1、2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）设i为虚数单位，复数z满足，则|z|（）A2BCD2（4分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为（）A18B20C24D263（4分）命题“x（0，1），x2x0”的否定是（）Ax0（0，1），Bx0（0，1），Cx0（0，1），Dx0（0，1），4（4分）宋元时期数学名著算学启蒙中关于“松竹并生”的问
2、题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的b（）A8B16C32D645（4分）已知等比数列an的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则（）A1B3C6D96（4分）“m1”是“直线l1：mx+（2m1）y+10与直线l2：3x+my+30垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）如图是甲、乙两位学生在高一至高二七次重大考试中，数学学科的考试成绩（单位：分）的茎叶图，若8，x，6的平均数是x，乙的众数是81，设甲7次数学成绩的中位数是a，则的值为（）AB
3、C85D878（4分）设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则9（4分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A甲B乙C丙D丁10（4分）设椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C
4、上的动点，且|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸相应位置）11（4分）将样本容量为n的样本数据分成5组，在绘制频率分布直方图时，若第一至第五个小长方形的面积之比为3：3：6：2：1，且最后两组数据频数之和等于20，则n 12（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点，则直线AM和BN所成角的正弦值是 13（4分）在区间0，3上随机地取两个实数a，b，则直线ax+by+30与圆x2+y21有公共点的概率是 14（4分）已知函数f
5、（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x（0，1）时，f（x）3x1，则f（） 三、解答题（在答题纸相应位置写岀文字说明、证明过程或演算步骤）15（8分）在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c（）若asinCccosA+c，求A；（）如图，点D为ABC外一点，若四边形ABCD的内角B与D互补，且AB6，BC4，CD3，AD1，求cos D16（8分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，曲线C3：2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，A、B都异于原点O，求|
6、AB|的最大值17（8分）设抛物线C：y22px（p0）的顶点为O，焦点为F，过点M（2，0）的直线l（l不垂直x轴）与抛物线相交于A、B两点，且点A到y轴的距离等于（1）求抛物线C的方程；（2）若AOB的面积为3，求直线l的方程；18（10分）如图，在直角梯形ABCP中，CPAB，CPCB，ABBCCP2，D是CP中点，将PAD沿AD折起，使得PD面ABCD；（）求证：平面PAD平面PCD；（）若E是PC的中点求三棱锥APEB的体积19（10分）设函数，g（x）x2（a+1）x（x0，aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象的交点个数四、附加题2
7、0（8分）已知数列an的前n项和为，求S2019的值21（12分）已知f（x）是定义在区间（0，+）上的可导函数，满足f（x）0，f（x）是f（x）的导函数，且f（x）+f（x）0（1）讨论函数F（x）exf（x）的单调性；（2）设0x1，比较函数xf（x）与的大小2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）设i为虚数单位，复数z满足，则|z|（）A2BCD【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入求模即可【解答
8、】解：，z|z|，故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属基础题2（4分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为（）A18B20C24D26【分析】根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础【解答】解：由分层抽样得，解得n26，故选：D【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础3（4分）命题“x（0，1），x2x0”的否定是（）Ax0（0，1），Bx0（0，1），Cx0（0，1），Dx0（0，1
9、），【分析】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可【解答】解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“x（0，1），x2x0”的否定是x0（0，1），故选：B【点评】本题考查命题的否定“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”4（4分）宋元时期数学名著算学启蒙中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的b（）A8B16
10、C32D64【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n1时，a，b4，满足进行循环的条件，当n2时，a，b8满足进行循环的条件，当n3时，a，b16满足进行循环的条件，当n4时，a，b32不满足进行循环的条件，故输出的b值为32故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题5（4分）已知等比数列an的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则（）A1B3C6D9【分析】设各项都是正数的等比数列an的公比为q，（q
11、0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得【解答】解：设各项都是正数的等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得2a33a1+2a2，即q22q30，解得q1（舍去），或q3，故q29故选：D【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题6（4分）“m1”是“直线l1：mx+（2m1）y+10与直线l2：3x+my+30垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线垂直的等价条件求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若直线l1：mx+（2m1）y+10与直线l
