1、2018-2019学年陕西省西安市西工大附中高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共48分）1（4分）抛物线x4y2的焦点坐标是（）A（0，1）B（0，1）CD2（4分）已知双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，若|AB|10，则ABF2的周长为（）A20B30C40D603（4分）若kR，则“k5”是方程1表示“双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（4分）下列叙述正确的是（）A存在实数xR，使成立B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C命题“对任意xR，有x20”的否
2、定是“存在xR，有x20”Dl是一条直线，、是两个不同的平面，若l，l，则5（4分）F1，F2是椭圆C：+1的两个焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为（）A0B1C2D46（4分）下列四个命题为真命题的个数是（）命题“若x1，则x21”的否命题命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题命题“全等三角形面积相等”的否命题命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题A1个B2个C3个D4个7（4分）一个四面体的所有棱长都是，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D68（4分）已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1
3、|PF2|（）A2B4C6D89（4分）若点A（m，1）在椭圆+1的内部，则m的取值范围是（）AmBm或mC2m2D1m110（4分）已知抛物线y22px（p0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）AxlBx2Cx1Dx211（4分）若双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A2BCD12（4分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A3x4y0B3x
4、5y0C4x3y0D5x4y0二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离为 14（4分）椭圆+1（ab0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 15（4分）已知抛物线y28x的准线为l，C（3，4）为一定点，设该抛物线上任一点P到l的距离为d，则d+|PC|的最小值为 16（4分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，则C的离心率为 三、解答题（共36分）17（9分）在圆x2+y24上任取一点P
5、，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率18（9分）已知双曲线C的一条渐近线为，且经过点P（1）求该双曲线的标准方程；（2）若直线l：ykx+2与双曲线C有且只有1个公共点，求实数k的值19（9分）过抛物线C：x22py（p0）焦点F的直线l1与抛物线C相交于A，B两点，当|AB|12时，AB的中点到x轴的距离是5（）求抛物线C的方程；（）过F垂直于l1的直线l2与抛物线交于D，E两点，M，N分别为线段AB，DE的中点，求|MN|的最小值20（9分）在平面直角坐标坐标系中，A（2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点
6、M，且它们的斜率之积是（1）求点M的轨迹E的方程；（2）若过点（m，0）且倾斜角为的直线l交曲线E于C、D两点，且P（2，0）在以CD为直径的圆M外，求实数m的取值范围2018-2019学年陕西省西安市西工大附中高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1（4分）抛物线x4y2的焦点坐标是（）A（0，1）B（0，1）CD【分析】根据题意，将抛物线的方程变形可得其标准方程，分析可得其焦点在x轴上，且p，由焦点坐标公式计算可得答案【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x4y2，则其标准方程为y2x，分析可得：其焦点在x轴上，且p，故其焦点坐标为（，0）；故
7、选：D【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意要先将抛物线的方程变形为标准方程2（4分）已知双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，若|AB|10，则ABF2的周长为（）A20B30C40D60【分析】设|AF1|m，|BF1|n，由题意可得m+n10，由双曲线的定义可得|AF2|m+2a，|BF2|n+2a，即可得到所求周长【解答】解：设|AF1|m，|BF1|n，由题意可得m+n10，由双曲线的定义可得|AF2|m+10，|BF2|n+10，则ABF2的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|m+n+（m+n）+2020+2|AB|20+21040，故
8、选：C【点评】本题考查双曲线的定义和运用，考查运算能力，属于基础题3（4分）若kR，则“k5”是方程1表示“双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】分别假设“k5”或方程1表示“双曲线”成立，判断它们是否成立【解答】解：若k5，则k50，k+20，则方程1表示“双曲线”若方程1表示“双曲线”，则（k5）（K+2）0，解得，k5或k2故“k5”是方程1表示“双曲线”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题4（4分）下列叙述正确的是（）A存在实数xR，使成立B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C命
9、题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”Dl是一条直线，、是两个不同的平面，若l，l，则【分析】Asinx+cosxsin（x+），即可判断出结论B利用不等式的性质即可判断出结论C利用命题的否定意义即可判断出结论D利用线面垂直的性质定理即可判断出正误【解答】解：Asinx+cosxsin（x+），因此不存在实数xR，使成立，故不正确；Ba，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac，且b0”，因此不正确；C对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”，因此不正确；D由l，l，则，正确故选：D【点评】本题考查了简易逻辑的判定、不等式的性质、三角函数求值、线面垂直的性质
