1、2017-2018学年陕西省西安市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个符合题目要求的选项）1（5分）（1+i）（1i）（）A0B2C2D12（5分）设集合Ax|（x1）（x+1）（x+3）0，B1，0，1，则AB（）A3，1，0，1B1，0，1，3Cl，1D1，0，13（5分）设命题P：nN，n22n，则p为（）AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n4（5分）设非零向量满足，则（）ABCD5（5分）抛物线方程为xy2，则此抛物线的准线为（）Ax1By1Cx1Dy16（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长
2、为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是（）ABCD7（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7+a1112，则S13等于（）A52B54C56D588（5分）有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是黑色的概率（）ABCD9（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）Ak5Bk5Ck5Dk610（5分）在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形11（5分）如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图设1，2两
3、组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差，其中为x1，x2，xn的平均数）A，s1s2B，s1s2C，s1s2D，s1s212（5分）已知函数f（x）x+ex，若存在xR，使得f（x）ax成立，则实数a的取值范围是（）A（，leB（l，+）C（1e，1D（，1e（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）函数f（x）2cosx+sinx的最大值为 14（5分）若变量x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为 15（5分）设曲线yaxln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y2x，则a 16（5分）
4、已知抛物线 y28x的焦点与双曲线y21的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为 三、解答题（本大题6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列（）求B；（）若a+c，b，求ABC的面积18（12分）某校有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类）的调查，其结果如下：本科研究生35岁以下a353550岁25b50岁以上42（1）随机抽取一人，是35岁以下的概率为，求a，b的值；（2）从50岁以上的6人中随机抽取两人
5、，求恰好只有一位研究生的概率19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，AA1平面ABC，且AA1AB3，D 是BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；（）求证：平面ADC1平面DCC1；（）在侧棱CC1上是否存在一点E，使得三棱锥CADE的体积是，若存在，求CE长；若不存在，说明理由20（12分）已知函数f（x）lnx+x2（）求函数h（x）f（x）3x的极值；（）若函数g（x）f（x）ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围21（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，F2也是抛物线的焦点，点M为C1，C2在第一象限的交点，且
6、（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率23设函数f（x）5|x+a|x2|（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围2017-2018学年陕西省西安市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共
7、12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个符合题目要求的选项）1（5分）（1+i）（1i）（）A0B2C2D1【分析】直接利用平方差公式求解【解答】解：（1+i）（1i）1i22故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2（5分）设集合Ax|（x1）（x+1）（x+3）0，B1，0，1，则AB（）A3，1，0，1B1，0，1，3Cl，1D1，0，1【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合Ax|（x1）（x+1）（x+3）03，1，1，B1，0，1，AB3，1，0，1故选：A【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础
8、题3（5分）设命题P：nN，n22n，则p为（）AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：nN，n22n，则p为：nN，n22n故选：A【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题4（5分）设非零向量满足，则（）ABCD【分析】由可得出，而的大小关系得不出，也得不出，从而判断出A，B，C都错误，只能选D【解答】解：；，；故选：D【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的概念5（5分）抛物线方程为xy2，则此抛物线的准线为（）Ax
9、1By1Cx1Dy1【分析】化抛物线方程为标准方程，由准线方程x，可得所求方程【解答】解：抛物线方程为xy2，即为y24x，可得2p4，即p2，即有准线方程为x，即x1故选：C【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要是准线方程的求法，考查运算能力，属于基础题6（5分）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为则该几何体的俯视图可以是（）ABCD【分析】解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可【解答】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为
10、1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是故选：C【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等7（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7+a1112，则S13等于（）A52B54C56D58【分析】等差数列an中，由a3+a7+a11
11、12，解得a74，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能求出S13【解答】解：等差数列an中，a3+a7+a1112，3a712，解得a74，S1313a713452故选：A【点评】本题考查等差数列的前n项和的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答8（5分）有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是黑色的概率（）ABCD【分析】设红瓶墨水为H，蓝瓶墨水为L1，L2，黑瓶墨水为H1，H2，某同学从中随机任取出两瓶，利用列举法求出包含的基本事件有7种，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色，包含的基本事件有4种，由此能求出取出的两
