1、2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是（）A若x1，则x23x+20B若x23x+20，则x1C若x23x+20，则x1D若x23x+20，则x12（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，（）ABCD3（5分）若ab0，则（）ABa3b3Cabb2Da2b24（5分）已知命题p：“mR，函数f（x）m+是奇函数”，则命题p为（）AmR，函数f（x）m+是偶函数BmR，函数f（x）m+是奇函数CmR，函
2、数f（x）m+不是奇函数DmR，函数f（x）m+不是奇函数5（5分）“m0”是“方程mx2+4y21所表示的曲线是椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C任意三角形D等腰直角三角形7（5分）若不等式x2+x+m20的解集不是空集，则实数m的取值范围为（）ABCD8（5分）若双曲线mx2y21（m0）的一条渐近线与直线y2x垂直，则此双曲线的离心率为（）A2BCD9（5分）若x，y满足约束条件，则zx+2y的取值范围是（）A0，4B（，4C0，6D6，+）10（
3、5分）已知点P（2，0）是椭圆C：1（ab0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y24的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A12B13C14D1511（5分）成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列bn中的b2，b3，b4，则数列bn的通项公式为（）Abn2nBbn3nCbn2n1Dbn3n112（5分）已知F是抛物线y24x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x1）2+y21交于不同的两点B，C（如图），则|AB|CD|的值是（）A2B2C1D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
4、）13（5分）不等式0的解集是 14（5分）已知a0，b0，且a+2b8，则ab的最大值等于 15（5分）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高AB1km，CD3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，AEC150，则两山顶A，C之间的距离为 km16（5分）中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”其大意为：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700公里则这匹马第7天所走的路程为 里三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5、）17已知在等比数列an中，a22，a516，等差数列bn满足b1a1，b4a3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn18ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2acosBbcosC+ccosB（1）求角B；（2）若b2，SABC，求a+c19已知平面ABCD是边长为2的正方形，平面PACE是直角梯形，PA平面ABCD，O为AC与BD的交点，且PA2，CE1请用空间向量知识解答下列问题：（）求证：PO平面BDE；（）求直线PO与平面PAB夹角的正弦值20在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点（）如果直线l的方程为yx1，求弦AB的
6、长；（）如果直线l过抛物线的焦点，求的值21在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，PAPB1（1）证明：EF平面DCP；（2）设点G是线段AB的中点，求二面角CPDG的正弦值22已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1PF2，|F1F2|2，PF1F2的面积为1（）求椭圆C的方程；（）若A，B分别为椭圆上的两点，且OAOB，求证：为定值，并求出该定值2018-2019学年陕西省渭南市华阴市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题
7、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是（）A若x1，则x23x+20B若x23x+20，则x1C若x23x+20，则x1D若x23x+20，则x1【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x23x+20，则x1故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题间的逆否关系，熟练掌握四种命题的定义及结构形式是解答的关键2（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，（）ABCD【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算即可得出结论【解答】解：如图所示，长方体A
8、BCDA1B1C1D1中，（+）+故选：D【点评】本题考查了空间向量加法运算的几何意义问题，是基础题目3（5分）若ab0，则（）ABa3b3Cabb2Da2b2【分析】直接利用不等式的基本性质求出结果【解答】解：由于ab0，所以不等式的两边同乘以负数b，故：abb2故选：C【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4（5分）已知命题p：“mR，函数f（x）m+是奇函数”，则命题p为（）AmR，函数f（x）m+是偶函数BmR，函数f（x）m+是奇函数CmR，函数f（x）m+不是奇函数DmR，函数f（x）m+不是奇函数【分析】根据特称命题的否
9、定是全称命题，即可得到结论【解答】解：命题p：“mR，函数f（x）m+是奇函数”，则命题p为mR，函数f（x）m+不是奇函数，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础5（5分）“m0”是“方程mx2+4y21所表示的曲线是椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】结合椭圆的标准方程的形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：方程的标准形式为1，若表示椭圆，则m0且，即m0且m4，则“m0”是“方程mx2+4y21所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特
