1、直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离 381525 知识要点知识要点 1】 要点一、直线的交点要点一、直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求 111111 0(0)A xB yCA BC 222222 0(0)A xB yCA B C 两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个 111 222
2、0 0 A xB yC A xB yC 111 222 ABC ABC 解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程 111 222 ABC ABC 11 22 AB AB 组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释：要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、要点二、过两条直线交点的直线系方程过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中 除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数由于参数取法不同，从, x y 而得到不同的
3、直线系 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC 线方程为，其中是待定系数在这个方程中，无论取什么实 111222 ()0AxB yCA xB yC 数，都得不到，因此它不能表示直线 222 0A xB yC 2 l 要点三、两点间的距离公式要点三、两点间的距离公式 两点间的距离公式为 111222 ()()P xyP xy . 22 122121 ()()PPxxyy 要点诠释：要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两 平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来
4、解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、 圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四、点到直线的距离公式要点四、点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 00 ()P xy0AxByC 00 22 AxByC d AB 要点诠释：要点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； 00 ()P xy0AxByCP （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点五、要点五、两平行线间的距离两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解
5、法：转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一 条直线的距离即为两直线之间的距离；距离公式：直线与直线的 1 0AxByC 2 0AxByC 距离为. 21 22 CC d AB 要点诠释：要点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点 一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条 22 21 | BA CC d 直线中 x，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式. 【典型例题典型例题】 类型一、判断两直线的位
6、置关系类型一、判断两直线的位置关系 例 1判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标： （1）；（2）；（3） 5420 220 xy xy 2630 11 32 xy yx 260 11 32 xy yx 【答案】 （1）；（2）重合；（3）平行 10 14 , 33 【解析】 （1）解方程组得该方程组有唯一解，所以两直线相交，且交点 5420 220 xy xy 10 3 14 3 x y 坐标为 10 14 , 33 （2）解方程组 2630 11 32 xy yx 6 得 2x6y+3=0， 因此和可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合 （3）解方程组 2
7、60 11 32 xy yx 6得 3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行 【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： （1） 1：2x+y+3=0，2：x2y1=0； ll （2） 1：x+y+2=0，2：2x+2y+3=0； ll （3） 1：xy+1=0；2：2x2y+2=0 ll 【答案】 （1）直线 1与2相交，交点坐标为（1，1） ll （2）直线 1与2无公共点，即12 llll （3）两直线重合 类型二、过两条直线交点的直线系方程类型二、
8、过两条直线交点的直线系方程 例 2求经过两直线 2x3y3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y1=0 平行的直线方程 【答案】15x+5y+16=0 【解析】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或 过定点系）求直线方程 解法一：设所求的直线为 ，由方程组得直线 和直线 3x+y1=0 平l 2330 20 xy xy 3 5 7 5 x y l 行， 直线 的斜率 k=3l 根据点斜式有， 73 3 55 yx 即所求直线方程为 15x+5y+16=0 解法二：直线 过两直线 2x3y3=0 和 x+y+2=0 的交点，l 设直线 的方程为
9、 2x3y3+(x+y+2)=0，l 即(+2)x+(3)y+23=0 直线 与直线 3x+y1=0 平行，l ，解得 2323 311 11 2 从而所求直线方程为 15x+5y+16=0 【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用 的解题技巧，应注意掌握和应用 举一反三：举一反三： 【变式 1】求证：无论 m 取什么实数，直线(2m1)x+(m+3)y(m11)=0 都经过一个定点，并求出 这个定点的坐标 证法一：对于方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0，令 m=0，得 x3y11=0；令 m=1，得 x+4y+10=0 解方程组，得两直
10、线的交点为（2，3） 311 0 4100 xy xy 将点（2，3）代入已知直线方程左边，得(2m1)2+(m+3)(3)(m11) =4m23m9m+11=0 这表明不论 m 取什么实数，所给直线均经过定点（2，3） 证法二：将已知方程以 m 为未知数，整理为(2x+y1)m+(x+3y+11)=0 由于 m 取值的任意性，有，解得 210 3110 xy xy 2 3 x y 所以所给的直线不论 m 取什么实数，都经过一个定点（2，3） 类型三、对称问题类型三、对称问题 例 3求点 A（2，2）关于直线 2x4y+9=0 的对称点坐标 【答案】 （1，4） 【解析】设点 A（a，b）是点
