1、2018-2019学年四川省广元市利州区二校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合P（x，y）|y（）x，Q（x，y）|ylog2x，则集合PQ的交点个数是（）A0 个B1个C2个D3个2（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法3（5分）已知平面向量（1，3），（2，0），则|+2|（）AB3CD54（5分）设m，n为两条不同的
2、直线，为平面，则下列结论正确的是（）Amn，mnBmn，mnCmn，mnDmn，mn5（5分）如图是各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A2B4CD26（5分）若函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图所示，则yf（x）的解析式可能是（）Ay2sin（2x+）By2sin（2x+）Cy2sin（2x）Dy2sin（2x）7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A8B16C32D648（5分）等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是（）A4B4CD9（5分）若a0，b0，2a+b6，则的最小值为（）ABCD10（5分）在A
3、BC中，若a2b2+c2bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD211（5分）l是经过双曲线C：1（a0，b0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使APB60，则双曲线的离心率的最大值为（）ABC2D312（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x0时，则关于x的函数F（x）f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB0C2a2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）双曲线1的渐近线方程是 14（5分）在平面直角坐标系中，曲线yex+2x+1在x0处的切线方程是 15（5分）已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动
4、，则z4xy的最大值为 16（5分）下列四个命题：当a为任意实数时，直线（a1）xy+2a+10恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2；已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2xy0，则双曲线的标准方程是1；抛物线yax2（a0）的准线方程为y；已知双曲线，其离心率e（1，2），则m的取值范围是（12，0）其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）三.解答题（共5道小题，17至21每小题12分，共60分）17（12分）设平面向量（1）若，求cos2x的值；（2）若函数，求函数f（x）的最大值，并求出相应的x值18（12分）为了了解某地区高三学生的身体发
5、育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁8岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：求：（1）根据直方图可得这100名学生中体重在（56，64）的学生人数；（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.518岁的男生体重；（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a13，2Sn+3an+1（1）求数列an的通项公式；（2）若等差数列bn的前n项和为Tn，且T1a1，T3a3，求数列的前n项和Qn20（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，P
6、AAB1（）求证：EF平面DCP；（）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值21（12分）设点P为抛物线：y2x外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（）若点P为（1，0），求直线AB的方程；（）若点P为圆（x+2）2+y21上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求的取值范围（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：22sin30（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐
7、标方程；（2）求直线l被曲线C截得线段的长选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，求实数m的取值范围2018-2019学年四川省广元市利州区二校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合P（x，y）|y（）x，Q（x，y）|ylog2x，则集合PQ的交点个数是（）A0 个B1个C2个D3个【分析】可分别画出函数和ylog2x的图象，根据图象可看出函数和ylog2x图象
8、的交点个数，从而得出集合PQ的交点个数【解答】解：画出函数和ylog2x的图象如下：由图象看出，和ylog2x只有一个交点；PQ的交点个为1故选：B【点评】考查描述法表示集合的概念，能画出和ylog2x的图象，数形结合解题的方法2（5分）某学校为了了解高一、高二、高三三个年级的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经高一、高二、高三三个年级
9、的学生的课外阅读时间是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题3（5分）已知平面向量（1，3），（2，0），则|+2|（）AB3CD5【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2（3，3），由向量模的计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，向量（1，3），（2，0），则+2（3，3），则，故选：A【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向量的坐标计算公式4（5分）设m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是（）Amn，mnBmn，mnCmn，mnDmn，mn【分析】A，若mn，m时，可能n或斜交；B，m
10、n，mn或m；C，mn，mn或m；D，mn，mn；【解答】解：对于A，若mn，m时，可能n或斜交，故错；对于B，mn，mn或m，故错；对于C，mn，mn或m，故错；对于D，mn，mn，正确；故选：D【点评】本题考查了空间点、线、面的位置关系，属于基础题5（5分）如图是各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1的直观图，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A2B4CD2【分析】侧视图为矩形，三视图要求“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”【解答】依题意，三棱柱的三视图如图所示，由于所有棱长均为2，故正三棱柱的高为2，底面是边长为2的正三角形，根据三视图的投影规则，侧（左）视图长
