1、2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、单选题（每小题4分，共40分）1（4分）若z，则复数（）A2iB2+iC2iD2+i2（4分）函数在x2处的切线方程为（）ABCD3（4分）已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：lm；lm； lm；lm其中正确的是（）ABCD4（4分）一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其均切成棱长为1的若干个小正方体，置于一密闭容器中搅拌均匀，从中任取一个小正方体，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率为（）ABCD5（4分）在ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则（）ABCD6（4分）已知条件p：|x+1|2，条件q：x
2、a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）Aa1Ba3Ca1Da17（4分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8（4分）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间为（）ABCD9（4分）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若AB
3、C的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD10（4分）设函数f（x）aex2sinx，x0，有且仅有一个零点，则实数a的值为（）ABCD二、填空题（每小题4分，共16分）11（4分）已知抛物线y24x的准线经过椭圆的焦点，则b 12（4分）已知等比数列an的各项都为正数，满足a12，a74a5，设bnlog2a1+log2a2+log2an，则数列的前2019项和S2019 13（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为 14（4分）在区间0，1上随机取两个数x、y，记P1为事件“”的概率，p2
4、为事件“”的概率，p3为事件“”概率，则p1、p2、p3的大小关系是 （用连接）三、解答题15（8分）已知函数（1）在ABC中，求tanC；（2）若函数f（x）在上的值域为，求m的最小值16（8分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点在曲线C2上，求ABO的面积17（8分）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD，BAD90（1）求证：ADBC
5、；（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（3）求点C到平面ABD的距离18（10分）已知A、B为椭圆E：的上、下顶点，|AB|2，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若点P（t，2）（t0）为直线y2上任意一点，PA、PB交椭圆于C、D两点，求四边形ACBD面积的最大值19（10分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当0x1时，f（x）f（x）；（3）证明：当f（x1）f（x2）（x1x2）时，x1+x202018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题4分，共40分）1（4分）若z，则复数（）A2iB2
6、+iC2iD2+i【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简，求出复数z的共轭复数【解答】解：2i所以2+i故选：D【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除混合运算，考查计算能力，常考题型2（4分）函数在x2处的切线方程为（）ABCD【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程【解答】解：函数，可得f（x），f（2），f（2），函数在x2处的切线方程为：y（x2），即故选：C【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力3（4分）已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：lm；lm； lm；lm其中正确的是（）ABCD【分析】由线面垂直的性质和面面平
7、行的性质，可判断；由面面垂直的性质和线线位置关系，可判断；由线面垂直的判断和面面垂直的判断，可判断；运用面面的位置关系和线面垂直的性质，可判断【解答】解：直线l平面，直线m平面，llm，故正确；lm或l，m异面或相交，故错误；lmm，又m，故正确；lm或，相交，故错误故选：D【点评】本题考查空间线面和面面平行、垂直的判断和性质，考查线面和面面的位置关系和推理能力，空间想象能力，属于基础题4（4分）一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其均切成棱长为1的若干个小正方体，置于一密闭容器中搅拌均匀，从中任取一个小正方体，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率为（）ABCD【分析】一个棱长为4的正方体涂上红
8、色后，将其切成棱长为1的小正方体，切割后共计4364个正方体，三面红色的正方体数等于角数，有8个，两面红色的正方体数为棱数的2倍，有12224个，由此能求出从中任取一个，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率【解答】解：一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其切成棱长为1的小正方体，切割后共计4364个正方体，原来的正方体有8个角，12条棱，6个面，所以三面红色的正方体数等于角数，有8个，两面红色的正方体数为棱数的2倍，有12224个，从中任取一个，则取到至少两面涂红色的小正方体的概率为：P故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础
