1、2019-2020学年陕西省西安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“x0（0，+），”的否定是（）Ax0（0，+），Bx0（0，+），Cx（0，+），exx+1Dx（0，+），exx+12（5分）准线方程为y1的抛物线的标准方程为（）Ax24yBy24xCx22yDx24y3（5分）已知向量（0，2，1），（1，1，m），若，分别是平面，的法向量，且，则m（）A1B1C2D24（5分）已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（）ABCD5（5分）若
2、抛物线x22py（p0）上一点P（m，1）到其点F的距离为2p，则p（）ABC2D16（5分）已知下列命题到两定点（1，0），（1，0）距离之和等于1的点的轨迹为椭圆x0N，x022x010；已知（2，3，m），（2n，6，8），则“，为共线向量”是“m+n6”的必要不充分条件其中真命题的个数（）A0B1C2D37（5分）已知命题p：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l与抛物线C相切，命题q：若m5，则方程表示椭圆下列命题是真命题的是（）Ap（q）B（p）qCpqD（p）（q）8（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且BP2D1P，若，则x+y+z（
3、）ABCD19（5分）“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（）Am（2，3）Bm（1，4）Cm（0，4）Dm（4，+）10（5分）已知抛物线C：x26y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|（）A8B11C13D1611（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，四面体SABC各顶点坐标分别为S（2，2，4），A（6，6，4），B（6，6，0），C（2，6，4），则该四面体外接球的表面积是（）A12B16C32D4812（5分）已知椭圆C：x2+1，直线l：yx+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题
4、共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13（5分）已知向量（2，3，4），（1，m，2），若，则m 14（5分）命题“x1，2，使得x2+lnxa0”为假命题，则a的取值范围为 15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为 16（5分）双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，tanF1PF2，O为坐标原点，则|OP| 三、解答题：本大题共6小题，共0分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤考生根据要求作答17（10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上
5、，且长轴长为12，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知双曲线E过点（2，），且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程18（12分）已知p：对于xR，函数f（x）ln（kx24x+6k）有意义，q：关于k的不等式k2（2+m）k+2m0成立（1）若p为假命题，求k的取值范围（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围19（12分）如图，在正四棱锥S一ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点且SOOD（1）证明：SB平面PAC（2）求直线BC与平面PAC的所成角的大小20（12分）如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个
6、四棱锥的底面ABCD为正方形，MAMD，平面MAD平面ABCD（1）证明：平面MAB平面MDC；（2）若MAMD，求二面角MADN的余弦值21（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点（2，1）（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为2，求直线l的方程22（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率e，且圆x2+y21经过椭圆C的上、下顶点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆C1：1相交于M，N两点，证明：OMN的面积为定值（O为坐标原点）2019-2020学年陕西省西安市高二（上）期末数学试卷（
7、理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“x0（0，+），”的否定是（）Ax0（0，+），Bx0（0，+），Cx（0，+），exx+1Dx（0，+），exx+1【分析】根据存在性命题和全称命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为存在性命题，则命题的否定为x（0，+），exx+1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2（5分）准线方程为y1的抛物线的标准方程为（）Ax24yBy24xCx22yDx24y【分析】由已知可设抛物线方程为x22py（p0）并求得p，则抛物线的标准方
8、程可求【解答】解：抛物线的准线方程是y1，可设抛物线方程为x22py（p0），则，p2抛物线的标准方程为x24y故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线标准方程的求法，是基础题3（5分）已知向量（0，2，1），（1，1，m），若，分别是平面，的法向量，且，则m（）A1B1C2D2【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：向量（0，2，1），（1，1，m），分别是平面，的法向量，且，2+m0，解得m2故选：C【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（）
9、ABCD【分析】设出双曲线的方程，求出渐近线方程，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：双曲线C的焦点在y轴上，可设双曲线的方程为1（a0，b0），可得渐近线方程为yx，由题意可得，则e，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题5（5分）若抛物线x22py（p0）上一点P（m，1）到其点F的距离为2p，则p（）ABC2D1【分析】由抛物线的准线：y，知点P到准线的距离为1+2p，由此能求出抛物线方程【解答】解：抛物线的准线：y，点P到准线的距离为1+2p，p，故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算
10、能力，是基础题6（5分）已知下列命题到两定点（1，0），（1，0）距离之和等于1的点的轨迹为椭圆x0N，x022x010；已知（2，3，m），（2n，6，8），则“，为共线向量”是“m+n6”的必要不充分条件其中真命题的个数（）A0B1C2D3【分析】因为到两定点（1，0），（1，0）距离之和等于1的点不存在，故命题是假命题；解不等式x22x10得，所以x0N，使得x022x010，故命题是真命题；已知（2，3，m），（2n，6，8），若，为共线向量，则，m+n6，反之不成立，“，为共线向量”是“m+n6”的充分不必要条件，命题是假命题，从而得到真命题的个数【解答】解：对于命题：到两定点（1，
