1、直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离 381525 知识要点知识要点 1】 要点一、直线的交点要点一、直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求 111111 0(0)A xB yCA BC 222222 0(0)A xB yCA B C 两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个 111 222
2、0 0 A xB yC A xB yC 111 222 ABC ABC 解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程 111 222 ABC ABC 11 22 AB AB 组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释：要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、要点二、过两条直线交点的直线系方程过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中 除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数由于参数取法不同，从, x y 而得到不同的
3、直线系 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC 线方程为，其中是待定系数在这个方程中，无论取什么实 111222 ()0AxB yCA xB yC 数，都得不到，因此它不能表示直线 222 0A xB yC 2 l 要点三、两点间的距离公式要点三、两点间的距离公式 两点间的距离公式为 111222 ()()P xyP xy . 22 122121 ()()PPxxyy 要点诠释：要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两 平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来
4、解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、 圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四、点到直线的距离公式要点四、点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 00 ()P xy0AxByC 00 22 AxByC d AB 要点诠释：要点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； 00 ()P xy0AxByCP （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点五、要点五、两平行线间的距离两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解
5、法：转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一 条直线的距离即为两直线之间的距离；距离公式：直线与直线的 1 0AxByC 2 0AxByC 距离为. 21 22 CC d AB 要点诠释：要点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点 一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条 22 21 | BA CC d 直线中 x，y 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 【典型例题典型例题】 类型一、类型一、判
6、断两直线的位置关系判断两直线的位置关系 例 1是否存在实数 a，使三条直线，能围成一 1: 10laxy 2: 10lxay 3: 0lxya 个三角形？请说明理由 【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一 点 （1）当时，即 a=1 12 /ll 1 a a （2）当时，a=1，即 a=1 13 /ll （3）当时，即 a=1 23 /ll 1 1 a （4）当与、相交于同一点时，由得交点（1a，1） ，将其代入 ax+y+1=0 中， 1 l 2 l 3 l 10 0 xay xya 得 a=2 或 a=1 故当 a1 且 a1 且 a2 时
7、，这三条直线能围成一个三角形 【总结升华】 本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注 意 举一反三：举一反三： 【变式 1】直线 5x+4y2m1=0 与直线 2x+3ym=0 的交点在第四象限，求 m 的取值范围 【答案】 3 ,2 2 【解析】解得 54210, 230, xym xym 23 7 2 7 m x m y 所以，解得 23 0 7 2 0 7 m m 3 ,2 2 m 类型二、过两条直线交点的直线系方程类型二、过两条直线交点的直线系方程 例 2求经过两直线 2x3y3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y1=0 平行的直线方程 【
