1、2018-2019学年陕西省汉中市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“如果xa2+b2，那么x2ab”的逆否命题是（）A如果xa2+b2，那么x2abB如果x2ab，那么xa2+b2C如果x2ab，那么xa2+b2D如果xa2+b2，那么x2ab2（5分）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上一点，且P点不在坐标轴上，若为F1PF2直角三角形，则这样的点P有（）A3个B4个C5个D6个3（5分）已知向量，若与共线，则+的值为（）A7B7CD4（5分）若ab0，则（）A
2、Ba3b3Cabb2Da2b25（5分）命题“nN，f（n）N且f（n）n”的否定形式是（）AnN，f（n）N且f（n）nBn0N，f（n0）N且f（n0）n0CnN，f（n）N或f（n）nDn0N，f（n0）N或f（n0）n06（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b3，c2，cosA，则a（）A5BC4D37（5分）设正项等比数列an的前n项和为Sn，且S20（210+1）S10，则数列an的公比为（）A4B2C1D8（5分）在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C任意三角形D等腰直角三角形9（5分）设变量x，y满足约束
3、条件，则目标函数z3x+y的最小值为（）A8B15C20D2110（5分）已知双曲线E：（a0，b0）的渐近线方程是y2x，则E的离心率为（）A5BCD11（5分）如图所示，三棱锥OABC中，且，则（）ABCD12（5分）已知点P在抛物线y24x上，则当点P到点Q（2，2）的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A（，1）B（，1）C（1，2）D（1，2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若x1，则x+的最小值为 14（5分）设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在此双曲线上，且|PF1|5，则|PF2| 15（5分）若平面的一个
4、法向量为，A（1，0，2），B（0，1，4），A，B，则点A到平面的距离为 16（5分）要使关于x的方程x2+（a21）x+a20的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知在等比数列an中，a22，a516，等差数列bn满足b1a1，b4a3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn18（12分）在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点应用空间向量方法求解下列问题（1）求EF的长（2）证明：EF平面AA1D1D；（3）证明：EF平面A1CD1
5、9（12分）已知命题A：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t满足t23t40（）若命题A中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数t的值；（）命题A是命题B的什么条件？20（12分）已知抛物线C：y22px（p0），其焦点F到其准线的距离为，过焦点F且倾斜角为45的直线l交抛物线C于A，B两点，求：（1）抛物线C的方程及其焦点坐标；（2）|AB|21（12分）如图，椭圆经过点，且M到椭圆C的两焦点的距离之和为（）求椭圆C的标准方程；（）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为，且直线l与RS交于点P，求证：点P在直线上22（12分）如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂
6、直，ABE60，G为BE的中点（）求证：AG平面ADF；（）求，BC1，求二面角DCAG的余弦值2018-2019学年陕西省汉中市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“如果xa2+b2，那么x2ab”的逆否命题是（）A如果xa2+b2，那么x2abB如果x2ab，那么xa2+b2C如果x2ab，那么xa2+b2D如果xa2+b2，那么x2ab【分析】根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可【解答】解：命题的逆命
7、题是：如果x2ab，那么xa2+b2逆否命题是：如果x2ab，那么xa2+b2，故选：C【点评】本题主要考查四种命题间的关系如图2（5分）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上一点，且P点不在坐标轴上，若为F1PF2直角三角形，则这样的点P有（）A3个B4个C5个D6个【分析】计算得c，分三种情况当F1PF290时，当PF1F290时，当PF2F190时，分析F1PF2直角三角形，进而得出结论【解答】解：因为a24，b22，所以c，当F1PF290时，点P在椭圆短轴顶点，此时P（0，）或（0，），当PF1F290时，点P（，1）或（，1），当PF2F190时，点P（，1）或（，1）
8、，又因为且P点不在坐标轴上，F1PF2直角三角形，则这样的点P有4个故选：B【点评】本题考查椭圆的性质，属于基础题3（5分）已知向量，若与共线，则+的值为（）A7B7CD【分析】因为若与共线，所以存在实数m，使得，即（2，3）m（4，2，），解得m，的值，进而得出答案【解答】解：因为若与共线，所以存在实数m，使得，即（2，3）m（4，2，），解得 m，1，6，所以+（1）+（6）7，故选：A【点评】本题考查空间中的共线向量，属于基础题4（5分）若ab0，则（）ABa3b3Cabb2Da2b2【分析】直接利用不等式的基本性质求出结果【解答】解：由于ab0，所以不等式的两边同乘以负数b，故：abb
9、2故选：C【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型5（5分）命题“nN，f（n）N且f（n）n”的否定形式是（）AnN，f（n）N且f（n）nBn0N，f（n0）N且f（n0）n0CnN，f（n）N或f（n）nDn0N，f（n0）N或f（n0）n0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“nN，f（n）N且f（n）n”的否定形式是：n0N，f（n0）N或f（n0）n0，故选：D【点评】含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题一般形式为：全称命题：xM
