1、2018-2019学年四川省广元市利州区二校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合P（x，y）|y（）x，Q（x，y）|ylog2x，则集合PQ的交点个数是（）A0 个B1个C2个D3个2（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法3（5分）已知平面向量（1，3），（2，0），则|+2|（）AB3CD54（5分）设m，n为两条不同的
2、直线，为平面，则下列结论正确的是（）Amn，mnBmn，mnCmn，mnDmn，mn5（5分）如图是各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A2B4CD26（5分）若函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图所示，则yf（x）的解析式可能是（）Ay2sin（2x+）By2sin（2x+）Cy2sin（2x）Dy2sin（2x）7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A8B16C32D648（5分）等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是（）A4B4CD9（5分）若a0，b0，2a+b6，则的最小值为（）ABCD10（5分）在A
3、BC中，若a2b2+c2bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD211（5分）设双曲线1（a0，b0）的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1|+|PF2|4a，则双曲线离心率是（）ABCD12（5分）已知函数yf（x）是定义域为R的偶函数当x0时，若关于x的方程f（x）2+af（x）+b0，a，bR有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）双曲线1的渐近线方程是 14（5分）在平面直角坐标系中，曲线yex+2x+1在x0处的切线方程是 15（5分）已知
4、实数x，y满足，则的取值范围为 16（5分）下列四个命题：当a为任意实数时，直线（a1）xy+2a+10恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2；已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2xy0，则双曲线的标准方程是1；抛物线yax2（a0）的准线方程为y；已知双曲线，其离心率e（1，2），则m的取值范围是（12，0）其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）三.解答题（共5道小题，17至21每小题12分，共60分）17（12分）设平面向量（1）若，求cos2x的值；（2）若函数，求函数f（x）的最大值，并求出相应的x值18（12分）为了了解某地区高三学生
5、的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁8岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：求：（1）根据直方图可得这100名学生中体重在（56，64）的学生人数；（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.518岁的男生体重；（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a13，2Sn+3an+1（1）求数列an的通项公式；（2）若等差数列bn的前n项和为Tn，且T1a1，T3a3，求数列的前n项和Qn20（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的
6、中点，PAAB1（）求证：EF平面DCP；（）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值21（12分）设点P为抛物线：y2x外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（）若点P为（1，0），求直线AB的方程；（）若点P为圆（x+2）2+y21上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求的取值范围（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）已知圆锥曲线C：（为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经
7、过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求|MF1|NF1|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，求实数m的取值范围2018-2019学年四川省广元市利州区二校联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合P（x，y）|y（）x，Q（x，y）|ylog2x，则集合PQ的交点个数是（）A0 个B1个C2个D3个【分析】可分别画出函数和ylog2x的
8、图象，根据图象可看出函数和ylog2x图象的交点个数，从而得出集合PQ的交点个数【解答】解：画出函数和ylog2x的图象如下：由图象看出，和ylog2x只有一个交点；PQ的交点个为1故选：B【点评】考查描述法表示集合的概念，能画出和ylog2x的图象，数形结合解题的方法2（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系
9、统抽样，而事先已经高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题3（5分）已知平面向量（1，3），（2，0），则|+2|（）AB3CD5【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2（3，3），由向量模的计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，向量（1，3），（2，0），则+2（3，3），则，故选：A【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向量的坐标计算公式4（5分）设m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是（）Amn，mnBmn，mnCmn，mnDmn，mn【分