11、0），（1，0）距离之和等于1的点不存在，故命题是假命题；对于命题：解不等式x22x10得，又xN，x0或1或2，x0N，使得x022x010，故命题是真命题；对于命题：已知（2，3，m），（2n，6，8），若，为共线向量，则，m+n6，反之若m+n6，则m不一定伟，n不一定为2，“，为共线向量”是“m+n6”的充分不必要条件，命题是假命题；真命题的个数为：1个，故选：B【点评】本题主要考查了真、假命题的判断，是中档题7（5分）已知命题p：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l与抛物线C相切，命题q：若m5，则方程表示椭圆下列命题是真命题的是（）Ap（q）B（p）qCpqD（p）（q）
12、【分析】由题意可得命题p是假命题，命题q是真命题，即可判断出真假【解答】解：由题意可得命题p是假命题，命题q是真命题，则（p）q是真命题故选：B【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且BP2D1P，若，则x+y+z（）ABCD1【分析】结合已知及空间向量的基本运算，比照系数可求x，y，z，进而可求【解答】解：由题意可得，2，则，故x，y，z，所以x+y+z故选：B【点评】本题主要考查了空间图形中向量的线性表示，属于基础试题9（5分）“方程表示双曲线”的一
13、个充分不必要条件为（）Am（2，3）Bm（1，4）Cm（0，4）Dm（4，+）【分析】先求出“方程表示双曲线”的m的取值范围，再找它的真子集即可【解答】解：若“方程表示双曲线”，则（m1）（m4）0，解得：1m4，“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（1，4）的真子集，故选：A【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键10（5分）已知抛物线C：x26y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|（）A8B11C13D16【分析】利用抛物线的性质，结合中点的综坐标，转化求解即可【解答】解：抛物线C
14、：x26y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y210，则|AF|+|BF|y1+y2+p10+313故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查召唤师想以及计算能力，是中档题11（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，四面体SABC各顶点坐标分别为S（2，2，4），A（6，6，4），B（6，6，0），C（2，6，4），则该四面体外接球的表面积是（）A12B16C32D48【分析】利用各点坐标确定四面体ABCD各顶点恰是正方体的顶点，利用正方体外接球的直径为其体对角线长可得解【解答】解：通过各点的坐标可知，S，A
15、，B，C四点恰为棱长为4的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，其半径为体对角线的一半：即2R4，所以R2，故其表面积S4R248，故选：D【点评】此题考查了长方体外接球的问题，难度不大12（5分）已知椭圆C：x2+1，直线l：yx+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（）ABCD【分析】利用对称关系，求得对称点M，N的方程，代入椭圆方程，利用0，求得n的取值范围，并且线段MN的中点在直线l上，求得m和n的关系，即可求得m的取值范围【解答】解：设椭圆上存在关于直线yx+m对称的两点为M（x1，y1）、N（x2，y2），根据对称性可知线段MN被直线yx+m垂直
16、平分，且MN的中点T（x0，y0）在直线yx+m上，且kMN1，故可设直线MN的方程为yx+n，联立，整理可得：3x22nx+n220，所以x1+x2，y1+y22n（x1+x2）2n，由4n212（n21）0，可得n，所以x0，y0，因为MN的中点T（x0，y0）在直线yx+m上，所以+m，m，m，故选：C【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式和对称性的应用，考查转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13（5分）已知向量（2，3，4），（1，m，2），若，则m【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解：向量（2，3，
17、4），（1，m，2），解得m故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）命题“x1，2，使得x2+lnxa0”为假命题，则a的取值范围为（，1）【分析】先根据存在性命题是假命题，改写成全称命题为真命题，再参变分离，构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可【解答】解：由题意可知，命题“x1，2，使得x2+lnxa0”为真命题所以ax2+lnx对于x1，2恒成立令f（x）x2+lnx，则在1，2上恒成立，所以f（x）单调递增所以f（x）minf（1）1，即a1所以a的取值范围为（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查了存在性命题与
18、全称命题的否定，利用导数求函数在闭区间上的最大值等知识点，还有参变分离的方法，解题的关键是转换思维，将存在性的假命题，改写成全称命题，难度不大15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为【分析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与OD1所成角的余弦值【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，令AB2，则D1（0，2，2），O（2，1，1），M（0，1，0），N（1，2，2），（1，
19、1，2），（2，1，1），设异面直线MN与OD1所成角为，则cos异面直线MN与OD1所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，tanF1PF2，O为坐标原点，则|OP|【分析】求得双曲线的a，b，c，不妨设P在右支上，且|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c4，运用双曲线的定义、三角形的余弦定理和中线长性质，计算可得所求值【解答】解：双曲线C：的a1，b，c2，不妨设P在右支上，且|PF1|m，|PF2|n，|F1F2
20、|2c4，可得mn2a2，tanF1PF2，可得cosF1PF2，由余弦定理可得4c2m2+n22mncosF1PF2，即为164+2mnmn，可得mn7，由三角形的中线长公式可得4|OP|2m2+n24c24+2mn162，可得|OP|，故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的余弦定理和中线长求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共0分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤考生根据要求作答17（10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知双曲线E过点（2，），且双曲线E的