10、，p（x）；特称命题xM，p（x）6（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b3，c2，cosA，则a（）A5BC4D3【分析】直接利用余弦定理，转化求解即可【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b3，c2，cosA，则a2b2+c22bccosA9+429，解得a3故选：D【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力7（5分）设正项等比数列an的前n项和为Sn，且S20（210+1）S10，则数列an的公比为（）A4B2C1D【分析】设等比数列的公比为q，q0且q1，由等比数列的求和公式，解方程可得所求公比【解答】解：正项等比数列an的公比舍去q（q
11、0），且S20（210+1）S10，可得q1，即有（210+1），可得1q20（1+210）（1q10），即为1+q101+210，解得q2，故选：B【点评】本题考查等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题8（5分）在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C任意三角形D等腰直角三角形【分析】根据正弦定理及条件即可得出sinBcosB，sinCcosC，于是BC，A【解答】解：由正弦定理得：，又，sinBcosB，sinCcosC，BC，AABC是等腰直角三角形故选：D【点评】本题考查了正弦定理，三角形的形状判断，属于基础题9（
12、5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z3x+y的最小值为（）A8B15C20D21【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（7，1），化目标函数z3x+y，由图可知，当直线z3x+y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为：37+120故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10（5分）已知双曲线E：（a0，b0）的渐近线方程是y2x，则E的离心率为（）A5BCD【分析】根据双曲线渐近线的方程，确
13、定a，b的关系，进而利用离心率公式求解【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为yx，即b2a，离心率e故选：D【点评】本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式11（5分）如图所示，三棱锥OABC中，且，则（）ABCD【分析】由，可得，（），代入即可得出【解答】解：，（），故选：C【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（5分）已知点P在抛物线y24x上，则当点P到点Q（2，2）的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A（，1）B（，1）C（1，2）D（1，2）【分
14、析】根据抛物线方程求出焦点坐标，由抛物线的性质知，当P，Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标的值【解答】解：抛物线方程为y24x，p2，焦点坐标为（1，0）；过点M作准线x1的垂线，垂足为M，由PFPM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小，如图所示；故P的纵坐标为2，代入抛物线方程求得x1，点P（1，2）故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是基础题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若x1，则x+的最小值为5【分析】根据x1推断出x10，然后把x+整理成x1+1，进而利
15、用基本不等式求得其最小值【解答】解：x1x10x+x1+12+15（当x3时等号成立）故答案为：5【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则14（5分）设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在此双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|3或7【分析】确定P在双曲线的左支或右支上，由双曲线的定义可得结论【解答】解：双曲线中a1，|PF1|5，P在双曲线的左支、或右支上，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2，|PF2|7或3故答案为：3或7【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题15（5分）若平面的一个法向量为，A（
16、1，0，2），B（0，1，4），A，B，则点A到平面的距离为【分析】求出，点A到平面的距离：d，由此能求出结果【解答】解：平面的一个法向量为，A（1，0，2），B（0，1，4），A，B，（1，1，2），点A到平面的距离：d故答案为：【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用16（5分）要使关于x的方程x2+（a21）x+a20的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是（2，1）【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的范围【解答】解：关于x的方程x2+（a21）x+a20的一根比1大且另一根比1小，设f（x）x2+