10、析】A，若mn，m时，可能n或斜交；B，mn，mn或m；C，mn，mn或m；D，mn，mn；【解答】解：对于A，若mn，m时，可能n或斜交，故错；对于B，mn，mn或m，故错；对于C，mn，mn或m，故错；对于D，mn，mn，正确；故选：D【点评】本题考查了空间点、线、面的位置关系，属于基础题5（5分）如图是各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A2B4CD2【分析】侧视图为矩形，三视图要求“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”【解答】依题意，三棱柱的三视图如图所示，由于所有棱长均为2，故正三棱柱的高为2，底面是边长为2的正三
11、角形，根据三视图的投影规则，侧（左）视图长为底面正三角形高，即三棱柱的宽，其长为，得此三棱柱的侧（左）视图是边长分别为2，的矩形，故选：D【点评】考查三视图侧视图面积计算，矩形边长容易理解错看到是边AC，但实际长是正ABC的AB边的高6（5分）若函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图所示，则yf（x）的解析式可能是（）Ay2sin（2x+）By2sin（2x+）Cy2sin（2x）Dy2sin（2x）【分析】由函数图象可得：f（0）1，f（），依次分析各个选项解析式即可排除错误答案得解【解答】解：由函数图象可得：f（0）1，f（），对于A，f（0）2sin1，f（）2sin（2+），正确；
12、对于B，f（0）2sin1，错误；对于D，f（0）2sin（）1，错误；对于C，f（）2sin（2），错误故选：A【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A8B16C32D64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：当a1，b2时，Sab2，S100成立，则a2，b2，Sab224，S100成立，则a2，b4，Sab248，S100成立，则a4，b8，Sab4832，S100成立，则a8，b32，Sab832256，S100不成立，输出b32，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根
13、据条件进行模拟运算是解决本题的关键8（5分）等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是（）A4B4CD【分析】利用等比数列an的性质可得，即可得出【解答】解：设a4与a8的等比中项是x由等比数列an的性质可得，xa6a4与a8的等比中项xa64故选：A【点评】本题考查了等比中项的求法，属于基础题9（5分）若a0，b0，2a+b6，则的最小值为（）ABCD【分析】由已知可得（）（2a+b），然后利用基本不等式即可求解【解答】解：a0，b0，2a+b6，则（）（2a+b）当且仅当且2a+b6即a，b3时取得最小值故选：B【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代
14、换10（5分）在ABC中，若a2b2+c2bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD2【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可【解答】解：ABC中，a2b2+c2bc，即b2+c2a2bc，cosA，A60，bc4，SABCbcsinA，故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题11（5分）设双曲线1（a0，b0）的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1|+|PF2|4
15、a，则双曲线离心率是（）ABCD【分析】由|PF1|+|PF2|4a，可得|PF1|3a，|PF2|a利用|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2，得即可【解答】解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a因为|PF1|+|PF2|4a，所以|PF1|3a，|PF2|a由点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，PF1|PF2，所以|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2，即9a2+a24c2，得所以双曲线的离心率e故选：A【点评】本题考查了双曲线的离心率，属于中档题12（5分）已知函数yf（x）是定义域为R的偶函数当x0时，若关于x的方程f（x）2+af（x）+b0，a，b
16、R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）ABCD【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式以及奇偶性分析可得f（x）的最小值与极大值，要使关于x的方程f（x）2+af（x）+b0，a，bR有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b0必有两个根t1、t2，讨论t1、t2的值，即可得答案【解答】解：根据题意，当x0时，分析可得：f（x）在（0，2）上递增，在（2，+）上递减，当x2时，函数f（x）取得极大值，当x0时，函数f（x）取得最小值0，又由函数为偶函数，则f（x）在（，2）上递增，在（2，0）上递减，当x2时，函数f（x）取得极大值，当x0时，函数f（x）取得最小值0，要使关于x
17、的方程f（x）2+af（x）+b0，a，bR有且只有6个不同实数根，设tf（x），则t2+at+b0必有两个根t1、t2，且必有t1，0t2，又由at1+t2，则有a，即a的取值范围是（，），故选：B【点评】本题考查方程的根的存在以及个数的判定，关键是依据函数f（x）的解析式，分析函数f（x）的最大、最小值，转化思路，分析二次方程的根的情况二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）双曲线1的渐近线方程是yx【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程【解答】解：双曲线，a2，b3，焦点在x轴上，故渐近线方程为 yxx，故答案为 y【点评
