立由此可得当b2c,即b且c时,+5的最小值为9故选:A【点评】本题给出已知圆的圆心在直线ax+by+c10上,在b、c0的情况下求的最小值着重考查了直线与圆的位置关系、圆

12、的标准方程和基本不等式等知识,属于中档题9(4分)函数f(x)ln(x2+1)的图象大致是()ABCD【分析】x2+11,又ylnx在(0,+)单调递增,yln(x2+1)ln10,函数的图象应在x轴的上方,在令x取特殊值,选出答案【解答】解:x2+11,又ylnx在(0,+)单调递增,yln(x2+1)ln10,函数的图象应在x轴的上方,又f(0)ln(0+1)ln10,图象过原点,综上只有A符合故选:A【点评】对于函数的选择题,从特殊值、函数的性质入手,往往事半功倍,本题属于低档题10(4分)已知椭圆1(ab0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为eP是椭圆上一点,满足PF2F1F2,点Q在

13、线段PF1上,且若0,则e2()ABCD【分析】由题意求得P点坐标,根据向量的坐标运算求得Q点坐标,由0,求得b42c2a2,则b2a2c2,根据离心率的取值范围,即可求得椭圆的离心率【解答】解:由题意可知:PF2F1F2,则P(c,),由,(xQ+c,yQ)2(cxQ,yQ),则Q(,),(2c,),(,),由0,则2c()+0,整理得:b42c2a2,则(a2c2)22c2a2,整理得:a44c2a2+c40,则e44e2+10,解得:e22,由0e1,则e22,故选:C【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,考查向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题

14、4分,共16分.把答案填在题中横线上)11(4分)若直线x+2my10与直线(3m1)xmy10平行,那么实数m的值为0或【分析】先检验m0时,两条直线的斜率都不存在的情况再考虑m0时,两条直线的斜率都存在的情况,此时,两直线平行的充要条件是斜率相等,且在y 轴上的截距不相等,解出实数m的值【解答】解:当m0时,两条直线的斜率都不存在,两直线的方程分别为x10和 x+10,显然两直线平行当m0时,两条直线的斜率都存在,两直线平行的充要条件是斜率相等,且在y 轴上的截距不相等,即 ,且 ,解得 m,综上,实数m的值为 0或,故答案为0或【点评】本题考查两条直线平行的条件,注意检验两条直线的斜率都

15、不存在的情况,体现了分类讨论的数学思想12(4分)圆心在A(2,0)半径为1的圆的极坐标方程是24cos+30【分析】根据xcos,2x2+y2将普通方程转化为极坐标方程即可【解答】解:由题意,圆的标准方程是:(x2)2+y21,展开得:x24x+4+y21,由xcos,2x2+y2得:24cos+30,故答案为:24cos+30【点评】本题考查了普通方程和极坐标方程的转化,是一道基础题13(4分)在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若c2(ab)2+6,C,则ABC的面积是【分析】利用余弦定理,结合c2(ab)2+6,C,求出ab6,利用SABCabsinC,求出ABC的面

16、积【解答】解:由c2(ab)2+6,可得c2a2+b22ab+6,由余弦定理:c2a2+b22abcosCa2+b2aba2+b2ab,所以:a2+b22ab+6a2+b2ab,所以ab6;所以SABCabsinC6故答案为:【点评】本题考查余弦定理,正弦定理的运用,考查学生的计算能力,确定ab6是关键14(4分)长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2x上滑动,则线段AB中点M到y轴距离的最小值是【分析】设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N,连结AC、BD、MN根据梯形中位线定理证出|MN|(|AC|+|BD|),利用抛物线的定义得|AC|+|BD|AF|+|BF|,由此结合平面几

17、何的知识证出|MN|AB|1,即可求出AB中点M到y轴距离的最小值【解答】解:设抛物线的准线为l,A、B、M在l上的射影分别为C、D、N,连结AC、BD、MN由梯形的中位线定理,可得|MN|(|AC|+|BD|)连结AF、BF,根据抛物线的定义得|AF|AC|,|BF|BD|根据平面几何知识,可得|AF|+|BF|AB|,当且仅当点F在AB上时取等号|AC|+|BD|AB|2,可得|MN|(|AC|+|BD|)|AB|1设M的横坐标为a,抛物线的准线方程为x则|MN|a+1,得a因此,当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时,AB中点M到y轴距离的最小值为故答案为:【点评】本题给出抛物线长度为2

18、的弦,当弦在抛物线上滑动时求它的中点到y轴的最小距离着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题三、解答题(大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15(8分)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog2an,求数列an+bn的前n项和Tn【分析】(1)当n2时,anSnSn1,可得出数列an是等比数列,再用等比数列的通项公式可得;(2)利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解:(1)n2时Sn2an2Sn12an12得an2an1,2,又S12a12a12,数列an是首项为2,公比为2的等比

19、数列,an2n;(2)bnlog2ann,Tn(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)(2+22+2n)+(1+2+n)+2(2n1)+【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、利用分组求和法是解决本题的关键,考查了推理能力与计算能力,属于基础题16(8分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的方程是x+2y10,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系()求直线l和圆C的极坐标方程;()已知射线OM:(其中0)与圆C交于O、P,射线OQ:+与直线l交于点Q,若|OP|OQ|6,求的值【分析】(