11、 A（2，2）关于直线 2x4y+9=0 的对称点，则有 AA与已知直线 垂直且 AA的中点在已知直线上 ，解得 a=1，b=4 12 1 22 22 2490 22 b a ab 所求对称点坐标为（1，4） 【总结升华】点关于直线的对称问题可转化为中点和垂直问题来解决 例 4求直线 xy2=0 关于直线 ：3xy+3=0 对称的直线方程l 【答案】7x+y+22=0 【解析】 解法一：由，得交点， 20 330 xy xy 59 , 22 P 取直线 xy2=0 上一点 A（0，2） ，设点 A 关于直线 ：3xy+3=0 的对称点为 A（x0，y0） ，l 则根据，且线段 AA的中点在直线
12、 ：3xy+3=0 上，有 1 AAl kk l ，解得 0 0 00 2 31 0 2 320 22 y x xy 0 0 3 1 x y 故所求直线过点与（3，1） 59 , 22 所求直线方程为 95 7 22 xx 即 7x+y+22=0 解法二：设 P（x，y）为所求直线上任意一点，P 关于直线 ：3xy+3=0 的对称点l P（x，y） 根据 PP 且线段 PP的中点在直线 上，可得ll ，解得 31 330 22 yy xx xxyy 8618 10 686 10 xy x xy y 又P（x，y）在直线 xy2=0 上， ，即 7x+y+22=0 8618686 20 1010
13、 xyxy 故所求直线方程为 7x+y+22=0 【总结升华】 轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为 代入法 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）求点 P（x0，y0）关于直线 xy+C=0 的对称点坐标； （2）求直线 1：Ax+By+C=0 关于直线2：x+y3=0 的对称直线3的方程 lll 【答案】 （1） （y0C，x0+C） ；（2）Bx+Ay3A3BC=0 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离 381525 知识点（二）中的例知识点（二）中的例 1】 【变式 2】 过点 M(-2,1)，且与点 A
14、(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线 的方程ll 【答案】 1y 20xy 【解析】 法一：直线 过 AB 的中点（1，1） ，所以 的方程为ll1y 直线，则设 的方程为/lABl1(2)yk x 则，所以 的方程为： 1 2 k l20xy 法二：由题意知直线 的斜率存在，设 的方程为，ll1(2)yk x 则 A、B 两点到直线 的距离l 22 |1|51| 11 kk kk 解得： 1 0, 2 kk 所以 的方程为：和l1y 20xy 类型四、两点间的距离类型四、两点间的距离 例 5已知点 A（1，2） ，B（3，4） ，C（5，0） ，求证：ABC 是等腰三角形 【解析】
15、先分别求出三边之长，再比较三边的长短，最后下结论 ， 22 |(42)(3 1)8AB ， 22 |(02)(5 1)20AC ， 22 |(53)(04)20BC |AC|=|BC| 又A、B、C 三点不共线，ABC 是等腰三角形 【总结升华】 利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两 点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知ABC 的三个顶点是 A（1，0） ，B（1，0） ，试判断ABC 的形 13 , 22 C 状 【答案】 ABC 是直角三角形 【变式 2】 例 6已知直线 过点 P（3，1） ，且被两平行直线
16、 1：x+y+1=0，2：x+y+6=0 截得的线段长为 5， lll 求直线 的方程l 【答案】y=1 或 x=3 【解析】 设直线 与直线 1、2分别交于点 A（x1，y1） 、B（x2、y2） ，则 ，两方lll 11 22 10 60 xy xy 程相减，得(x1x2)+(y1y2)=5， 由已知及两点间距离公式，得(x1x2)2+(y1y2)2=25， 由解得或，又点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）在直线 上，因此直线 的 12 12 5 0 xx yy 12 12 0 5 xx yy ll 斜率为 0 或不存在，又直线 过点 P（3，1） ，所以直线 的方程为 y=1 或 x
17、=3ll 【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求” “整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了 解题过程这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能另外，灵活运 用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，直线 上有两点 A、B，A 点和 B 点的横坐标分别为 x1，x2，直线l 方程为 y=kx+b，求 A、B 两点的距离l 【答案】 222 2121 |(1)()1|ABkxxkxx 类型五、点到直线的距离类型五、点到直线的距离 例 7 在ABC 中，A（3，3） ，B（2，2） ，C（7，1） ，求A 的平分线
18、AD 所在直线的方 程 【答案】yx 【解析】 设 M（x，y）为A 的平分线 AD 上的任意一点，由已知可求得 AC 边所在直线的方程 为 x5y+12=0，AB 所在直线的方程为 5xy12=0 由角平分线的性质得， |512|512| 2626 xyxy x5y+12=5xy12 或 x5y+12=y5x+12，即 y=x+6 或 y=x 但结合图形（如图） ，可知 kACkADkAB，即， 1 5 5 AD k y=x+6 不合题意，故舍去 故所求A 的平分线 AD 所在直线的方程为 y=x 【总结升华】 本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创 设了运用点到直线的
19、距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x，y）所满足的方程， 化简即得到所求的直线方程由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创设出点到直线的距 离这一条件 举一反三：举一反三： 【变式 1】求点 P0（1，2）到下列直线的距离： （1）2x+y10=0；（2）x+y=2；（3）y1=0 【答案】 （1）（2）（3）12 5 2 2 【解析】 （1）根据点到直线的距离公式得 22 |2 ( 1)2 10|10 2 5 5 21 d （2）直线方程可化为 x+y2=0，所以 22 |( 1)22|2 2 11 d （3）因为直线 y1=0 平行于 x 轴，所以 d=|21|=
20、1 类型六、两平行直线间的距离类型六、两平行直线间的距离 例 8 求两条平行直线 y=3x+5 与 6x2y+3=0 间的距离 【答案】 7 10 20 【错解】 直线方程 y=3x+5 可化为 3xy+5=0， 所求的距离为 22 |53|2 10 10 31 d 【正解】 经变形得两条平行直线的方程为 6x2y+10=0 和 6x2y+3=0，故它们之间的距离为 22 |103| 62 7 10 20 【总结升华】 在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且 x、y 的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形 举一反三：举一反三： 【变式 1】直线 1过点 A（0，1） ，2过点 B（5，0） ，如果12，且1与2的距离为 5，求 llllll 1、2的方程 ll 【答案】或 1 2 :12550 :125600 lxy lxy 1 2 :0 :5 lx lx