8、答案】15x+5y+16=0 【解析】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或 过定点系）求直线方程 解法一：设所求的直线为 ，由方程组得直线 和直线 3x+y1=0 平l 2330 20 xy xy 3 5 7 5 x y l 行， 直线 的斜率 k=3l 根据点斜式有， 73 3 55 yx 即所求直线方程为 15x+5y+16=0 解法二：直线 过两直线 2x3y3=0 和 x+y+2=0 的交点，l 设直线 的方程为 2x3y3+(x+y+2)=0，l 即(+2)x+(3)y+23=0 直线 与直线 3x+y1=0 平行，l ，解得 2323 31
9、1 11 2 从而所求直线方程为 15x+5y+16=0 【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用 的解题技巧，应注意掌握和应用 举一反三：举一反三： 【变式 1】求证：无论 m 取什么实数，直线(2m1)x+(m+3)y(m11)=0 都经过一个定点，并求出 这个定点的坐标 证法一：对于方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0，令 m=0，得 x3y11=0；令 m=1，得 x+4y+10=0 解方程组，得两直线的交点为（2，3） 311 0 4100 xy xy 将点（2，3）代入已知直线方程左边，得(2m1)2+(m+3)(3)(m11)
10、 =4m23m9m+11=0 这表明不论 m 取什么实数，所给直线均经过定点（2，3） 证法二：将已知方程以 m 为未知数，整理为(2x+y1)m+(x+3 y+11)=0 由于 m 取值的任意性，有，解得 210 3110 xy xy 2 3 x y 所以所给的直线不论 m 取什么实数，都经过一个定点（2，3） 类型三、对称问题类型三、对称问题 例 3 已知直线 1：2x+y4=0，求1关于直线 ：3x+4y1=0 对称的直线2的方程 llll 【答案】2x+11y+16=0 【解析】 解法一：由，得直线 1与 的交点为 P（3，2） ，显然 P 也在直线2 240 3410 xy xy l
11、ll 上 在直线 1上取一点 A（2，0） ，又设点 A 关于直线 的对称点为 B（x0，y0） ，则 ll ，解得 0 0 00 04 23 20 3410 22 y x xy 48 , 55 B 故由两点式可求得直线 2的方程为 2x+11y+16=0 l 解法二：设直线 2上一动点 M（x，y）关于直线 的对称点为 ，则ll( ,)Mx y ，解得 4 3 3410 22 yy xx xxyy 7246 25 2478 25 xy x xy y 显然在 1上，故 ，即 2x+11y+16=0，这便是所求( ,)Mx yl 72462478 240 2525 xyxy 的直线 2的方程 l
12、 【总结升华】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问 题，即在其上取一点（或两点） ，求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方 程 一般地，当对称轴的斜率为1 时，求 P（x0，y0）的对称点 Q，只需由对称轴方程解出 x，再用 y0 代替 y，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）求点 P（x0，y0）关于直线 xy+C=0 的对称点坐标； （2）求直线 1：Ax+By+C=0 关于直线2：x+y3=0 的对称直线3的方程 lll 【答案】 （1） （y0C，x0+C） ；（2）Bx+A
13、y3A3BC=0 例 4在直线 ：3xy1=0 上求一点 P，使得：l （1）P 到 A（4，1）和 B（0，4）的距离之差最大； （2）P 到 A（4，1）和 C（3，4）的距离之和最小 【答案】 （1） （2，5） （2） 11 26 , 77 【解析】 设 B 关于 的对称点为 B，AB与 的交点 P 满足（1） ；设 C 关于 的对称点为lll C，AC与 的交点 P 满足（2） 事实上，对（1） ，若 P是 上异于 P 的点，则ll ；对于（2） ，若 P是 上异于 P| | |P AP BP AP BAB|PA| |PBPAPBl 的点，则 | | |P AP CP AP CAC|
14、PA|PC （1）如图 1 所示，设点 B 关于 的对称点 B的坐标为（a，b） ， l ，即， 1 BBl kk 4 31 b a a+3b12=0 又由于 BB的中点坐标为，且在直线 上， 4 , 22 a b l ，即 3ab6=0 4 310 22 ab 解得 a=3，b=3，B（3，3） 于是直线 AB的方程为，即 2x+y9=0 14 3 134 yx 解由 的直线方程与 AB的直线方程组成的方程组得 x=2，y=5，即 与 AB的交点坐标为（2，5） ，ll 所以 P（2，5） （2）如图 2 所示，设 C 关于 的对称点为 C，求出 C的坐标为l 3 24 , 55 AC所在直