9、题5（4分）在ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则（）ABCD【分析】由平面向量基本定理及共线向量的运算得：+（），得解【解答】解：+（），故选：B【点评】本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题6（4分）已知条件p：|x+1|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）Aa1Ba3Ca1Da1【分析】因为“若p则q”的等价命题是“若q则p”，所以q是p的充分不必要条件，即q是p的真子集，然后解不等式|x+1|2，利用数轴求解即可【解答】解：由题意知：p：|x+1|2可化简为x|x3或x1；q：xa“若p则q”的等价命题是“若q则p”，q是p的充分不必要条
10、件，即qpa1故选：D【点评】本题主要考查四种命题的等价关系，及解绝对值不等式，属基础知识、运算能力的考查7（4分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知
11、道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题8（4分）将函数的图象向右平移个周期后，
12、所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间为（）ABCD【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：将函数的图象向右平移个周期后，即向右平移个单位，所得图象对应的函数为f（x）sin（2x+）sin（2x），令2k2x2k+，求得kxk+，故函数f（x）的增区间为k，k+，kZ，故选：B【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题9（4分）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若A
13、BC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得ACBC，可得四边形FABC为矩形，即有|AF|BC|，设|AC|m，|BC|n，可得nm2a，n2+m24c2，mn2a2，即有4c28a24a2，即有ca，ba，可得双曲线的渐近线方程为yx故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题10（4分
14、）设函数f（x）aex2sinx，x0，有且仅有一个零点，则实数a的值为（）ABCD【分析】由函数的零点与函数图象的交点的相互转化得：函数f（x）aex2sinx，x0，有且仅有一个零点等价于a，x0，有且仅有一个解，即直线ya与g（x），x0，的图象只有一个交点，由利用导数研究函数的图象得：g（x），x0，则g（x），即g（x）在0，）为增函数，在（，为减函数，又g（0）0，g（）0，g（），则可得实数a的值为，得解【解答】解：函数f（x）aex2sinx，x0，有且仅有一个零点等价于a，x0，有且仅有一个解，即直线ya与g（x），x0，的图象只有一个交点，设g（x），x0，则g（x），当0
15、x时，g（x）0，当x时，g（x）0，即g（x）在0，）为增函数，在（，为减函数，又g（0）0，g（）0，g（），则可得实数a的值为，故选：B【点评】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题二、填空题（每小题4分，共16分）11（4分）已知抛物线y24x的准线经过椭圆的焦点，则b【分析】利用椭圆和抛物线的简单性质直接求解【解答】解：抛物线y24x的准线x1，抛物线的准线经过椭圆的焦点，c1，4b21，b故答案为：【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意椭圆线和抛物线的简单性质的合理运用12（4分）已知等比数列an的各项都为正数，满足a12，a
16、74a5，设bnlog2a1+log2a2+log2an，则数列的前2019项和S2019【分析】设等比数列an的公比为q0，根据a12，a74a5，可得q24，解得q利用通项公式、对数运算性质可得bn，再利用求和公式、裂项求和方法即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a12，a74a5，q24，解得q2an2n，log2annbnlog2a1+log2a2+log2an1+2+（n1）+n2则数列的前2019项和S20192（1+）2故答案为：【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（4分）如图，网格纸上小正方形
17、的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为63【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V321032663，故答案为：63【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（4分）在区间0，1上随机取两个数x、y，记P1为事件“”的概率，p2为事件“”的概率，p3为事件“”概率，则p1、p2、p3的大小关系是p2p3p1（用连接）【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几
18、何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：图1中，D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0）；则阴影部分的面积为S111；图2中，阴影部分对应的面积为S2112；图3中，阴影部分对应的面积为S31+dx+lnx+lnx2，S2S3S1，即p2p3p1，故答案为：p2p3p1【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合是解决本题的关键三、解答题15（8分）已知函数（1）在ABC中，求tanC；（2）若函数f（x）在上的值域为，求m的最小值【分析】把原函数降幂，再由辅助角公式化积（1）由2求得A，可得B，代入，整理得答案