10、点求出m的范围是解决本题的关键6（5分）在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C任意三角形D等腰直角三角形【分析】根据正弦定理及条件即可得出sinBcosB，sinCcosC，于是BC，A【解答】解：由正弦定理得：，又，sinBcosB，sinCcosC，BC，AABC是等腰直角三角形故选：D【点评】本题考查了正弦定理，三角形的形状判断，属于基础题7（5分）若不等式x2+x+m20的解集不是空集，则实数m的取值范围为（）ABCD【分析】根据题意，利用判别式0求得m的取值范围【解答】解：不等式x2+x+m20的解集不是空集，14m20，m，实数m
11、的取值范围是（，）故选：B【点评】本题考查了一元二次不等式解集的应用问题，是基础题8（5分）若双曲线mx2y21（m0）的一条渐近线与直线y2x垂直，则此双曲线的离心率为（）A2BCD【分析】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，再利用c2a2+b2，即可得双曲线的离心率【解答】解：双曲线mx2y21（m0）的一条渐近线yx，渐近线与直线y2x垂直，故一条渐近线的斜率为，则m，即a2，b1，c，双曲线的离心率e故选：B【点评】本题考考查了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线渐近线与离心率间的关系，是基础题9（5分）若x，y满足约束条件，则zx+2y的取值范围是（）A0，4B（，4C0，
12、6D6，+）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数zx+2y经过O点时，函数取得最小值，0；由解得A（2，1），目标函数经过A时取得最大值目标函数的最大值为：4目标函数的范围是：0，4故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键，是中档题10（5分）已知点P（2，0）是椭圆C：1（ab0）的左顶点，过点P作圆O：x2+y24的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A12B13C14D15【分析】由题意，a2过点P作圆O：x2+y24的切线
13、，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得F（，0），即可求出a2+b2的值【解答】解：由题意，a2过点P作圆O：x2+y24的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，APO45，F（，0），c，b2826，a2+b28+614，故选：C【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11（5分）成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列bn中的b2，b3，b4，则数列bn的通项公式为（）Abn2nBbn3nCbn2n1Dbn3n1【分析】设成等差数列的三个正数分别为ad，a，a+d
14、，由条件可得a4，再由等比数列中项的性质，可得d的方程，解得d1，求得等比数列的公比为2，首项为2，即可得到数列bn的通项公式【解答】解：设成等差数列的三个正数分别为ad，a，a+d，可得3a12，解得a4，即成等差数列的三个正数分别为4d，4，4+d，这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列bn中的b2，b3，b4，可得（4+4）2（1+4d）（4+d+11），解方程可得d1（11舍去），则b24，b38，b416，即有b12，则bn22n12n，故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质和通项公式，考查运算能力，属于基础题12（5分）已知F是抛物线y24x的焦点，过
15、点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x1）2+y21交于不同的两点B，C（如图），则|AB|CD|的值是（）A2B2C1D【分析】根据题意，设A（x1，y1），D（x2，y2），分析抛物线的焦点以及圆心的坐标，由抛物线的定义可得|AB|、|CD|的值，联立直线方程和抛物线方程，应用韦达定理可得所求值【解答】解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y24x的焦点为F（1，0），准线方程为x1，圆（x1）2+y21的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|x1+11x1，|CD|x2+11x2，即有|AB|CD|x1x2，设直线方程
16、为xmy+1，代入抛物线方程y24x，可得y24my40，则y1y24，x1x21，故选：C【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查圆的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，应用韦达定理，化简运算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）不等式0的解集是（2，3【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解即可【解答】解：依题意，0，解得2x3，不等式0的解集是（2，3，故答案为：（2，3【点评】本题考查了不等式的解法，考查计算能力，属于基础题14（5分）已知a0，b0，且a+2b8，则ab的最大值等于8【分析】根据基本不等式直接计算即可【解答】解：
17、依题意8a+2b，ab8，当且仅当a2b，即a4，b2时等号成立，故答案为：8【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题15（5分）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高AB1km，CD3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，AEC150，则两山顶A，C之间的距离为2km【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长【解答】解：AB1，CD3，AEB30，CED60，AEC150，AE2AB2，CE2；ACE中，由余弦定理得：AC2AE2+CE22AECEcosAEC4+12222（）
18、28，AC2；即两山顶A，C之间的距离为2km故答案为：2【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题16（5分）中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”其大意为：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700公里则这匹马第7天所走的路程为里【分析】每天走的里程数是等比数列an，公比q，将S7用基本量a1，q表示出来，解得a1，利用通项公式可得a7【解答】解：每天走的里程数是等比数列an，公比q，则S7700，解得a1，a7里，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公