15、线的方程为 19x+17y93=0 AC和 交点坐标为l 11 26 , 77 P 故 P 点坐标为 11 26 , 77 【总结升华】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边） 可知，要在直线 上求一点，使这点到两定点 A、B 的距离之差最大的问题，若这两点 A、B 位于直线l 的同侧，则只需求出直线 AB 的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若 A、B 两点l 位于直线 的异侧，则先求 A、B 两点中某一点（如 A）关于直线 的对称点 A，再求直线 AB 的方ll 程，再求它们与直线 的交点即可对于在直线 上求一点 P，使 P 到平面上两点
16、 A、B 的距离之和最小ll 的问题可用类似方法求解 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知点 M（3，5） ，在直线 ：x2y+2=0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q，使MPQ 周长最l 小 【答案】、 5 9 , 2 4 P 7 0, 2 Q 【解析】由点及直线 ，可求得点关于 的对称点同样容易求得点关于(3,5)MlMl 1(5,1) MM 轴的对称点据及两点可得到直线的方程为，y 2( 3,5) M 1 M 2 M 1 M 2 M270xy 解方程组，得交点，令，得到与轴的交点 270 220 xy xy 5 9 , 2 4 P 0x 1 M 2 My 7 (0, ) 2 Q 类型四
17、、两点间的距离类型四、两点间的距离 例 5已知直线 过点 P（3，1） ，且被两平行直线 1：x+y+1=0，2：x+y+6=0 截得的线段长为 5， lll 求直线 的方程l 【答案】y=1 或 x=3 【解析】 设直线 与直线 1、2分别交于点 A（x1，y1） 、B（x2、y2） ，则 ，两方lll 11 22 10 60 xy xy 程相减，得(x1x2)+(y1y2)=5， 由已知及两点间距离公式，得(x1x2)2+(y1y2)2=25， 由解得或，又点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）在直线 上，因此直线 的 12 12 5 0 xx yy 12 12 0 5 xx yy ll
18、 斜率为 0 或不存在，又直线 过点 P（3，1） ，所以直线 的方程为 y=1 或 x=3ll 【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求” “整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了 解题过程这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能另外，灵活运 用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，直线 上有两点 A、B，A 点和 B 点的横坐标分别为 x1，x2，直线l 方程为 y=kx+b，求 A、B 两点的距离l 【答案】 222 2121 |(1)()1|ABkxxkxx 例 6已知函数，求的最小值，并求取得最小值时
19、 x 的 22 ( )2248f xxxxx( )f x 值 【答案】， 4 3 10 【解析】 将函数表达式变形为：，可以看作 2222 ( )(1)(0 1)(2)(02)f xxx P（x，0）到点 A（1，1）与到点 B（2，2）的距离之和，即在 x 轴上求一点 P，使|PA|+|PB|最小 22 ( )2248f xxxxx 2222 (1)(0 1)(2)(02)xx 它表示点 P（x，0）到点 A（1，1）的距离加上点 P（x，0）到点 B（2，2）的距离之和，即在 x 轴 上求一点 P（x，0）与点 A（1，1） 、B（2，2）的距离之和的最小值由下图可知，可转化为求两点 A（
20、1，1）和 B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值( )f x 的最小值为( )f x 22 (1 2)( 1 2)10 再由直线方程的两点式得的方程为 3xy4=0令 y=0，得当时，A B 4 3 x 4 3 x 的最小值为( )f x10 【总结升华】本例中，由“”与两点间距离公式结构相似，因而 222 22(1)(0 1)xxx 可得到“”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决( )f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】试求的最小值 22 ( )(1)1(2)4f xxx 【答案】3 2 【解析】，它表示点 P（x，0）到点 A（1，1） 2222 ( )(1)(
21、0 1)(2)(02)f xxx 的距离加上点 P（x，0）到点 B（2，2）的距离之和，即在 x 轴上求一点 P（x，0）与点 A（1，1） 、 B（2，2）的距离之和的最小值可转化为求两点 A（1，1）和 B（2，2）间的距离，其距离为函 数的最小值( )f x 的最小值为( )f x 22 ( 1 2)( 1 2)3 2 类型五、点到直线的距离类型五、点到直线的距离 例 7已知在ABC 中，A（1，1） ，C（4，2） （1m4） ，求 m 为何值时，ABC( ,)B mm 的面积 S 最大？ 【答案】 9 4 【解析】 以 AC 为底，则点 B 到直线 AC 的距离就是 AC 边上的高
