1、2018-2019学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符含题目要求的）1（5分）与命题“若x3，则x22x30”等价的命题是（）A若x3，则x22x30B若x3，则x22x30C若x22x30，则x3D若x22x30，则x32（5分）在等比数列an中，若a2，a9是方程x2x60的两根，则a5a6的值为（）A6B6C1D13（5分）设xa0，则下列不等式一定成立的是（）Ax2axa2Bx2axa2Cx2a2axDx2a2ax4（5分）命题“xR，exx”的否定是（）AxR，exxBxR，exxCx
2、R，exxDxR，exx5（5分）不等式0的解集为（）Ax|x3Bx|x3Cx|x3Dx|x或x36（5分）命题甲：x2是命题乙：x24的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）ABC中，a，b，c分别是角A，B、C所对应的边，a4，b4，A30，则B（）A60或120B60C30或150D308（5分）设实数a，b1，c，则（）AbacBcbaCabcDcab9（5分）已知x，y满足约束条件，则zx+3y的最小值为（）A0B2C6D810（5分）在等差数列an中，已知a6+a70，且S110，则Sn中最大的是（）AS5BS6CS7DS811（5分）如图，
3、在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足2，点G是线段MN的中点，用向量，表示向量应为（）A+B+CD+12（5分）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|5，线段MF中点的横坐标为，若以MF为直径的圆过点（0，2），则抛物线C的焦点到准线的距离为（）A4或8B2或8C2或4D4或16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知（2，1，2），（4，2，x），且，则x 14（5分）若一元二次不等式ax22x+20的解集是（，），则a的值是 15（5分）已知两个正实数x，y满足+1，且恒有x+2ym，则实数m的取值范围是 16（5分
4、）当双线M：1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知an为等差数列，且a36，S630（1）求an的通项公式；（2）若等比数列bn满足b18，b2a1+a2+a3，求bn的前n项和公式18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求角A的大小；（）若b+c10，SABC4，求a的值19（12分）直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC，ABAC2，AA14，M是侧棱CC1上一点，设MCh，用空间向量知识解答下列问题（）若h1，证明：BMA1C；
5、（）若h2，求直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）过点（，），（，1），直线l：xmy+10与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（）求椭圆C的标准方程；（）已知点A（，0），且A、M、N三点不共线，证明：MAN是锐角21（12分）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF平面BCE；（2）求二面角CBED的余弦值的大小22（12分）已知抛物线E：x22px（p0）的焦点为F，A（2，y0）是抛物线E上一点，且|AF|2（）求抛物线E的标准方程；（）设点B是抛物线E上异于点A
6、的任意一点，直线AB与直线yx3交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M，设直线BM的方程为ykx+b，k，b均为实数，请用k的代数式表示b，并说明直线BM过定点2018-2019学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符含题目要求的）1（5分）与命题“若x3，则x22x30”等价的命题是（）A若x3，则x22x30B若x3，则x22x30C若x22x30，则x3D若x22x30，则x3【分析】原命题与逆否命题属于等价命题，写出命题的逆否命题得答案【解答】解：原命题与逆否命题属于
7、等价命题，此命题的逆否命题是：若x22x30，则x3故选：C【点评】本题考查了四种命题间的逆否关系，是基础题2（5分）在等比数列an中，若a2，a9是方程x2x60的两根，则a5a6的值为（）A6B6C1D1【分析】利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解【解答】解：在等比数列an中，a2，a9是方程x2x60的两根，a5a6a2a96a5a6的值为6故选：B【点评】本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）设xa0，则下列不等式一定成立的是（）Ax2axa2Bx2axa2Cx2a2axDx2a2ax【分析】直接利用不等式性
8、质ab，在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断【解答】解xa0，axa2，x2ax，x2axa2故选：B【点评】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题4（5分）命题“xR，exx”的否定是（）AxR，exxBxR，exxCxR，exxDxR，exx【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，ex”的否定是：xR，exx故选：D【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查5（5分）不等式0的解集为（）Ax|x3Bx|x3Cx|x3Dx|x或x3【分析】将分式不等式转化为一元二次不等