18、】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题14（5分）在平面直角坐标系中，曲线yex+2x+1在x0处的切线方程是y3x+2【分析】已知yex+2x+1对其进行求导，求在x0处的斜率，根据点斜式，写出f（x）在点x0处的切线方程【解答】解：yex+2x+1，f（x）ex+2，在x0处的切线斜率kf（0）1+23，f（0）1+0+12，yex+2x+1在x0处的切线方程为：y23x，y3x+2，故答案为：y3x+2【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解此题的关键是要对f（x）能够正确求导，此题是一
19、道基础题15（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围为【分析】实数x，y满足，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，2），C（0，2），的几何意义是点（x，y）与P（2，0）连线的斜率，由此可求结论【解答】解：实数x，y满足，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（，1），B（3，1），C（，）的几何意义是点（x，y）与P（2，0）连线的斜率，由于PC的斜率为 ，PB的斜率为：所以 则的取值范围为：故答案为：【点评】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义16（5分）下列四个命题：当a为任意
20、实数时，直线（a1）xy+2a+10恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2；已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2xy0，则双曲线的标准方程是1；抛物线yax2（a0）的准线方程为y；已知双曲线，其离心率e（1，2），则m的取值范围是（12，0）其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】由题意求出符合条件的抛物线方程；根据渐近线方程和半焦距求得a和b，写出双曲线方程；把抛物线方程整理成标准方程，根据抛物线的性质求出它的准线方程；根据离心率的范围求得m的取值范围【解答】解：对于，直线（a1）xy+2a+10化为（x+2）a+（1xy）0，令，解得
21、，所以直线过定点P（2，3），过点P且焦点在y轴上的抛物线方程是x22py，p，即x2y，正确；对于，由题意知c5，即a2+b225，又渐近线2xy0，即2，解得a，b2，则双曲线方程为1，正确；对于，抛物线方程化为标准形式是x2y，p，根据抛物线的性质可得它的准线方程为y，正确；对于，双曲线的离心率e，满足12，解得12m0，所以m的取值范围是12m0，正确，综上所述，正确的命题序号是故答案为：【点评】本题主要考查了圆锥曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是综合题三.解答题（共5道小题，17至21每小题12分，共60分）17（12分）设平面向量（1）若，求cos2x的值；（2）若函数，求函数
22、f（x）的最大值，并求出相应的x值【分析】（1）根据向量的垂直求出sinx0，从而求出cos2x的值即可；（2）求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质求出其最大值即可【解答】解：（1），0，即sinx0，故cos2x12sin2x1；（2）f（x）1+2cosx2sinx4cos（x+）+1，故当x+2k（kZ），即x2k（kZ）时，f（x）有最大值，最大值是5【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道中档题18（12分）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁8岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：求：（1）根据直方图可得这100名
23、学生中体重在（56，64）的学生人数；（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.518岁的男生体重；（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？【分析】（1）根据直方图求出这100名学生中体重在（56，64）的学生数；（2）求出样本的平均数，利用平均数来衡量该地区17.518岁的男生体重；（3）求出样本数据中低于62kg的频率，即是概率【解答】解：（1）根据直方图得，这100名学生中体重在（56，64）的学生人数为：（0.03+0.052+0.07）21000.410040（人）；（4分）（2）根据频率分布直方图得，样本的平均数是：利用平均数来衡量该地区17.5
24、18岁的男生体重是65.2kg；（8分）（3）根据频率分布直方图得，样本数据中低于62kg的频率是（0.01+0.03+0.052）20.28，这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62kg的概率是P0.28（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图进行有关的计算，是基础题19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a13，2Sn+3an+1（1）求数列an的通项公式；（2）若等差数列bn的前n项和为Tn，且T1a1，T3a3，求数列的前n项和Qn【分析】（1）运用数列的递推式和都收不回来的定义、通项公式可得所求通项；（2）由等差数列的通项公式和
25、求和公式，解方程可得首项和公差，可得bn3（2n1），又，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【解答】解：（1）当n1时，a29，由2Sn+3an+1得2Sn1+3an（n2），两式相减得2（SnSn1）an+1an，又SnSn1an，an+13an（n2），又a23a1，an+13an（nN*），显然an0，即数列an是首项为3、公比为3的等比数列，；（2）设数列bn的公差为d，则有b13，由T3a3得3b1+3d27，解得d6，bn3+6（n1）3（2n1），又，【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：裂项相消求