12、2：3x+my+30垂直，则满足3m+m（2m1）0，即m（2m+2）0，得m0或m1，则“m1”是“直线l1：mx+（2m1）y+10与直线l2：3x+my+30垂直”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件求出m的值是解决本题的关键7（4分）如图是甲、乙两位学生在高一至高二七次重大考试中，数学学科的考试成绩（单位：分）的茎叶图，若8，x，6的平均数是x，乙的众数是81，设甲7次数学成绩的中位数是a，则的值为（）ABC85D87【分析】分别求出x，y的值，从而读出甲和乙的数据，求出a的值即可得解【解答】解：若8，x，6的平均数是x，乙的众
13、数是81，则x7，y1，甲数据是：78，79，80，85，87，92，96；故中位数a85，则的值为85故选：C【点评】本题考查了考查茎叶图的读法，考查平均数，众数和中位数的定义，是一道基础题8（4分）设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m，n且，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与、都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，
14、判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【解答】解：对于A，若m，n且，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题B正确对于C，根据面面垂直的性质，可知m，n，mn，n，也可能l，也可能，故C不正确；对于D，若“m，n，m，n”，则“”也可能l，所以D不成立故选：B【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应
15、用题目9（4分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A甲B乙C丙D丁【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真
16、一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯故选：B【点评】此题解答时应结合题意，进行分析，进而找出解决本题的突破口，然后进行推理，得出结论10（4分）设椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取
17、值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【分析】点Q（c，）在椭圆的内部，|PF1|+|PQ|2a|PF2|+|PQ|，由|QF2|+|PQ|PQ|PF2|QF2|，且|QF2|，要|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立，即2a|PF2|+|PQ|2a+52c【解答】解：点Q（c，）在椭圆的内部，2b2a2a22c2|PF1|+|PQ|2a|PF2|+|PQ|又因为|QF2|PQ|PF2|QF2|，且|QF2|，要|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立，即2a|PF2|+|PQ|2a+52c，则椭圆离心率的取值范围是（，）故选：B【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思
18、想是解题关键，属于难题二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸相应位置）11（4分）将样本容量为n的样本数据分成5组，在绘制频率分布直方图时，若第一至第五个小长方形的面积之比为3：3：6：2：1，且最后两组数据频数之和等于20，则n100【分析】在绘制频率分布直方图时，第一至第五个小长方形的面积之比为3：3：6：2：1，最后两组数据频数之和等于20，从而2k+k20，解得k，再由n3k+3k+6k+2k+k15k，能求出n的值【解答】解：将样本容量为n的样本数据分成5组，在绘制频率分布直方图时，第一至第五个小长方形的面积之比为3：3：6：2：1，且最后两组数据频数之和
19、等于20，2k+k20，解得k，n3k+3k+6k+2k+k15k15100故答案为：100【点评】本题考查样本容量的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点，则直线AM和BN所成角的正弦值是【分析】由题意画出图形，找出直线AM和BN所成角，利用余弦定理求直线AM和BN所成角的余弦值，则正弦值可求【解答】解：如图，取DD1中点为G，连接AG，MG，则AGBN，MAG为直线AM和BN所成角，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则，MG，AM，在AGM中，由余弦定理可得：cosM
20、AG，sinMAG故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查余弦定理的应用，是基础题13（4分）在区间0，3上随机地取两个实数a，b，则直线ax+by+30与圆x2+y21有公共点的概率是1【分析】利用直线和圆有公共点，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论【解答】解；a，b是区间0，3上的两个随机数，a，b满足不等式，对应区域面积为339，若直线ax+by+30与圆x2+y21没有公共点，则原点到直线的距离d1，即a2+b29，对应的区域为半径为3的圆及其外部部分，作出对应的图象如图：则阴影部分的面积为99，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为：
21、P1故答案为：1【点评】本题考查概率的求法，考查扇形面积、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题14（4分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x（0，1）时，f（x）3x1，则f（）【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（）f（21010）f（），又由函数的奇偶性以及解析式，分析可得f（）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，则f（）f（21010）f（），又由f（x）为奇函数，则f（）f（）（1）+1，故答案为：+1【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题三、解答题（在
22、答题纸相应位置写岀文字说明、证明过程或演算步骤）15（8分）在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c（）若asinCccosA+c，求A；（）如图，点D为ABC外一点，若四边形ABCD的内角B与D互补，且AB6，BC4，CD3，AD1，求cos D【分析】（）由已知等式结合正弦定理得sin（A），再结合A（0，）可得A；（）由cosBcosD结合余弦定理可求结果【解答】解：（）asinCccosA+c，由正弦定理得sinAsinCsinCcosA+sinC，sinC0，sinAcosA+1，2（sinAcosA）1，sin（A），A（0，），A；（）四边形ABCD的内角B与D互补，c