9、式，进行求解即可【解答】解：不等式等价为，得，即|x3，即不等式的解集为x|x3，故选：C【点评】本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键6（5分）命题甲：x2是命题乙：x24的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】把x24转化为x2，由x2x2，x2推不出x2，得x2是x24的充分不必要条件【解答】解：x24x2，x2x2，x2推不出x2，x2是x24的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键7（5分）ABC中，a，b，c分别是角A，B、C所对应的边
10、，a4，b4，A30，则B（）A60或120B60C30或150D30【分析】根据正弦定理和大边对大角，可得答案【解答】解：由a4，b4，A30，可得BA30；正弦定理：，可得解得：sinB；0B，B60或120；故选：A【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题8（5分）设实数a，b1，c，则（）AbacBcbaCabcDcab【分析】利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：1，+1+，即bac，故选：A【点评】本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键9（5分）已知x，y满足约束条件，则zx+3y的最小值为
11、（）A0B2C6D8【分析】画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：x，y满足约束条件表示的区域如图：由zx+3y，当直线经过图中A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，所以最小值为2；故选：B【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键10（5分）在等差数列an中，已知a6+a70，且S110，则Sn中最大的是（）AS5BS6CS7DS8【分析】由a6+a70，且S11（a1+a11）11a60，得到a60，a70，由此能求出Sn中最大的是S6【解答】解：在等差数列an中，a6+a70，且S110，S11（a1+a
12、11）11a60，a60，a70，Sn中最大的是S6故选：B【点评】本题考查等差数列中前n项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（5分）如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足2，点G是线段MN的中点，用向量，表示向量应为（）A+B+CD+【分析】利用空间向量加法法则直接求解【解答】解：在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足2，点G是线段MN的中点，+（）+（）+（）+（）+故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题12（5分）设抛物线C：y
13、22px（p0）的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|5，线段MF中点的横坐标为，若以MF为直径的圆过点（0，2），则抛物线C的焦点到准线的距离为（）A4或8B2或8C2或4D4或16【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和准线和圆相切的条件，求出M（5，4），代入抛物线方程得p210p+160，求出p【解答】解：抛物线C方程为y22px（p0），焦点F（，0），准线方程为x，设M（x，y），由抛物线性质|MF|x+5，可得x5，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4
14、，即M（5，4），代入抛物线方程得p210p+160，所以p2或p8，则则C的焦点到准线距离为2或8故选：B【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，注意运用第一发和中位线定理和直线和圆相切，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知（2，1，2），（4，2，x），且，则x【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值【解答】解：，222xx4故答案为：4【点评】解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路14（5分）若一元二次不等式ax22x+20的解集是（，），则a的值是12【分析】根据一元二次不
15、等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值【解答】解：一元二次不等式ax22x+20的解集是（，），则和是一元二次方程ax22x+20的实数根，解得a12故答案为：12【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题15（5分）已知两个正实数x，y满足+1，且恒有x+2ym，则实数m的取值范围是（，8）【分析】先用基本不等式求出x+2y的最小值8，然后解一元二次不等式得到结果【解答】解：x0，y0，+1，x+2y（x+2y）（+）2+2+4+28，（当且仅当x4，y2时，取等号），x+2ym恒成立等价于8m，故答案为：（，8）【点评】本题考查了基本不等式及其应，属基础题1
16、6（5分）当双线M：1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为y2x【分析】求出双曲线的离心率的表达式，然后求解最小值，求出m，即可情况双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线M：1，显然m0，双曲线的离心率e，当且仅当m2时取等号，此时双曲线M：1的双曲线的渐近线方程为：y2x故答案为：y2x【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知an为等差数列，且a36，S630（1）求an的通项公式；（2）若等比数列bn满足b18，b2a1+a2+a3，求bn的前n项和公式【分析】（1）设等差