19、式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知在等比数列an中，a22，a516，等差数列bn满足b1a1，b4a3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）先求出公比，即可求出数列的通项公式，（2）求出公差的，再根据求和公式计算即可【解答】解：（1）等比数列an中，a22，a516，q38，q2，a11，an2n1，（2）等差数列bn满足b1a11，b4a343db4b1413，d1，Snn+1【点评】本题考查了等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，属于基础题18AB
20、C的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2acosBbcosC+ccosB（1）求角B；（2）若b2，SABC，求a+c【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcosBsinA，结合sinA0，得cosB，由范围0B，可求B的值（2）利用三角形的面积公式可求ac4，进而根据余弦定理可求a+c的值【解答】解：（1）由正弦定理，得：2sinAcosBsinBcosC+sinCcosB，可得：2sinAcosBsinA，由于在三角形中sinA0，得cosB，0B，B（6分）（2）SABCacsinBac，可得：ac4，可得：b2a2+c22accosBa2+c2
21、ac（a+c）23ac，可得：a+c2（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题19已知平面ABCD是边长为2的正方形，平面PACE是直角梯形，PA平面ABCD，O为AC与BD的交点，且PA2，CE1请用空间向量知识解答下列问题：（）求证：PO平面BDE；（）求直线PO与平面PAB夹角的正弦值【分析】（）以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PO平面BDE（）求出（1，1，2），平面PAB的一个法向量（0，1，0），利用向量法能求出直线P
22、O与平面PAB夹角的正弦值【解答】解：（）证明：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（1，1，0），P（0，0，2），E（2，2，1），（1，1，2），（2，2，0），（0，2，1），0，0，POBD，POBEBDBEB，PO平面BDE（）解：（1，1，2），平面PAB的一个法向量（0，1，0），则cos，设直线PO与平面PAB的夹角为，则sin|cos|，直线PO与平面PAB夹角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二项分布的性质等
23、基础知识，考查运算求解能力，是中档题20在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点（）如果直线l的方程为yx1，求弦AB的长；（）如果直线l过抛物线的焦点，求的值【分析】（）由题意：抛物线焦点为（1，0），l：yx1，代入抛物线y24x，消去x得y24y40，利用弦长公式即可求出，（）由题意：抛物线焦点为（1，0），设l：xmy+1，代入抛物线y24x，消去x得y24my4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2，把根与系数的关系代入即可得出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）（）联立得：x26x+10由韦达定理：x1+x26易知直线
24、l经过抛物线的焦点F（1，0），由准线x1得：|AB|OA|+|OB|（x1+1）+（x2+1）x1+x2+28（）设直线l：xmy+1（由于有两个交点，直线l的斜率必存在），联立得：y24my40，由韦达定理：y1+y24m，y1y24所以所以【点评】本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，PAPB1（1）证明：EF平面DCP；（2）设点G是线段AB的中点，求二面角CPDG的正弦值【分析】（1）取PC的中点为H
25、，连接DH，FH推导出四边形DEFH为平行四边形，从而EFDH，由此能证明EF平面DCP（2）以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz利用向量法能求出二面角的正弦值【解答】证明：（1）取PC的中点为H，连接DH，FH，四边形ABCD是正方形，E、F、G分别是线段的中点，DEBC且DEBC，FHBC且FHBC，DEFH且DEFH，四边形DEFH为平行四边形，EFDH，EF平面DCP，DH平面DCP，EF平面DCP解：（2）PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AP，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz
26、则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1），G（0，0），（1，0，1），（1，1，1），（1，0），设平面CPD的法向量为（x，y，z），则，取x1，得（1，0，1），设平面GPD的法向量为（x，y，z），则，取x1，得（1，2，1），cos，sin二面角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1PF2，|F1F2|2，PF1F2的面积为1（）求椭圆C的方程；
27、（）若A，B分别为椭圆上的两点，且OAOB，求证：为定值，并求出该定值【分析】（）由椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，PF1PF2，|F1F2|2，PF1F2的面积为1列出方程组，求出a2，c，ba2b21，由此能求出椭圆C的方程（）（i）当A，B是椭圆顶点时，+；（ii）当A，B不是椭圆顶点时，设lOA：ykx，lOB：y，由，得|OA|2，|OB|2，由此能证明为定值【解答】（本小题满分12分）解：（）椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，PF1PF2，|F1F2|2，PF1F2的面积为1，解得a2，c，ba2b21，椭圆C的方程为：1（5分）证明：（）（i）当A，B是椭圆顶点时，+，（6分）（ii）当A，B不是椭圆顶点时，设lOA：ykx，lOB：y，由，得，|OA|2，同理，|OB|2，+综上，为定值（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两线段平方的倒数和为定值的证明，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