23、osBcosD在ACD中，由余弦定理得AC2AD2+CD22ADCDcosD106cosD在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosB5248cosB由得cosD【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、辅助角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（8分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，曲线C3：2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，A、B都异于原点O，求|AB|的最大值【分析】（I）由曲线C2：2sin，化为22sin，把代入可得直角坐标方程
24、同理由C3：2cos可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：yxtan，其中0，；时，为x0（y0）其极坐标方程为：（R，0），利用|AB|即可得出【解答】解：（I）由曲线C2：2sin，化为22sin，x2+y22y同理由C3：2cos可得直角坐标方程：，联立，解得或，C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）（2）曲线C1：，化为普通方程：yxtan，其中0，；当时，为x0（y0），其极坐标方程为：（R，0），A，B都在C1上，A（2sin，），B（，）|AB|4|，当时，|AB|取得最大值4【点评】本题考查了极坐标方程
25、化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（8分）设抛物线C：y22px（p0）的顶点为O，焦点为F，过点M（2，0）的直线l（l不垂直x轴）与抛物线相交于A、B两点，且点A到y轴的距离等于（1）求抛物线C的方程；（2）若AOB的面积为3，求直线l的方程；【分析】（1）根据抛物线的定义可得；（2）设直线l的方程，并代入抛物线，根据弦长公式得现场|AB|，根据点到直线的距离得三角形的高，根据面积公式求出面积与已知面积相等，解得【解答】解：（1）点A到y轴的距离等于又|AF|等于A到准线的距离，p，抛物线C的方
26、程为y2x（2）设直线l的方程为；yk（x+2），将其代入抛物线得：k2x2（4k2+1）x+4k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x24，|AB|，O到直线l的距离d，AOB的面积为|AB|d3，解得k21，k1，所以直线l的方程为：xy+20或x+y+20【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题18（10分）如图，在直角梯形ABCP中，CPAB，CPCB，ABBCCP2，D是CP中点，将PAD沿AD折起，使得PD面ABCD；（）求证：平面PAD平面PCD；（）若E是PC的中点求三棱锥APEB的体积【分析】（）证明AD底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD
27、平面PCD；（）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥APEB的体积【解答】（）证明：PD底面ABCD，PDAD（1分）又由于CPAB，CPCB，ABBC正方形ABCD，ADCD，（3分）又PDCDD，故AD底面PCD，（5分）AD平面PAD，PAD底面PCD （6分）（）解：ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离 （7分）又PDDC，E是PC的中点PCDE由（）知有AD底面PCD，有ADDE由题意得ADBC，故BCDE又PCBCCDE面PBC（9分），又AD底面PCD，ADCP，AD
28、BC，ADBC（12分）【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确转换底面，属于中档题19（10分）设函数，g（x）x2（a+1）x（x0，aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象的交点个数【分析】（1）求出函数f（x）的定义域为（0，+），通过当a0时，当a0时，导函数的符号，判断函数的单调性即可（2）令，问题等价于求函数F（x）的零点个数通过当a0时，当a0时，当a1时，当a1时，当0a1时，判断函数的单调性以及函数的最值，然后求解零点的个数【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），当a0
29、时，f（x）0，所以f（x）的增区间是（0，+），无减区间；当a0时，当时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当时，f（x）0，函数f（x）单调递增综上，当a0时，函数f（x）的增区间是（0，+），无减区间；当a0时，f（x）的增区间是，减区间是（2）令，问题等价于求函数F（x）的零点个数当a0时，F（x）有唯一零点；当a0时，当a1时，F（x）0，当且仅当x1时取等号，所以F（x）为减函数注意到，所以F（x）在（1，4）内有唯一零点；当a1时，当0x1，或xa时，F（x）0；1xa时，F（x）0所以F（x）在（0，1）和（a，+）上单调递减，在（1，a）上单调递增注意到，所以F（x）在（1，
30、2a+2）内有唯一零点；当0a1时，0xa，或x1时，F（x）0；ax1时，F（x）0所以F（x）在（0，a）和（1，+）上单调递减，在（a，1）上单调递增注意到，所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点综上，F（x）有唯一零点，即函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力四、附加题20（8分）已知数列an的前n项和为，求S2019的值【分析】由分母有理化可得an，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：an，则S2019+11+【点评】本题考查数列的裂项相消求和，考查
31、化简运算能力，属于中档题21（12分）已知f（x）是定义在区间（0，+）上的可导函数，满足f（x）0，f（x）是f（x）的导函数，且f（x）+f（x）0（1）讨论函数F（x）exf（x）的单调性；（2）设0x1，比较函数xf（x）与的大小【分析】（1）求导，利用导数即可得出函数的单调性；（2）由题意得即证当0x1时，有xf（x）f（），然后将问题转化为证明 即证+2lnx0，构造函数设函数g（x）+2lnx，利用导数可得g（x）g（1）0，即可证明【解答】解：（1）F（x）exf（x）+exf（x）exf（x）+f（x）F（x）exf（x）+exf（x）exf（x）+f（x）0，F（x）在（0，+）上单调递减（2）当0x1时，有xf（x）f（），证明如下：当0x1时，x，故由（）可得exf（x），即f（x），下面证明 即证x+2lnx0，设函数g（x）x+2lnx，当0x1时，有g（x）1+0，g（x）在（0，1）上单调递减故g（x）g（1）0，于是f（x）f（）f（），即xf（x）f（）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，比较大小等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属中档题