12、瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率【解答】解：有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，设红瓶墨水为H，蓝瓶墨水为L1，L2，黑瓶墨水为H1，H2，某同学从中随机任取出两瓶，设事件A表示“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”，某同学从中随机任取出两瓶，取出的两瓶中有一瓶是蓝色，包含的基本事件有7种，分别为：（H，L1），（H，L2），（L1，L2），（H1，L1），（H2，L1），（H1，L2），（H2，L2），取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色，包含的基本事件有4种，分别为：（H1，L1），（H2，L1），（H1，L2），（H2，L2），取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率p故选：C【
13、点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）Ak5Bk5Ck5Dk6【分析】根据算法的功能确定循环的次数是5，确定跳出循环体的n值为12，k值为6，由此可得判断框内应填的条件【解答】解：算法的功能是计算值，共循环5次，跳出循环体的n值为12，k值为6，判断框内应填的条件是k5或k6故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定循环的次数，从而求得跳出循环体的k值是关键10（5分）在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）A直角三
14、角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形【分析】根据三角形三个内角和为180，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（BA）0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形【解答】解：由2sinAcosBsinC知2sinAcosBsin（A+B），2sinAcosBsinAcosB+cosAsinBcosAsinBsinAcosB0sin（BA）0，A和B是三角形的内角，BA故选：B【点评】在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是180，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子
15、中学会辨认公式应用公式11（5分）如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s1和s2，那么（）（注：标准差，其中为x1，x2，xn的平均数）A，s1s2B，s1s2C，s1s2D，s1s2【分析】将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案【解答】解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，第1组的7名同学体重的平均数为：（53+
16、56+57+58+61+70+72）61kg因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2（5361）2+（5661）2+（7261）243.00kg2，同理，第2组的7名同学体重的平均数为：（54+56+58+60+61+72+73）62kg因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2（5462）2+（5662）2+（7362）263.14kg2，且s1s2故选：C【点评】本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题12（5分）已知函数f（x）x+ex，若存在xR，使得f（x）ax成立，则实数a的取值范围是（）A（，leB（l，+）C（1e，
17、1D（，1e（1，+）【分析】分别讨论a的取值范围，构造新函数，结合导数研究函数的最值即可得到结论【解答】解：函数f（x）x+ex，若存在xR，使得f（x）ax成立，即：存在xR，x+exax0成立令g（x）x+exax，即g（x）min0成立g（x）1a令g（x）0，即1a，0，当a1时，不存在x当a1时，存在xxln（1a），当x（，ln（1a）时，g（x）0，x（ln（1a），+）时，g（x）0，xln（1a）时，g（x）min（a1）ln（1a）+（1a）0，解得：a1e，a1，实数a的取值范围是（，le，故选：A【点评】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于
18、中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）函数f（x）2cosx+sinx的最大值为【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可【解答】解：函数f（x）2cosx+sinx（cosx+sinx）sin（x+），其中tan2，可知函数的最大值为：故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力14（5分）若变量x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线zx2y过点A（3，1）时，z最大值即可【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由zx
19、2y知，yx，所以动直线yx的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值由得A（3，1）结合可行域可知当动直线经过点A（3，1）时，目标函数取得最大值z321故答案为：1【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15（5分）设曲线yaxln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y2x，则a3【分析】根据导数的几何意义，即f（x0）表示曲线f（x）在xx0处的切线斜率，再代入计算【解答】解：yaxln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y2x，得，则a3故答案为：3【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求
20、导正确，就能够求解该题在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视16（5分）已知抛物线 y28x的焦点与双曲线y21的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率【解答】解：抛物线y28x的焦点坐标为（2，0）抛物线y28x的焦点与双曲线的一个焦点重合，a2+14，ae故答案为：【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题三、解答题（本大题6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
21、骤）（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列（）求B；（）若a+c，b，求ABC的面积【分析】（）由ccosA，BcosB，acosC成等差数列，可得2bcosBccosA+acosC，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（）ccosA，BcosB，acosC成等差数列，2bcosBccosA+acosC，由正弦定理知：a2RsinA，c2RsinC，b2RsinB，代入上式得：2sinBcosBsinCcosA+sinAcosC，即2sinBco
