1、2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知an为等差数列，a34，a5+a79，则a9（）A4B5C6D72（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3依次等差数列，若a11，则S5（）A16B31C32D633（5分）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6+2+3，则（）A四点O、A、B、C必共面B四点P、A、B、C必共面C四点O、P、B、C必共面D五点O、P、A、B、C必共面4（5分）下列说法错误的是（）A“x0”是“x0”的充分不必要条件B命题“若x23x+20，则x1”的
2、逆否命题为：“若x1，则x23x+20”C若pq为假命题，则p，q均为假命题D命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+105（5分）两平行平面，分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量（1，0，1），则两平面间的距离是（）ABCD36（5分）已知过点（1，3）的直线l的倾斜角为135，设点（x，y）是直线l在第一象限内的部分上的一点，则的最小值是（）AB2CD47（5分）在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若SABC2，a+b6，2cosC，则c（）A2B4C2D38（5分）已知a，b是正数，且满足2a+2b4，那么的取值范围是（）ABC
3、D9（5分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+2c，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形10（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线为x+y0，点M在双曲线上，且MF1x轴，若F2同时为抛物线y212x的焦点，则F1到直线F2M的距离为（）ABCD11（5分）已知点A（，1）在抛物线C：x22py（p0）的准线l1上，过点A作一条斜率为2的直线l2，点P是抛物线上的动点，则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是（）ABC2D12（5分）已知直线l：kxy2k+10与椭圆C1：（ab0）交于A、B两点，
4、与圆C2：（x2）2+（y1）21交于C、D两点若存在k2，1，使得，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A（0，B）C（0，D）二、填空题（每小题5分共20分）13（5分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为（090）的平面所截，截面是一个椭圆，当为30时，这个椭圆的离心率为 14（5分）过点的双曲线C的渐近线方程为，P为双曲线C右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点A（0，3），则|PA|+|PF|的最小值为 15（5分）已知x0，y0，x+3y+xy9，则x+3y的最小值为 16（5分）已知数列an满足则an的通项公式 三、解答题17（10分）已知命题p：方程x2+2mx+（m+2
5、）0有两个不等的实根；命题q：方程1表示焦点在y轴上的双曲线（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围18（12分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且Sn2n+k（1）求k的值及数列an的通项公式an；（2）求数列的前n项和Tn19（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上且经过点（2，4）（）求抛物线的方程；（）求抛物线被直线2x+y+80所截得的弦长20（12分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角B的大小；（）若b6，a+c8，求ABC的面积21（12分）如图在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABC
6、D，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD的中点（1）求证PO平面ABCD；（2）求二面角CPDA夹角的正弦值；（3）线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由22（12分）已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x1的距离（）求点M的轨迹C的方程；（）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（）在（）的条件下，求FPQ面积的最小值2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二（上）期末数学试卷（理科
7、）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知an为等差数列，a34，a5+a79，则a9（）A4B5C6D7【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：an为等差数列，a34，a5+a79，解得，d，a9a1+8d5故选：B【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3依次等差数列，若a11，则S5（）A16B31C32D63【分析】运用等差数列中项性质，结合等比数列通项公式和求和公式，计算即可得到所求值【解答】解：4
8、a1，2a2，a3依次等差数列，可得4a24a1+a3，显然公比q不为1，则4a1q4a1+a1q2，即为q24q+40，解得q2，则S531故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查运算能力，属于中档题3（5分）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6+2+3，则（）A四点O、A、B、C必共面B四点P、A、B、C必共面C四点O、P、B、C必共面D五点O、P、A、B、C必共面【分析】由已知得+，可得+1，利用共面向量定理即可判断出【解答】解：由已知得+，而+1，四点P、A、B、C共面故选：B【点评】本题考查了共面向量定理，属于基础题4
9、（5分）下列说法错误的是（）A“x0”是“x0”的充分不必要条件B命题“若x23x+20，则x1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”C若pq为假命题，则p，q均为假命题D命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10【分析】A根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B根据逆否命题的定义进行判断，C根据复合命题真假关系进行判断，D根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：A“x0”是“x0”的充分不必要条件，正确，故A正确，B命题“若x23x+20，则x1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”正确，C若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D
10、命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10，正确，故错误的是C，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的运算和推理能力5（5分）两平行平面，分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量（1，0，1），则两平面间的距离是（）ABCD3【分析】求得向量OA的坐标，由题意可得两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值，运用向量的投影定义，计算可得所求值【解答】解：由题意可得（2，1，1），两平行平面的一个法向量（1，0，1），两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值，可得距离为d|，故选：B【点评】本题考查两平行平面的距离，注意运