21、焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程【分析】（1）由题意可设椭圆方程为（ab0），再由已知列关于a，b，c的方程组，求解即可得到椭圆的标准方程；（2）设双曲线方程为（m0，n0），结合已知可得关于m，n的方程组，求解得答案【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为（ab0）则，解得，椭圆C的标准方程为；（2）由题意可设双曲线方程为（m0，n0）则，解得m23，n21双曲线E的标准方程为【点评】本题考查椭圆与双曲线标准方程的求法，训练了利用待定系数法求圆锥曲线的方程，是中档题18（12分）已知p：对于xR，函数f（x）ln（kx24x+6k）有意义，q：关于k的不等式k2（2+m）k+2m0
22、成立（1）若p为假命题，求k的取值范围（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围【分析】（1）若p为假命题，则p为真命题，所以对于xR，函数f（x）ln（kx24x+6k）有意义，kx24x+6k0对于xR恒成立，再利用开口方向和列出不等式，即可求出k的取值范围；（2）先求出q为真时k的取值范围，再结合p是q的必要不充分条件，得到集合间的包含关系，从而求出m的取值范围【解答】解：（1）若p为假命题，则p为真命题，对于xR，函数f（x）ln（kx24x+6k）有意义，kx24x+6k0对于xR恒成立，解得：k；（2）若q为真，则关于k的不等式k2（2+m）k+2m0成立，即（km）（k2）0
23、，当m2时，mk2；当m2时，k2；当m2时，2km，设p为真命题对应的集合为集合A，q为真命题对应的集合为集合B，p是q的必要不充分条件，BA，【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键19（12分）如图，在正四棱锥S一ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点且SOOD（1）证明：SB平面PAC（2）求直线BC与平面PAC的所成角的大小【分析】（1）连结PO，推导出POSB，由此能证明SB平面PAC（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面PAC的所成角的大小
24、【解答】解：（1）证明：连结PO，在正四棱锥S一ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，O是BD中点，P为侧棱SD的中点，POSB，PO平面PAC，SB平面PAC，SB平面PAC（2）解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，设SOOD1，则B（0，1，0），C（1，0，0），A（1，0，0），S（0，0，1），D（0，1，0），P（0，），（1，1，0），（1，），（2，0，0），设平面PAC的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设直线BC与平面PAC的所成角为，则sin，30，直线BC与平面PAC的所成角的大小为30【点评】本题考查线面平
25、行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，MAMD，平面MAD平面ABCD（1）证明：平面MAB平面MDC；（2）若MAMD，求二面角MADN的余弦值【分析】（1）推导出CDAD，从而CD平面MAD，进而CDAM，再由MAMD，得AM平面MDC，由此能证明平面MAB平面MDC（2）设MAMD2，以B为原点，在平面BCN中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角MADN的余弦
26、值【解答】解：（1）证明：底面ABCD为正方形，平面MAD平面ABCD平面MAD平面ABCDADCDAD，CD平面MAD，AM平面MAD，CDAM，MAMD，MDCDD，AM平面MDC，AM平面MAB，平面MAB平面MDC（2）解：设MAMD2，以B为原点，在平面BCN中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，2），D（0，2，2），M（1，1，2），N（1，1，0），（0，0，2），（1，1，0），（1，1，2），设平面ADM的法向量为（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设平面ADN的法向量为（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设二
27、面角MADN的平面角为，则cos0二面角MADN的余弦值为0【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点（2，1）（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为2，求直线l的方程【分析】（1）由题意可得抛物线的准线方程，进而求出抛物线的方程；（2）由题意可得与直线l平行的直线与抛物线相切，将切线与抛物线联立用判别式等于0求出参数之间的关系，且两条直线的距离恰好为：2，又可得参数的关系，进而
28、求出参数的值，即求出直线l的方程【解答】解：（1）由题意可得抛物线的方程为：y22px，则由题意准线方程为：x2，即2，所以p4，所以抛物线的方程为：y28x；（2）由（1）可得抛物线的焦点F（2，0），由题意显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：xmy+2，要使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为2，则设直线的左侧与直线平行的直线l为：xmy+t，由题意可得这条直线恰好与抛物线相切，且两条平行线间的距离为2，所以可得可得y28mx8t0，64m2+32t0，即t2m2，*且2，将*代入可得：，解得：m1，所以直线l的方程为：xy+2，即x+y20或xy20【点评】考查求抛物线的方程的
29、及直线与抛物线的综合，属于中档题22（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率e，且圆x2+y21经过椭圆C的上、下顶点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆C1：1相交于M，N两点，证明：OMN的面积为定值（O为坐标原点）【分析】（1）由离心率及单位圆过的上下顶点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l的方程与椭圆C相切求出参数之间的关系，与椭圆C1联立求出两根之和及两根之积，求出弦长MN，再求O到直线l的距离，用面积公式求出面积，结果为定值【解答】解：（1）因为圆x2+y21过椭圆C的上、下顶点，所以b1又离心率，所以，则a24故椭圆C的方程为（2）证明：椭圆，当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x2，联立，得，即，则当直线l的斜率存在时，设l：ykx+m，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m21）0，由0，可得m24k2+1联立 ，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m24）0设M（x1，y1），N（x2，y2），所以，则因为原点到直线l的距离，所以综上所述，OMN的面积为定值【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题