17、（a21）x+a2，则f（1）1+a21+a2a2+a20，求得2a1，故答案为：（2，1）【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知在等比数列an中，a22，a516，等差数列bn满足b1a1，b4a3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）先求出公比，即可求出数列的通项公式，（2）求出公差的，再根据求和公式计算即可【解答】解：（1）等比数列an中，a22，a516，q38，q2，a11，an2n1，（2）等差数列bn满足b1
18、a11，b4a343db4b1413，d1，Snn+1【点评】本题考查了等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，属于基础题18（12分）在边长是2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点应用空间向量方法求解下列问题（1）求EF的长（2）证明：EF平面AA1D1D；（3）证明：EF平面A1CD【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，代入长度公式求解；（2）求出的坐标表示，关键坐标关系判断EFAD1，再利用线面平行的判定定理证明；（3）利用0，0，可证直线EF垂直于CD、A1D，再利用线面垂直的判定定理证明【解答】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A
19、1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），E，F分别为AB，A1C的中点，E（2，1，0），F（1，1，1），（1，0，1），|（2）（2，0，2）2，EFAD1，又AD1平面AA1D1D，EF平面AA1D1D，EF平面AA1D1D（3）（0，2，0），（2，0，2），0，0，EFCD，EFA1D，又CDA1DD，EF平面A1CD【点评】本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标19（12分）已知命题A：方程表示焦点在
20、y轴上的椭圆；命题B：实数t满足t23t40（）若命题A中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数t的值；（）命题A是命题B的什么条件？【分析】（）若命题A为真命题，则，解得：1t3，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得t的值（）命题A成立的条件为1t3，所以命题B成立的条件为1t4，因为t|1t3t|1t4，即可得出答案【解答】解：（）若命题A为真命题，则，解得：1t3，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得t，又（1，3），所以实数t的值为（）命题A成立的条件为1t3，由t23t40，得1t4，所以命题B成立的条件为1t4，因为t|1t3t|1t4，所以命题A是命题B的充分不必要条件【点评】本
21、题考查椭圆的性质，即充分条件，属于基础题20（12分）已知抛物线C：y22px（p0），其焦点F到其准线的距离为，过焦点F且倾斜角为45的直线l交抛物线C于A，B两点，求：（1）抛物线C的方程及其焦点坐标；（2）|AB|【分析】（1）由抛物线的焦点F到其准线的距离为，得到p，则抛物线方程可求；（2）写出直线l的方程，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和，代入抛物线的弦长公式得答案【解答】解：（1）抛物线C：y22px（p0）的焦点F到其准线的距离为，即p，抛物线C的方程为y2x焦点坐标为（）；（2）过焦点F且倾斜角为45的直线l的方程为yx，联立，得16x224x
22、+10设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|【点评】本题考查了抛物线的方程，考查了直线与抛物线的关系，训练了弦长公式的应用，是中档题21（12分）如图，椭圆经过点，且M到椭圆C的两焦点的距离之和为（）求椭圆C的标准方程；（）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为，且直线l与RS交于点P，求证：点P在直线上【分析】（）由题意得2a及过的点求出椭圆的方程；（）由题意知直线RS的斜率，设直线RS的方程，写出两根之和及之积，求出中点的坐标，代入直线中适合，所以得以证明出点在直线上【解答】解：（）由题意得：2a2，1，所以a22，b21，所以椭圆方程：+y21；（）证明：线段
23、RS的中垂线l的斜率为，直线RS的斜率为2，设直线RS的方程：y2x+m，R（x，y），S（x，y），联立与椭圆的方程整理得：9x28mx+2m220，x+x，y+y2（x+x）+2m，所以中点P（，），所以P在直线yx上【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题22（12分）如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ABE60，G为BE的中点（）求证：AG平面ADF；（）求，BC1，求二面角DCAG的余弦值【分析】（）由已知矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，得ADAB，由面面垂直的性质可得AD平面ABEF，进一步得到ADAG，再由已知证得AGAF，则AG平面ADF；（
24、）由（）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACD与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角DCAG的余弦值【解答】（）证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ADAB，矩形ABCD菱形ABEFAB，AD平面ABEF，AG平面ABEF，ADAG，菱形ABEF中，ABE60，G为BE的中点AGBE，即AGAFADAFA，AG平面ADF；（）解：由（）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，BC1，AG，故A（0，0，0），C（，1），D（0，0，1），G（ ，0，0），则 （，1），（0，0，1），（，0，0），设平面ACD的法向量（x1，y1，z1），由，可得，可得（1，0），设平面ACG的法向量（x2，y2，z2），即，取y22，得（0，2，），设二面角DCAG的平面角为，则cos，由图可知为钝角，二面角DCAG的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题