11、用向量的投影，考查运算能力，属于基础题6（5分）已知过点（1，3）的直线l的倾斜角为135，设点（x，y）是直线l在第一象限内的部分上的一点，则的最小值是（）AB2CD4【分析】过点（1，3）的直线l的倾斜角为135，可得直线方程：x+y4再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：过点（1，3）的直线l的倾斜角为135，可得直线方程：y3（x1），化为：x+y4设点（x，y）是直线l在第一象限内的部分上的一点，x+y4，且x，y0则（x+y），当且仅当y2x时取等号故选：C【点评】本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）在AB
12、C中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若SABC2，a+b6，2cosC，则c（）A2B4C2D3【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值【解答】解：1，即有2cosC1，可得C60，若SABC2，则absinC2，即为ab8，又a+b6，由c2a2+b22abcosC（a+b）22abab（a+b）23ab623812，解得c2故选：C【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题8（5分）已知a，b是正数，且满足2a+2b4，那么的取值范围是（）
13、ABCD【分析】如图所示，画出可行域，的表示可行域内的点Q（a，b）与P（1，1）所在直线的斜率分别求出直线PA，PB的斜率即可【解答】解：画出的可行域，如图所示，表示可行域内的点Q（a，b）与P（1，1）所在直线的斜率A（4，0），B（0，2）而kPA，kPB33故选：A【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题9（5分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+2c，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【分析】由已知及正弦定理可得：，而+22，当且仅当sinAsinB时取等号，即2s
14、inC2，解得C90，AB，从而得解【解答】解：+2c，由正弦定理可得：，而+22，当且仅当sinAsinB时取等号2sinC2，即sinC1，又sinC1，故可得：sinC1，C90又sinAsinB，可得AB，故三角形为等腰直角三角形故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，基本不等式的解法，正弦函数的图象和性质，属于中档题10（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线为x+y0，点M在双曲线上，且MF1x轴，若F2同时为抛物线y212x的焦点，则F1到直线F2M的距离为（）ABCD【分析】求出双曲线的渐近线的方程，可得ab，由抛物线的焦点坐标，可得c3，即
15、a2+b29，解得a，b，可得双曲线的方程，求得M的坐标和直线MF2的方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为yx，由题意可得，又抛物线y212x的焦点为（3，0），即有c3，即a2+b29，解得b，a，可得双曲线的方程为1，令x3，可得y3，可设M（3，），直线MF2的方程为yx+，可得F1到直线F2M的距离为故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，以及运算能力，属于中档题11（5分）已知点A（，1）在抛物线C：x22py（p0）的准线l1上，过点A作一条斜率为2的直
16、线l2，点P是抛物线上的动点，则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是（）ABC2D【分析】点F作直线l2的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l1距离，又|PH|为点P到直线l2的距离，所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离【解答】解：由题意，抛物线的焦点为F（0，1），则直线l2的方程为2xy40，过点F作直线l2的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l1距离，又|PH|为点P到直线l2的距离，所以点P到直线l1和到直线l2的
17、距离之和的最小值是F到直线l2的距离d，所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是故选：B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题12（5分）已知直线l：kxy2k+10与椭圆C1：（ab0）交于A、B两点，与圆C2：（x2）2+（y1）21交于C、D两点若存在k2，1，使得，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A（0，B）C（0，D）【分析】求得直线恒过定点（2，1），即为圆心，CD为直径，由，可得AB的中点为（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的
18、范围【解答】解：直线l：kxy2k+10，即为k（x2）+1y0，可得直线恒过定点（2，1），圆C2：（x2）2+（y1）21的圆心为（2，1），半径为1，且C，D为直径的端点，由，可得AB的中点为（2，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则+1，+1，两式相减可得+0，由x1+x24y1+y22，可得k，由2k1，即有1，则椭圆的离心率e（0，故选：C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每小题5分共20分）13（5分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为（090）的平
19、面所截，截面是一个椭圆，当为30时，这个椭圆的离心率为【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：，a2b2+c2，c，椭圆的离心率为：e故答案为：【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力14（5分）过点的双曲线C的渐近线方程为，P为双曲线C右支上一点，F为双曲线C的左焦点，点A（0，3），则|PA|+|PF|的最小值为8【分析】先求出双曲线的方程，根据A点在双曲线的两支之间
20、，由双曲线的定义|PF|PF|2a4，进而根据PA|+|PF|AF|5两式相加求得答案【解答】解：由题意，设双曲线方程为（a0，b0），则过点的双曲线C的渐近线方程为，a2，b，A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F（，0），由双曲线的定义|PF|PF|2a4而|PA|+|PF|AF|4两式相加得|PF|+|PA|4+48，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立|PA|+|PF|的最小值为8故答案为：8【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用15（5分）已知x0，y0，x+3y+xy9，则x+3y的最小值为6【分析】由于要求x+3y的最小值，故在解题时注意把x+3