19、；（2）由x的范围求得相位的范围，结合值域可得，则答案可求【解答】解：2sinxcosx+（2cos2x1）sin2x+cos2x2sin（2x+）（1）由，得，（），即A则B，由，得，即，tanC；（2）由xm，得，而函数f（x）2sin（2x+）的值域为，则，即m的最小值为【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查三角形的解法，是中档题16（8分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点在曲线C2上，
20、求ABO的面积【分析】（1）由cos4得x4，设P（x，y），M（4，y0），则，y0由|OM|OP|16得16，16，化简得x2+y24|x|，又因为点P在线段OM上，x0故点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+y24x0（2）利用极径的几何意义以及面积公式可得【解答】解：（1）由cos4得x4，设P（x，y），M（4，y0），则，y0由|OM|OP|16得16，16，化简得x2+y24|x|，又因为点P在线段OM上，x0故点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+y24x0（x0）（2）点A的极坐标为（2，），所以点A的直角坐标为（1，），点B的直角坐标为（2cos，2sin），将B的直角坐标代入
21、x2+y24x0可得12cos2+12sin242cos0，解得cos，sin，或SABO|OA|OB|sin（）或AABO|OA|OB|sin2所以ABO的面积为或2【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题17（8分）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD，BAD90（1）求证：ADBC；（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（3）求点C到平面ABD的距离【分析】（1）由平面ABC平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD平面ABC，则ADBC；（2）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得DMN（或其补
22、角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；（3）连接CM，由ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CMAB，且CM，再由面面垂直的性质可得CM平面ABD，由此能求出点C到平面ABD的距离【解答】证明：（1）由平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，得AD平面ABC，故ADBC；解：（2）取棱AC的中点N，连接MN，ND，M为棱AB的中点，故MNBC，DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在RtDAM中，AM1，故DM，AD平面ABC，故ADAC，在RtDAN中，AN1，故DN，在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN异面直
23、线BC与MD所成角的余弦值为（3）连接CM，ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CMAB，CM，又平面ABC平面ABD，而CM平面ABC，CM平面ABD，点C到平面ABD的距离为【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题18（10分）已知A、B为椭圆E：的上、下顶点，|AB|2，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）若点P（t，2）（t0）为直线y2上任意一点，PA、PB交椭圆于C、D两点，求四边形ACBD面积的最大值【分析】（1）由题意求得a、c、b的值，即可写出椭圆的标准方程；（2）设直线AP的方程
24、，代入椭圆方程，求得C和D点坐标，由S四边形ACBDSACB+SADB，根据函数的单调性求得四边形ACBD面积的最大值【解答】解：（1）根据题意可得|AB|2b2，则b1，又由，解得a2，故椭圆E的方程为+y21（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），则直线AP的方程为yx+1，代入椭圆方程化简得x2+x0，解得xA0，x1，同理xB0，x2，S四边形ACBDSACB+SADB|AB|x1x2|，令ut+4，S四边形ACBD32g（u），有g（u）在4，+）上单调递减，（S四边形ACBD）最大值g（4）2【点评】本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系应用问题，也考查了构造函数求最值
25、的应用问题，属于中档题19（10分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当0x1时，f（x）f（x）；（3）证明：当f（x1）f（x2）（x1x2）时，x1+x20【分析】（1）xRf（x），可得函数f（x）的单调性（2）证明当0x1时，f（x）f（x）（1x）ex（1x）e2x（1+x）0令g（x）（1x）e2x（1+x），x（0，1）利用导数已经其单调性即可证明结论（3）由图象可得：当f（x1）f（x2）a（x1x2）时，0a1，设x10x21证明x1+x20x1x20f（x2）f（x1）f（x2），由（2）即可证明结论【解答】（1）解：xRf（x），0，令f（x）0，解得
26、x0可得：函数f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减（2）证明：证明当0x1时，f（x）f（x）（1x）ex（1x）e2x（1+x）0令g（x）（1x）e2x（1+x），x（0，1）g（x）e2x（12x）1u（x），u（x）4xe2x0，u（x）在（0，1）上单调递减g（x）e2x（12x）1u（x）u（0）0，函数g（x）在x（0，1）上单调递减g（x）g（0）0当0x1时，f（x）f（x）（3）证明：由图象可得：当f（x1）f（x2）a（x1x2）时，0a1，设x10x21证明x1+x20x1x20f（x2）f（x1）f（x2），由（2）可知：0x21时，f（x2）f（x2）成立，可得：x1+x20【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