22、，求出 S 与 m 之间的函数关系 式 A（1，1） ，C（4，2） ， 22 |(4 1)(2 1)10AC 又直线 AC 的方程为 x3y+2=0， 点到直线 AC 的距离，( ,)B mm |32| 10 mm d 11 |32| 22 SACdmm 2 131 224 m 1m4， 131 12 222 mm ， 2 31 0 24 m 2 1 13 2 42 Sm 当，时，S 最大 3 0 2 m 9 4 m 故当时，ABC 的面积最大 9 4 m 【总结升华】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的 高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三
23、角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是 点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论 举一反三：举一反三： 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离 381525 知识点（二）中的例知识点（二）中的例 1】 【变式 1】 过点 M(-2,1)，且与点 A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线 的方程ll 【答案】 1y 20xy 【解析】 法一：直线 过 AB 的中点（1，1） ，所以 的方程为ll1y 直线，则设 的方程为/lABl1(2)yk x 则，所以 的方程为： 1 2 k l20xy 法二：由题
24、意知直线 的斜率存在，设 的方程为，ll1(2)yk x 则 A、B 两点到直线 的距离l 22 |1|51| 11 kk kk 解得： 1 0, 2 kk 所以 的方程为：和l1y 20xy 【变式 2】若点 P（a，b）在直线 x+y+1=0 上，求的最小值 22 222abab 【答案】 3 2 2 类型六、两平行直线间的距离类型六、两平行直线间的距离 例 8两条互相平行的直线分别过点 A（6，2）和 B（3，1） ，并且各自绕着 A、B 旋转，如果 两条平行直线间的距离为 d （1）求 d 的变化范围； （2）当 d 取最大值时，求两条直线的方程 【答案】 （1）；（2）3x+y20=
25、0 和 3x+y+10=0(0,3 10 【解析】 （1）当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为 x=6 和 x=3，则它们之间的距离 为 9 当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 1：y2=k(x6)，2：y+1=k(x+3)，即 ll 1：kxy6k+2=0，2：kxy+3k1=0 ll ，即(81d2)k254k+9d2=0 22 |31 62|3|31| 11 kkk d kk kR，且 d0，d0，=5424(81d2)(9d2)0，即且03 10d d9 综合可知，所求的 d 的变化范围为(0,3 10 （2）由右图可知，当 d 取最大值时，两直线垂直于 AB 而， 2(
26、1)1 6( 3)3 AB k 所求的直线的斜率为3 故所求的直线方程分别为 y2=3(x6)和 y+1=3(x+3)，即 3x+y20=0 和 3x+y+10=0 【总结升华】在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解 题的方法的再现，这说明数形结合可优化思维过程 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知直线 1：2xy+a=0（a0） ，直线2：4x+2y+1=0 和直线3：x+y1=0，且1与 llll 2的距离是 l 7 5 10 （1）求 a 的值； （2）能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；P 点到 1的距离 l 是
27、 P 点到 2的距离的 ；P 点到 1的距离与 P 点到2的距离之比是 若能，求 P 点坐标；若l 1 2 ll25 不能，请说明理由 【答案】 （1）a=3 （2） 1 37 , 9 18 P 【解析】 （1）直线 2即 ，l 1 20 2 xy 1与2的距离 ll 2 1 |()| 7 5 2 10 21 a d 解得3a （2）能找到点 P，使得 P 点同时满足三个条件 设点 P，若 P 点满足条件， 00 (,)xy 则 P 点在 1、2平行的直线 ，ll :20lxyc 且，即或 1 | |3|1 2 255 c c 13 2 c 11 6 c 或； 00 13 20 2 xy 00 11 20 6 xy 若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式， 有， 0000 |23|1|2 552 xyxy 或 00 240xy 0 320x 由 P 在第一象限，所以不可能 0 320x 联立方程，解得，应舍去 00 00 13 20 2 240 xy xy 00 1 3, 2 xy 由，解之得 00 00 11 20 6 240 xy xy 00 137 , 918 xy 即为同时满足三个条件的点 1 37 ( ,) 9 18 P