21、y看为一个整体，需将已知方程中的xy利用基本不等式转化为x+3y的形式【解答】解：由于x0，y0，x+3y+xy9，则9（x+3y）xy，当且仅当x3y时，取“”则此时，由于x0，y0，解得，故x+3y6故答案为6【点评】本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题，属于基础题，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力16（5分）已知数列an满足则an的通项公式【分析】根据所给的关系式，仿写一个有n1项的关系式，注意这个关系式的条件是n大于1，两个式子相减得到只含有第n项的式子，整理出结果，注意对于首相的验证，写成分段形式【解答】解：数列an满足，当n2时，仿仿写一个式子得，an2n+1n2，当n1
22、时，a16，an的通项公式 an故答案为：an【点评】本题考查递推式，仿写是解决本题的关键，注意题目最后对于首项的验证，当首项符合通项时，直接写出通项就可以，当不符合时要写成分段形式三、解答题17（10分）已知命题p：方程x2+2mx+（m+2）0有两个不等的实根；命题q：方程1表示焦点在y轴上的双曲线（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围【分析】（1）方程1表示焦点在y轴上的双曲线等价于m+30且12m0；（2）“p或q”为真，“p且q”为假p与q一真一假，分p真q假，p假q真两种情况讨论【解答】解：（1）由已知方程1表示焦点在y轴
23、上的双曲线，则，得，得m3，即q：m3（2）若方程x2+2mx+（m+2）0有两个不等的实根则4m24（m+2）0，解得m1或m2，即p：m1或m2因p或q为真，所以p，q至少有一个为真因p或q为假，所以p，q至少有一个为假因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，解得3m1或m2；当p为假，q为真时，解集为空集综上，3m1或m2【点评】本题考查了复合命题及其真假，属基础题18（12分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且Sn2n+k（1）求k的值及数列an的通项公式an；（2）求数列的前n项和Tn【分析】（1）根据公式可求得an，因为数列an为等比数列，所以n1时a1也适合n2时an
24、的解析式从而可求得k（2）由（1）知，因为通项公式符合等差乘等比的形式，所以应用错位相减法求数列的和【解答】解：（1）当n1时，a1S12+k，（1分）当n2时，anSnSn1（2n+k）（2n1+k）2n1，（3分）又an为等比数列，a12+k适合上式，2+k1，得k1，此时an2n1（nN*）（5分）（2），数列的前n项和：Tn1+，Tn，（ 8分）得：Tn2，Tn4（12分）【点评】本题考查数列有通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用19（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上且经过点（2，4）（）求抛物线的方程；（）求抛物线被直线2x+y+
25、80所截得的弦长【分析】（I）设抛物线的标准方程为y22Px，（P0），代入点的坐标求P，可得答案；（II）联立直线与抛物线方程组，解得交点坐标，利用两点间距离坐标公式计算【解答】解：（I）设抛物线的标准方程为y22Px，（P0），点（2，4）在抛物线上，422P（2）P4，抛物线的方程为y28x；（II）设直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组解得，|AB|6【点评】本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的相交弦长问题，计算要细心20（12分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角B的大小；（）若b6，a+c8，求ABC的面积【分析】（）
26、由2bsinAa，以及正弦定理，得sinB，结合B为锐角，即可得解（）由余弦定理可得：a2+c2ac36，由a+c8，解得ac的值，根据三角形面积公式即可得解【解答】解：（）由2bsinAa，以及正弦定理，得sinB，又B为锐角，B，（5分）（）由余弦定理b2a2+c22accosB，a2+c2ac36，a+c8，ac，SABC（10分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了正弦函数的性质，属于基础题21（12分）如图在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为A
27、D的中点（1）求证PO平面ABCD；（2）求二面角CPDA夹角的正弦值；（3）线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【分析】（1）推导出POAD，利用侧面PAD底面ABCD，能证明PO平面ABCD（2）OCAD，又PO平面ABCD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角CPDA夹角的正弦值（3）设线段AD上存在Q（a，b，c），01，使得它到平面PCD的距离为，利用向量法能求出【解答】证明：（1）侧棱PAPD，O为AD的中点，POAD，侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，PO平面
28、ABCD解：（2）底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，OCAD，又PO平面ABCD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，平面PAD的法向量（1，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（1，0，1），（0，1，1），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设二面角CPDA夹角为，则cos，sin，二面角CPDA夹角的正弦值为（3）设线段AD上存在Q（a，b，c），01，使得它到平面PCD的距离为，则A（0，1，0），D（0，1，0），（a，b+1，c）（0，2，0），Q（0，21，
29、0），（0，21，1），Q到平面PCD的距离d，解得，Q（0，0），【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查满足点到平面的距离的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x1的距离（）求点M的轨迹C的方程；（）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（）在（）的条件下，求FPQ面积的最小值【分析】（）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，由此能求出点M的轨迹C的方程
30、（）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为由题意可设直线l1的方程为yk（x1）（k0），由得k2x2（2k2+4）x+k20再由根的判别式和根与系数的关系进行求解（）题题设能求出|EF|2，所以FPQ面积【解答】解：（）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，化简得y24x，所以点M的轨迹C的方程为y24x（4分）（）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为由题意可设直线l1的方程为yk（x1）（k0），由得k2x2（2k2+4）x+k20（2k2+4）24k416k2+160因为直线l1与曲线C于A，B两点，所以x1+x22+，y1+y2k（x1+x22）所以点P的坐标为由题知，直线l2的斜率为，同理可得点的坐标为（1+2k2，2k）当k1时，有，此时直线PQ的斜率kPQ所以，直线PQ的方程为，整理得yk2+（x3）ky0于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k1时，直线PQ的方程为x3，也过点E（3，0）综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）（10分）（）可求得|EF|2，所以FPQ面积当且仅当k1时，“”成立，所以FPQ面积的最小值为4（13分）【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答