10、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（4分）F1，F2是椭圆C：+1的两个焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为（）A0B1C2D4【分析】由椭圆方程求出a，b，c，判断椭圆的形状，确定满足题意的点的个数【解答】解：由，得a2，b2，c2bc2，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点PF1PF2的点P的个数为2故选：C【点评】本题考查椭圆的基本性质，垂直体积的应用是解题的关键，考查计算能力6（4分）下列四个命题为真命题的个数是（）命题“若x1，则x21”的否命题命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题命题“全等三角形面积相等”的否命题命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”
11、的逆命题A1个B2个C3个D4个【分析】命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，即可判断出真假；根据原命题与逆否命题同真假即可判断出结论命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”，即可判断出真假原命题的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”，进而判断出结论【解答】解：命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，不正确，例如取x2命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线
12、是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题综上可得真命题的个数为：2故选：B【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、命题真假的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（4分）一个四面体的所有棱长都是，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D6【分析】把这个正四面体置于一个正方体中，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，由四个顶点A1、B、C1、D组成的四面体的所有棱长均为，从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由此能求出结果【解答】解：一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，把这个正四面体置于一个正方体中，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，由
13、四个顶点A1、B、C1、D组成的四面体的所有棱长均为，从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由于正方体的体对角线长为，球的半径为R，此球表面积S4R23故选：A【点评】本题考查球的表面积的求法，考查四面体、球的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题8（4分）已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|（）A2B4C6D8【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|PF2|的值解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|PF2|的值【解答】解
14、：法1由双曲线方程得a1，b1，c，由余弦定理得cosF1PF2|PF1|PF2|4法2； 由焦点三角形面积公式得：|PF1|PF2|4；故选：B【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力9（4分）若点A（m，1）在椭圆+1的内部，则m的取值范围是（）AmBm或mC2m2D1m1【分析】利用已知条件列出不等式，求解即可【解答】解：点A（m，1）在椭圆+1的内部，可得，解得：m故选：A【点评】本题考查点与椭圆的位置关系的应用，列出不等式是解题的关键，选择题，可以利用回代验证方法解答，有时效果较好10（4分）已知抛物线y22px（p0），
15、过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）AxlBx2Cx1Dx2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）由于直线过其焦点且斜率为1，可得方程为y与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得P，即可得到抛物线的准线方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由于直线过其焦点且斜率为1，可得方程为y联立，化为，x1+x23p23，解得p2抛物线的准线方程为x1故选：C【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于基础题11（4分）若双曲线C：1（a0，b0
16、）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A2BCD【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay0，圆（x2）2+y24的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得e24，即e2故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力12（4分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到
17、直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|24b根据双曲定义可知4b2c2a，整理得c2ba，代入c2a2+b2整理得3b24ab0，求得双曲线渐近线方程为yx，即4x3y0故选：C【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题二、填空题（每小题4
