1、2018-2019学年陕西省渭南市潼关县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）有下列命题：面积相等的三角形是全等三角形；“若xy0，则|x|+|y|0”的逆命题；“若ab，则a+cb+c”的否命题；“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题其中真命题共有（）A1个B2个C3个D4个2（5分）命题“x0RQ，x03Q”的否定是（）Ax0RQ，x03QBx0RQ，x03QCxRQ，x3QDxRQ，x3Q3（5分）下列向量中不垂直的一组是（）A（3，4，0），（0，0，5）B（6，0，12），（6，5
2、，7）C（2，1，2），（4，6，7）D（3，1，3），（1，0，1）4（5分）已知ABC的顶点B，C均在椭圆+y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）A4B6C2D125（5分）以正方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图，建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）ABCD6（5分）已知A（1，2，6），B（1，2，6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A0BCD7（5分）顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是（）Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y8（5分）已知点F是抛物线y24x焦点，M，
3、N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|6，则MN中点到准线距离为（）AB2C3D49（5分）已知，若，则x（）A4B4C2D210（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）AB2CD211（5分）一动圆的圆心在抛物线x216y上，且该动圆恒与直线y+40相切，则动圆必经过的定点为（）A（0，4）B（4，0）C（2，0）D（0，2）12（5分）已知A（1，0），B是圆F：x22x+y2110（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知a、b、c
4、、d是实数，若ab，cd，则a+cb+d命题的否定为 14（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 15（5分）直线l：x2y+20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为 16（5分）抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设命题p：xR，x22xa；命题q：如果命题“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围18（12分）P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，（2，1，4）
5、，（4，2，0），（1，2，1）（1）求证：PA平面ABCD；（2）对于向量（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，c3），定义一种运算：（）x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（）的绝对值；说明其与几何体PABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算（）的绝对值的几何意义19（12分）已知双曲线与椭圆+1有相同焦点，且经过点（，4）（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）求此双曲线的标准方程20（12分）已知动点P与平面上两定点A（1，0），B（1，0）连线的斜率的积为定值2（1）试求动点P的轨迹方程C（2）设直线l：yx+1与曲
6、线C交于M、N两点，求|MN|21（12分）如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积22（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，AB：AD：AA11：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF平面A1ED；（3）求二面角A1EDF的正弦值2018-2019学年陕西省渭南市潼关县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小
7、题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）有下列命题：面积相等的三角形是全等三角形；“若xy0，则|x|+|y|0”的逆命题；“若ab，则a+cb+c”的否命题；“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题其中真命题共有（）A1个B2个C3个D4个【分析】本题中每个命题都要判断，显然错误；的逆命题为“若|x|+|y|0，则xy0”正确；写出否命题，由不等式性质进行判断；原命题与逆否命题同真假，只要判断原命题的真假【解答】解：是假命题，因为面积相等的三角形不一定全等，错误；的逆命题为“若|x|+|y|0，则xy0”正确；的否命题为“若ab，则a+cb+c”，由不等式性
8、质显然正确；原命题错误，而原命题与逆否命题同真假，故为假命题故选：B【点评】本题考查四种命题及真假，属容易题2（5分）命题“x0RQ，x03Q”的否定是（）Ax0RQ，x03QBx0RQ，x03QCxRQ，x3QDxRQ，x3Q【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0RQ，x03Q”的否定是：xRQ，x3Q故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3（5分）下列向量中不垂直的一组是（）A（3，4，0），（0，0，5）B（6，0，12），（6，5，7）C（2，1，2），（4，6，7）D（3，1，
9、3），（1，0，1）【分析】分别计算各组向量中，两个向量的数量积，再利用两个向量垂直的性质，得到结论【解答】解：分别计算各组向量中，两个向量的数量积由于 （3，4，0）（0，0，5）0+0+00，故A中的两个向量垂直由于（6，0，12）（6，5，7 ）36+0+841200，故B中的两个向量不垂直由于（2，1，2）（4，6，7）86+140，故C中的两个向量垂直由于（3，1，3）（1，0，1 ）3+030，故D中的两个向量垂直故选：B【点评】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，计算出两个向量的数量积，是解题的关键4（5分）已知ABC的顶点B，C均在椭圆+y21上，顶点A是椭