22、sBsin（A+C）又A+CB，2sinBcosBsin（B），即2sinBcosBsinB而sinB0，cosB，及0B，得B（）由余弦定理得：cosB，又a+c，b，2ac3ac，即ac，SABCacsinB【点评】本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）某校有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育情况（只有本科和研究生两类）的调查，其结果如下：本科研究生35岁以下a353550岁25b50岁以上42（1）随机抽取一人，是35岁以下的概率为，求a，b的值；（2）从50岁以上的6人中随机抽取两人，求恰好只有
23、一位研究生的概率【分析】（1）由已知得：，由此解得a的值，再根据总数为130求出b的值（2）从这6人中任取2人，用列举法一一列举，共有15种等可能发生的基本事件其中恰好有一位研究生的抽法有8种，由此求得所求的事件的概率【解答】解：（1）由已知得：，解得a50（3分）故b130（50+35+25+4+2）14，即b14（6分）（2）将50岁以上的6人进行编号：四位本科生为：1，2，3，4，两位研究生为5，6从这6人中任取2人共有15种等可能发生的基本事件，分别为：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共有15种抽法，（9分）其中恰好有一位研究生
24、的有8种，分别为：15，16，25，26，35，36，45，46，共有8种抽法，故所求的事件概率为：（12分）【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，AA1平面ABC，且AA1AB3，D 是BC的中点（）求证：A1B平面ADC1；（）求证：平面ADC1平面DCC1；（）在侧棱CC1上是否存在一点E，使得三棱锥CADE的体积是，若存在，求CE长；若不存在，说明理由【分析】（）连接A1C交AC1于点O，连接OD可得DO为A1BC中位线，A
25、1BOD，结合线面平行的判定定理，得A1B平面ADC1（II）由CC1平面ABC，得CC1AD正三角形ABC中，中线ADBC，结合线面垂直的判定定理，得AD平面DCC1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面ADC1平面DCC1（III）假设在侧棱CC1上存在一点E且CEm，满足三棱锥CADE体积是，利用CDE作为底、AD为高，得三棱锥ACDE的体积，即为三棱锥CADE的体积，建立等式即可解出m的值，所以在侧棱CC1上存在点E，使三棱锥CADE的体积是【解答】解：（）连接A1C交AC1于点O，连接OD三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，四边形ACC1A1为矩形，可得点O为A1C的中点D为
26、BC中点，得DO为A1BC中位线，A1BODOD平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1（4分）（）底面ABC正三角形，D是BC的中点ADCDCC1平面ABC，AD平面ABC，CC1ADCC1CDC，AD平面DCC1，AD平面ADC1，平面ADC1平面DCC1（9分）（）假设在侧棱CC1上存在一点E，使三棱锥CADE的体积是，设CEm三棱锥CADE的体积VCADEVACDECDCEAD，得mm，即CE在侧棱CC1上存在一点E，当CE时，三棱锥CADE的体积是（14分）【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考
27、查了锥体体积公式的应用，属于基础题20（12分）已知函数f（x）lnx+x2（）求函数h（x）f（x）3x的极值；（）若函数g（x）f（x）ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围【分析】（）由已知得到h（x），求其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值；（）由函数g（x）f（x）ax在定义域内为增函数，可得g（x）0（x0）恒成立，分离参数a，利用基本不等式求得最值得答案【解答】解：（） 由已知，得h（x）f（x）3xlnx+x23x，（x0），令0，得x或x1，当x（0，）（1，+）时，h（x）0，当x（）时，h（x）0，h（x）在（0，
28、），（1，+）上为增函数，在（）上为减函数h（x）极小值h（1）2，；（）g（x）f（x）axlnx+x2ax，g（x），由题意，知g（x）0（x0）恒成立，即ax0时，2x+，当且仅当x时等号成立故，a【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了分离参数法及构造函数求最值，是中档题21（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，F2也是抛物线的焦点，点M为C1，C2在第一象限的交点，且（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程【分析】（1）先利用F2是抛物线C2：y24x的焦点求出F2的坐标，
29、再利用|MF2|以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C1的方程；（2）先利用，以及直线lMN得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入，即可求出直线l的方程【解答】解：（1）y24x的焦点F（1，0），c1，代入抛物线方程，有，椭圆C1的方程为（2）点N满足，易知N与M关于原点对称，设直线l方程：，联立直线和椭圆方程得到：，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2+y1y20，代入韦达定理有m23，直线l方程为【点评】本题是对椭圆与抛物线以及直线与椭圆位置关系的综合考查直线与圆锥曲
30、线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标
31、方程进行转化（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为（t为参数）转换为直角坐标方程为：xsinycos+2cossin0（2）把直线的参数方程（t为参数），代入椭圆的方程得到：+1整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t80，则：，（由于t1和t2为A、B对应的参数）由于（1，2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式t1+t20，则：8cos+4sin0，解得：tan2，即：直线l的斜率为2【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置
32、关系的应用，中点坐标的应用23设函数f（x）5|x+a|x2|（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范围【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x2|4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当a1时，f（x）5|x+1|x2|当x1时，f（x）2x+40，解得2x1，当1x2时，f（x）20恒成立，即1x2，当x2时，f（x）2x+60，解得2x3，综上所述不等式f（x）0的解集为2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|，|a+2|4，解得a6或a2，故a的取值范围（，62，+）【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