18、分，共16分）13（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离为【分析】求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线的一个焦点（2，0），一条渐近线方程为：0，双曲线的焦点到渐近线的距离为：2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查14（4分）椭圆+1（ab0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为【分析】直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率【解答】解：因为椭圆+1（ab0）的左、右顶点分别是A，B，左、
19、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|a+c，所以（ac）（a+c）4c2，即a25c2，所以e故答案为：【点评】本题考查椭圆的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力15（4分）已知抛物线y28x的准线为l，C（3，4）为一定点，设该抛物线上任一点P到l的距离为d，则d+|PC|的最小值为【分析】求出抛物线的准线方程，过P作PMl，交于点M，由C，P，F三点共线时，d+|PC|取得最小值，即可得到所求最小值【解答】解：抛物线y28x的准线为l：x2，F（2，0），过P作PMl，交于点M，当C，P，F三点共线时，d
20、+|PC|取得最小值，且为|CF|故答案为：【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点间的距离最短的运用，考查运算能力，属于基础题16（4分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，则C的离心率为【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN60，可得A到渐近线bx+ay0的距离为：bcos30，可得：，即，可得离心率为：e故
21、答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力三、解答题（共36分）17（9分）在圆x2+y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率【分析】根据题意，设M（x0，y0），分析可得P的坐标，分析可得，整理得，即可得M的轨迹是椭圆，由椭圆的标准方程分析可得其焦点坐标以及离心率【解答】解：根据题意，设M（x0，y0），又由线段PD的中点M，则P（x0，2y0），点P在圆上运动，所以，整理得，所以点M的轨迹是椭圆，该椭圆的焦点是，离心率为【点评】本题考
22、查曲线的轨迹方程，涉及椭圆的几何性质，关键是求出轨迹的方程18（9分）已知双曲线C的一条渐近线为，且经过点P（1）求该双曲线的标准方程；（2）若直线l：ykx+2与双曲线C有且只有1个公共点，求实数k的值【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线方程为x+y0，可设双曲线C的方程3x2y2，代入点A（，），可得双曲线C的方程；（2）联立直线方程与双曲线方程，分类求得直线与双曲线只有一个公共点的k的范围【解答】解：（1）双曲线的一条渐近线方程为x+y0，可设双曲线C的方程3x2y2，双曲线经过点A（，），63，3，双曲线C的方程为；（2）联立，消去y得：（3k2）x24kx70直线l与双曲线C有且只有
23、一个公共点3k20或，解得k，或k【点评】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立问题的求解方法，考查直线与双曲线位置关系的应用，是基础题19（9分）过抛物线C：x22py（p0）焦点F的直线l1与抛物线C相交于A，B两点，当|AB|12时，AB的中点到x轴的距离是5（）求抛物线C的方程；（）过F垂直于l1的直线l2与抛物线交于D，E两点，M，N分别为线段AB，DE的中点，求|MN|的最小值【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用定义可得|AF|y1+，|BF|y2+，|AB|y1+y2+p，AB的中点到x轴的距离是5，可得5，解得p（）由题意可得：直线AB的斜率存在且不为
24、0，设为：ykx+1（k0），联立，化为：x24kx40，则16k2+160，可得，|MN|24【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|y1+，|BF|y2+，|AB|y1+y2+p，AB的中点到x轴的距离是5，可得5，y1+y210，10+p12，解得p2x24y（）由题意可得：直线AB的斜率存在且不为0，设为：ykx+1（k0），联立，化为：x24kx40，则16k2+160，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x24k，x1x24，M（2k，2k2+1），N（，+1），|MN|24当且仅当k1时，|MN|4【点评】本题考查了抛物线得方程，直线与抛物线得位
25、置关系，属于中档题20（9分）在平面直角坐标坐标系中，A（2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是（1）求点M的轨迹E的方程；（2）若过点（m，0）且倾斜角为的直线l交曲线E于C、D两点，且P（2，0）在以CD为直径的圆M外，求实数m的取值范围【分析】（1）设M（x，y），由题意可得：kAMkBM，可得（x2）化简即可得出点M的轨迹E的方程（2）设C（x1，y1），D（x2，y2）由题意可得0直线l的方程为：yxm，与椭圆方程联立化为：7x28mx+4m2120，0，把根与系数点关系代入可得0进而得出m点取值范围【解答】解：（1）设M（x，y），由题意可得：kAMk
26、BM，（x2）化为：+1，（x2）点M的轨迹E的方程为：+1，（x2）（2）设C（x1，y1），D（x2，y2）由题意可得：（x12，y1）（x22，y2）（x12）（x22）+y1y20直线l的方程为：yxm联立，化为：7x28mx+4m2120，64m247（4m212）0，化为：m27，解得mx1x2，x1+x2，（x12）（x22）+y1y20，即（x12）（x22）+（x1m）（x2m）0化为：2x1x2（m+2）（x1+x2）+4+m202（m+2）+4+m20化为：7m216m+40解得m，或m2，又：mm2实数m的取值范围是（，2）【点评】本题考查了圆与椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程点根与系数点关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题