10、圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）A4B6C2D12【分析】利用椭圆的定义即可得出【解答】解：由椭圆+y21，a23，解得a设椭圆的另一个焦点为A1由椭圆的定义可得：|BA|+|BA1|2a|CA|+|CA1|，ABC的周长4a4故选：A【点评】本题考查了椭圆的定义，属于基础题5（5分）以正方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图，建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）ABCD【分析】设正方体的棱长为：1，由图形可知，B1点在正方体的上底面上，B1点的纵标同C的纵标相同，B1在面A1B1C1D1上，得到点的竖标为1，根据B1点在棱上的位置
11、，写出B1点的横标，从而得到的B1坐标，最后写出向量的坐标及与共线的向量的坐标即可【解答】解：由图形可知，B1点在正方体的上底面上，设正方体的棱长为：1，B1点的坐标是（1，1，1）则与共线的向量的坐标可以是故选：C【点评】本题考查共线向量、空间中点的坐标，是一个基础题，解题时借助于点在正方体的一条棱上，写出横标，纵标和竖标，注意各个坐标的符号6（5分）已知A（1，2，6），B（1，2，6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A0BCD【分析】由cos1，能求出向量与的夹角为【解答】解：A（1，2，6），B（1，2，6）O为坐标原点，向量（1，2，6），（1，2，6），cos1，向量与的夹角为故
12、选：C【点评】本题考查空间中两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，是基础题7（5分）顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是（）Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y【分析】依题意，设抛物线的标准方程为x22py（p0）或y22px（p0），将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程，求得p即可【解答】解：抛物线的顶点在原点，且过点（4，4），设抛物线的标准方程为x22py（p0）或y22px（p0），将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x22py（p0）得：168p，p2，此时抛物线的标准方程为x24y；将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y22px（p0
13、），同理可得p2，此时抛物线的标准方程为y24x综上可知，顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是x24y或y24x故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题8（5分）已知点F是抛物线y24x焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|6，则MN中点到准线距离为（）AB2C3D4【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离【解答】解：F是抛物线y24x的焦点F（1，0），准线方程x1，设M（x1，y1
14、），N（x2，y2）|MF|+|NF|x1+1+x2+16，解得x1+x24，线段AB的中点横坐标为2，线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+13故选：C【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离9（5分）已知，若，则x（）A4B4C2D2【分析】推导出（2，2，2），由，得（）4+2x+40，由此能求出x的值【解答】解：，（2，2，2），（）4+2x+40，解得x4故选：B【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量加法法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点（
15、4，0）到C的渐近线的距离为（）AB2CD2【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，可得，即：，解得ab，双曲线C：1（ab0）的渐近线方程为：yx，点（4，0）到C的渐近线的距离为：2故选：D【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力11（5分）一动圆的圆心在抛物线x216y上，且该动圆恒与直线y+40相切，则动圆必经过的定点为（）A（0，4）B（4，0）C（2，0）D（0，2）【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程，根据动圆恒与直线y+40相切，且y4为准
16、线方程，利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点【解答】解：由抛物线x216y，得到准线方程为y4，焦点坐标为（0，4），动圆的圆心在抛物线x216y上，且动圆恒与直线y4相切，由抛物线的定义知|MF|MK|，如图所示；即动圆必经过定点F（0，4）故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，以及抛物线的简单性质应用问题，是中档题12（5分）已知A（1，0），B是圆F：x22x+y2110（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（）ABCD【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程【解答】解：由题意得 圆
17、心F（1，0），半径等于2，|PA|PB|，|PF|+|PA|PF|+|PB|BF|半径2|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，2a2，c1，b，椭圆的方程为1 故选：D【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则a+cb+d命题的否定为若ab，cd，则a+cb+d【分析】直接根据根据命题的否定即可求出【解答】解：若ab，cd，则a+cb+d命题的否定为若ab，cd，则a+cb+d，故答案为：若ab，cd，则a+cb+d【点评】本题考查命题的否定，属基本
18、题14（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为【分析】由题意连接A1C1，则AC1A1为所求的角，在AC1A1计算出此角的正弦值即可【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面A1B1C1D1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角在AC1A1中，sinAC1A1故答案为：【点评】本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系，属于中档题15（5分）直线l：x2y+20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为【分析】根据题意，由直线的方程可得其与坐标轴交点的