26、和，属于中档题20（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1（）求证：EF平面DCP；（）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值【分析】（）法一：取PC中点M，连接DM，MF，推导出四边形DEFM为平行四边形，EFDM，由此能证明EF平面PDC法二：取PA中点N，连接NE，NF推导出平面NEF平面PCD，由此能证明EF平面PCD法三：取BC中点G，连接EG，FG，推导出平面GEF平面PCD，由此能证明EF平面PCD法四：以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能证
27、明EF平面PDC（）以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值【解答】 （本小题满分12分）【试题解析】证明：（）证法一：取PC中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB中点，E为DA中点，ABCD为正方形，MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形（3分）EFDM，EF平面PDC，DM平面PDC，EF平面PDC（5分）证法二：取PA中点N，连接NE，NFE是AD中点，N是PA中点，NEDP，又F是PB中点，N是PA中点，NFAB，ABCD，NFCD又NENFN，NE平面NEF，NF平面NE
28、F，DP平面PCD，CD平面PCD，平面NEF平面PCD（3分）又EF平面NEF，EF平面PCD（5分）证法三：取BC中点G，连接EG，FG，在正方形ABCD中，E是AD中点，G是BC中点，GECD，又F是PB中点，G是BC中点，GFPC，又PCCDC，GE平面GEF，GF平面GEF，PC平面PCD，CD平面PCD，平面GEF平面PCD（3分）EF平面GEF，EF平面PCD（5分）证法四：PA平面ABC，且四边形ABCD是正方形，AD，AB，AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，（1分）则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1
29、），（2分）则设平面PDC法向量为，则，即，取（3分）（4分），又EF平面PDC，EF平面PDC（5分）解：（）PA平面ABC，且四边形ABCD是正方形，AD，AB，AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，（6分）则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1），设平面EFC法向量为，则，即，取（8分）则设平面PDC法向量为，则，即，取（10分）（11分）平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考
30、查函数与方程思想，是中档题21（12分）设点P为抛物线：y2x外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（）若点P为（1，0），求直线AB的方程；（）若点P为圆（x+2）2+y21上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求的取值范围【分析】（）设直线PA方程为xm1y1，直线PB方程为xm2y1由可得y2m1y+10求出A（1，1）B（1，1）然后求解即可（）设P（x0，y0），则直线PA方程为yk1xk1x0+y0，直线PB方程为yk2xk2x0+y0联立直线与抛物线方程，结合韦达定理转化求解即可【解答】解：（）设直线PA方程为xm1y1，直线PB方程为xm2y1
31、由可得y2m1y+10（3分）因为PA与抛物线相切，所以，取m12，则yA1，xA1即A（1，1）同理可得B（1，1）所以AB：x1（6分）（）设P（x0，y0），则直线PA方程为yk1xk1x0+y0，直线PB方程为yk2xk2x0+y0由可得（8分）因为直线PA与抛物线相切，所以14k1（k1x0+y0）同理可得，所以k1，k2时方程的两根所以，（11分）则.（12分）又因为，则3x01，所以.（15分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（1
32、0分）已知圆锥曲线C：（为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求|MF1|NF1|的值【分析】（1）由圆锥曲线C：（为参数）化为，可得F2（1，0），利用截距式即可得出直线AF2的直角坐标方程（2）直线AF2的斜率为，可得直线l的斜率为直线l的方程为：，代入椭圆的方程化为0，t1+t2，利用|MF1|NF1|t1+t2|即可得出【解答】解：（1）由圆锥曲线C：（为参数）化为，可得F2（1，0），直线AF2的直角坐标方程为：
33、，化为y（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）直线AF2的斜率为，直线l的斜率为直线l的方程为：，代入椭圆的方程可得：12，化为0，t1+t2，|MF1|NF1|t1+t2|【点评】本题考查了椭圆的参数方程、直线的截距式与参数方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，求实数m的取值范围【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，问题转化为关于x的不等式组，解出即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出代数式的最小值，得到关于m的不等式，解出即可【解答】解：（1）f（x）|2x+1|x1|，或或，.（3分）解得：4x或x或无解，综上，不等式的解集是（4，）.（5分）（2）f（x）+|x1|+|2x3|2x+1|+|2x3|2x+1（2x3）|4，当x时等号成立，.（7分）不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，|m1|f（x）+|x1|+|2x3|min，|m1|4，m14或m14，即m3或m5，实数m的取值范围是（，35，+）（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