17、数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则an的通项公式可求；（2）求出b2，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解【解答】解：（1）an为等差数列，设公差为d，由已知可得，解得a110，d2ana1+（n1）d2n12；（2）由b18，b2a1+a2+a3108624，等比数列bn的公比q，bn的前n项和公式22（3）n【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求角A的大小；（）若b+c10，SABC4，求a的值【分析】（）由正弦定理化简已知等式可得：sinC，结合s
18、inC0，利用两角和的正弦函数公式可求sin（A+），结合范围A+（，），可求A的值（）利用三角形的面积公式可求bc16，进而根据余弦定理即可解得a的值【解答】解：（）由正弦定理可得：sinC，sinC0，sinA（1cosA），sinA+cosA2sin（A+），可得：sin（A+），A+（，），A+，可得：A，（）SABC4bcsinAbc，可得：bc16，b+c10，a2【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC，A
19、BAC2，AA14，M是侧棱CC1上一点，设MCh，用空间向量知识解答下列问题（）若h1，证明：BMA1C；（）若h2，求直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值【分析】（）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BMA1C（）当h2时，求出平面ABM的法向量，利用向量法能求出直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值【解答】证明：（）直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC，ABAC2，AA14，M是侧棱CC1上一点，设MCh，h1，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），M（0
20、，2，1），A1（0，0，4），C（0，2，0），（2，2，1），（0，2，4），0+440，BMA1C（）当h2时，M（0，2，2），（2，0，4），（2，0，0），（0，2，2），设平面ABM的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设直线BA1与平面ABM所成的角为，则sin直线BA1与平面ABM所成的角的正弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）已知椭圆C：+1（ab0）过点（，），（，1），直线l：xmy+10与椭圆C交于M（x1，y1），N
21、（x2，y2）两点（）求椭圆C的标准方程；（）已知点A（，0），且A、M、N三点不共线，证明：MAN是锐角【分析】（）将题干中两点坐标代入椭圆C的方程，求出a和b的值，即可得出椭圆C的标准方程；（）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算，并结合A、M、N三点不共线，可证明出MAN是锐角【解答】解：（）将点、的坐标代入椭圆C的方程得，解得，所以，椭圆C的标准方程为；（）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x并化简得（m2+2）y22my30，0恒成立，由韦达定理得，同理可得所以，由于A、M、N三点不共线，因此，MAN是锐角【点评】本题考查直线
22、与椭的综合问题，考查椭圆的方程，结合向量数量积的坐标运算进行考察，属于中等题21（12分）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF平面BCE；（2）求二面角CBED的余弦值的大小【分析】（1）设ADDE2AB2a，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF平面BCE（2）求出平面BCE的一个法向量和设平面BDE的一个法向量，利用向量法能证明二面角CBED的余弦值【解答】证明：（1）设ADDE2AB2a，以AC，AB所在的直线分别作为x轴、z
23、轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），D（a，a，0），E（a，a，2a）F为CD的中点，F（，0）（，0），（a，a，a），（2a，0，a），（+），AF平面BCE，AF平面BCE解：（2）设平面BCE的一个法向量（x，y，z），则，令x1，得（1，2）设平面BDE的一个法向量（x，y，z），（a，a），则，令x，得（，1，0）cos故二面角CBED的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，
24、是中档题22（12分）已知抛物线E：x22px（p0）的焦点为F，A（2，y0）是抛物线E上一点，且|AF|2（）求抛物线E的标准方程；（）设点B是抛物线E上异于点A的任意一点，直线AB与直线yx3交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M，设直线BM的方程为ykx+b，k，b均为实数，请用k的代数式表示b，并说明直线BM过定点【分析】（）由题意，利用抛物线的定义与性质求得p的值，即可写出抛物线方程；（）设点B（x1，y1），M（x2，y2），由直线BM的方程和抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系和A，P，B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点【解答】解：（）根
25、据题意知，42py0，因为|AF|2，所以y0+2，联立解得y01，p2；所以抛物线E的标准方程为x24y；（）设B（x1，y1），M（x2，y2）；又直线BM的方程为ykx+b，代入x24y，得x24kx4b0；由根与系数的关系，得x1+x24k，x1x24b；由MPx轴及点P在直线yx3上，得P（x2，x23），则由A，P，B三点共线，得，整理，得（k1）x1x2（2k4）x1+（b+1）x22b60；将代入上式并整理，得（2x1）（2k+b3）0，由点B的任意性，得2k+b30，即b32k，所以ykx+32kk（x2）+3；即直线BM恒过定点（2，3）【点评】本题考查了抛物线的性质和直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，是中档题