19、坐标，即可得椭圆中焦点F1的坐标和顶点B的坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质可得a的值，由离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，直线l的方程为x2y+20，与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；又有直线l：x2y+20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则有F1的坐标（2，0），顶点B的坐标为（0，1），则有c2，b1，a，故其离心率e；故答案为：【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是确定椭圆的焦点位置16（5分）抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为5【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据
20、抛物线的定义求得答案【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y1点A到准线的距离为4+15根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离点A与抛物线焦点的距离为5故答案为：5【点评】本题主要考查了抛物线的定义的运用考查了学生对抛物线基础知识的掌握属基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设命题p：xR，x22xa；命题q：如果命题“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：关于命题p：xR，x22xa，a（
21、x1）21，a1，故命题p为真时，a1；关于命题q：，4a24（2a）0，a2+a20，a1或a2，如果命题“pq”为真，“pq”为假，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：2a1，p假q真时：，解得：a1，综上：a（2，1）1，+）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题18（12分）P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，（2，1，4），（4，2，0），（1，2，1）（1）求证：PA平面ABCD；（2）对于向量（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，c3），定义一种运算：（）x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1
22、z3x3y2z1，试计算（）的绝对值；说明其与几何体PABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算（）的绝对值的几何意义【分析】（1）证明与平面ABCD内的两个不共线的向量垂直，即证明与此平面内的两个不共线的向量的数量积等于0（2）根据体题中定义的运算法则，化简 的结果，发现此值正好等于以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积【解答】解：（1）（2，1，4）（1，2，1）2+（2）+40，即APAB（1，2，1）（4，2，0）4+4+00，即PAADPA面ABCD（2）|48，又cos，V|16猜测：|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积（或以AB，AD，AP为棱的四棱柱的体积
23、）【点评】本题考查直线和平面垂直的方法，以及利用题中的新定义的运算法则计算的结果，体现了数形结合的数学思想，属于中档题19（12分）已知双曲线与椭圆+1有相同焦点，且经过点（，4）（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）求此双曲线的标准方程【分析】（1）利用椭圆的坐标方程及其性质即可得出（2）设双曲线方程为，把点代入双曲线方程，即可得出【解答】解：（1）由题意得：a236，b227c2a2b29，焦点F1（0，3），F2（0，3）（2）设双曲线方程为，点在曲线上，代入双曲线的方程可得m4或m36（舍）双曲线的方程为【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题20（12分）已知动点
24、P与平面上两定点A（1，0），B（1，0）连线的斜率的积为定值2（1）试求动点P的轨迹方程C（2）设直线l：yx+1与曲线C交于M、N两点，求|MN|【分析】（1）设出点P（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为2，建立方程化简即可得到点P的轨迹方程（2）将直线l：yx+1代入曲线C方程x2+1，整理得3x2+2x10，可求得方程的根，进而利用弦长公式可求|MN|【解答】解：（1）设P（x，y），则kPA，kPB动点p与定点A（1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为2，kPAkPB22，即2x2+y22又x1时，必有一个斜率不存在，故x1综上点P的轨迹方程为x2+1（x1）（2）将直线l：
25、yx+1代入曲线C方程x2+1，整理得3x2+2x10【点评】本题以斜率为载体，考查曲线方程的求解，关键是利用斜率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式的运用21（12分）如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积【分析】（1）根据双曲线的定义解答；（2）利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cosF1PF2 的值进而求得F1PF2【解答】解：（1）由题意，设
26、M到两个焦点的距离分别为m，16，则|16n|23，解得n10或22；（2）根据双曲线的方程可知，a3，b4，c5则|F1F2|2c10，|PF1|PF2|2a236|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2+|PF2|2100|F1F2|2，F1PF290，F1PF2的面积为|PF1|PF2|3216【点评】本题开考查了双曲线的定义以及性质的运用，关键是利用性质正确得到|PF1|、|PF2|的位置关系，从而求面积22（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，AB：AD：AA11：2：4，（1）求异面直线EF与A
27、1D所成角的余弦值；（2）证明AF平面A1ED；（3）求二面角A1EDF的正弦值【分析】（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，0）（1）易得（0，1），（0，2，4）于是cos，所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接ED，易知（1，2，1），（1，4），（1，0），于是0，0因此，AFEA1，AFED又EA1EDE，所以AF平面A1ED（3）设平面EFD的一个法向量为u（x，y，z），则即不妨令x1，可得u（1，2，1）由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量于是cosu，从而sinu，二面角A1EDF的正弦值是【点评】本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同