20、)由xcos,ysin,能求出直线l的极坐标方程;由曲线C的参数方程求出圆C的直角坐标方程,从而能求出圆C的极坐标方程()由|OP|6cos,|OQ|,由6,得tan1,由此能求出的值【解答】解:()直线l的方程是x+2y10,xcos,ysin,直线l的极坐标方程为cos+2sin10,即曲线C的参数方程为(为参数),圆C的直角坐标方程为(x3)2+y29,圆C的极坐标方程为6cos()由题意得|OP|6cos,|OQ|,则6,解得tan1,又0,【点评】本题考查直线与圆的极坐标的求法,考查角的求法,考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想

21、,是中档题17(8分)已知圆C:x2+y2+2x4y+10,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线,设切点为M(1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程;(2)当|PO|PM|时,求点P的轨迹方程P;(3)求两切点所在直线方程【分析】(1)对切线的斜率是否存在分类讨论,用点斜式求得直线的方程;(2)设出P的坐标,代入平面两点间的距离公式,化简得轨迹方程(3)设P(m,n),另一切点为N,则PMCN四点共圆,两圆方程相减可得切点所在的直线方程【解答】解:C:x2+y2+2x4y+10,即C:(x+1)2+(y2)24,(1)当x1时,圆心(1,2)到直线x1的距离d2r,此时直线

22、x1与圆相切,当斜率存在时,可设直线y3k(x1)即kxy+3k0由直线与圆相切的性质可知,解方程可得,k,直线方程为3x+4y150故所求的切线l的方程为x1或3x+4y150;(2)|PM|,|PO|,整理可得2x4y+10P的轨迹方程为2x4y+10(3)设P(m,n),另一切点为N,连接CM,CN则CMPM,CNPN,则PMCN四点共圆,且此圆的方程为(C:x2+y2+2x4y+10可得(m+1)x+(n2)y+1+m2n0,两切点所在直线方程为(m+1)x+(n2)y+1+m2n0【点评】本题主要考查了用点斜式求解直线方程,注意分类讨论思想的应用,还考查了直线与圆相切的性质,点到直线

23、的距离公式及轨迹方程的求解,属于中档试题18(10分)已知函数f(x)sin(2x)+2cos2x1(0)的最小正周期为()求的值;()求f(x)在区间0,上的最大值和最小值【分析】()根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可()求出角的取值范围,结合三角函数的最值性质进行判断求解即可【解答】解:()因为f(x)sin(2x)+2cos2x1sin2xcoscos2xsin+cos2xsin2x+cos2xsin(2x+),所以f(x)的最小正周期T,解得1()由()得 f(x)sin(2x+),因为0x,所以2x+,所以,当2x+,即x时,f(x)取得最大值为1;当2x+,即x

24、时,f(x)取得最小值为【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键19(10分)椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,长轴长为4(1)求椭圆C的方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C相较于P、Q两点,满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围【分析】(1)根据离心率和长轴,求出a,b即可;(2)设出直线的方程,将直线方程与椭圆方程联立,消去x得到关于y的二次方程,利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系,将直线OP,OQ的斜率用坐标表示,据已知三个斜率成等比数列,列出方程,将韦达定理得到的等式代入,求出k的值,利

25、用判别式大于0得到m的范围,将OPQ面包用m表示,求出面积的范围【解答】解:(1)由得a2,c,b1椭圆C的方程为:+y21(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为:ykx+m(m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由,消去y 得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m21)0则64k2m216(m21)(1+4k2)16(4k2m2+1)且x1+x2,x1x2,故y1y2(kx1+m)(kx2+m)k2x1x2+km(x1+x2+m2,因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以,即+m20,又m0,所以k2,即k,由于直线OP,OQ的斜率存在,且0,得0m

26、22,m21设d为点O到直线l的距离,则SOPQd|PQ|x1x2|m|,所以SOPQ的取值范围是(0,1)【点评】本题考查了直线与椭圆的综合属难题四、附加题(本大题共2小题,共20分)20(10分)数列an满足,求的值【分析】由题意可得,运用数列恒等式,以及数列的求和方法:错位相减法,计算可得所求值【解答】解:数列an满足,可得,即有ana122n(n+1)2n1,设Sna1+a2+an220+321+(n+1)2n1,2Sn22+322+(n+1)2n,两式相减可得Sn2+21+22+2n1(n+1)2n1+(n+1)2n,化简可得Snn2n,则【点评】本题考查数列的求和方法:错位相减法,

27、考查等比数列的求和公式和化简变形能力,属于中档题21(10分)如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(RtFHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上已知AB20米,AD10米,记BHE(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;(2)问:当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度【分析】(1)解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式,再由 LEH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式,并注明的范围(2)设sin+cost,根据函数 L 在,上是单调减函数,可求得L的最大值【解答】解:(1)由题意可得EH,FH,EF,由于 BE10tan10,AF10,而且 tan,L+,即L10,(2)设sin+cost,则 sincos,由于,sin+costsin(+),由于L 在,上是单调减函数,当t时,即 或 时,L取得最大值为 20(+1)米【点评】本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型,利用三角函数的单调性求三角函数的最值,属于中档题

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