11、为底面正三角形高，即三棱柱的宽，其长为，得此三棱柱的侧（左）视图是边长分别为2，的矩形，故选：D【点评】考查三视图侧视图面积计算，矩形边长容易理解错看到是边AC，但实际长是正ABC的AB边的高6（5分）若函数f（x）Asin（x+）的部分图象如图所示，则yf（x）的解析式可能是（）Ay2sin（2x+）By2sin（2x+）Cy2sin（2x）Dy2sin（2x）【分析】由函数图象可得：f（0）1，f（），依次分析各个选项解析式即可排除错误答案得解【解答】解：由函数图象可得：f（0）1，f（），对于A，f（0）2sin1，f（）2sin（2+），正确；对于B，f（0）2sin1，错误；对于D，
12、f（0）2sin（）1，错误；对于C，f（）2sin（2），错误故选：A【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A8B16C32D64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：当a1，b2时，Sab2，S100成立，则a2，b2，Sab224，S100成立，则a2，b4，Sab248，S100成立，则a4，b8，Sab4832，S100成立，则a8，b32，Sab832256，S100不成立，输出b32，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键8（5分
13、）等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是（）A4B4CD【分析】利用等比数列an的性质可得，即可得出【解答】解：设a4与a8的等比中项是x由等比数列an的性质可得，xa6a4与a8的等比中项xa64故选：A【点评】本题考查了等比中项的求法，属于基础题9（5分）若a0，b0，2a+b6，则的最小值为（）ABCD【分析】由已知可得（）（2a+b），然后利用基本不等式即可求解【解答】解：a0，b0，2a+b6，则（）（2a+b）当且仅当且2a+b6即a，b3时取得最小值故选：B【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代换10（5分）在ABC中，若a2b2+c2
14、bc，bc4，则ABC的面积为（）AB1CD2【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可【解答】解：ABC中，a2b2+c2bc，即b2+c2a2bc，cosA，A60，bc4，SABCbcsinA，故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题11（5分）l是经过双曲线C：1（a0，b0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使APB60，则双曲线的离心率的最大值为（）ABC2D3【分析】设双曲线的焦点
15、F（c，0），直线l：xc，P（c，n），A（a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式可tanAPB|，由直线的斜率公式，化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可得到所求最大值【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：xc，可设点P（c，n），A（a，0），B（a，0），由两直线的夹角公式可得tanAPB|tan60，由|n|+22，可得，化简可得3c24a2，即ca，即有e当且仅当n，即P（c，），离心率取得最大值故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的最值的求法，注意运用两直线的夹角公式和直线的斜率公式及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）定义在R上的奇
16、函数f（x），当x0时，则关于x的函数F（x）f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB0C2a2D【分析】根据奇函数的性质，求出函数f（x）的解析式，结合函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合得到交点个数的对称性，利用对称性进行求解即可【解答】解：f（x）是奇函数，当x1时，y1|x3|1|x+3|，即y1+|x+3|，当1x0时，ylog（x+1），即ylog（x+1），由F（x）f（x）a0得f（x）a，作出函数f（x）和ya，（0a1）的图象，由图象图象知两个函数有5个交点，从小到大依次设为b，c，d，e，f其中b，c关于x3对称，e，f关于x3对称，d在
17、ylog（x+1）上，则b+c6，e+f6，由ylog（d+1）a，即log（d+1）a，得d+1a2a，得d12a，则所有的零点之和为b+c+d+e+f6+6+12a12a，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数奇偶性求出函数的解析式，以及利用数形结合判断交点关系是解决本题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）双曲线1的渐近线方程是yx【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程【解答】解：双曲线，a2，b3，焦点在x轴上，故渐近线方程为 yxx，故答案为 y【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单
18、性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题14（5分）在平面直角坐标系中，曲线yex+2x+1在x0处的切线方程是y3x+2【分析】已知yex+2x+1对其进行求导，求在x0处的斜率，根据点斜式，写出f（x）在点x0处的切线方程【解答】解：yex+2x+1，f（x）ex+2，在x0处的切线斜率kf（0）1+23，f（0）1+0+12，yex+2x+1在x0处的切线方程为：y23x，y3x+2，故答案为：y3x+2【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解此题的关键是要对f（x）能够正确求导，此题是一道基础题15（5分）已知点P（x，y）在不等
19、式组所表示的平面区域内运动，则z4xy的最大值为4【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z4xy对应的直线进行平移，可得z的最大值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABO及其内部，其中A（0，1），B（1，0），O（0，0）设zF（x，y）4xy，将直线l：z4xy进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值1；经过点B时，目标函数z达到最大值4故答案为：4【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z4xy的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题16（5分）下列四个命题：当a为任意实数时，直线
20、（a1）xy+2a+10恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2；已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2xy0，则双曲线的标准方程是1；抛物线yax2（a0）的准线方程为y；已知双曲线，其离心率e（1，2），则m的取值范围是（12，0）其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】由题意求出符合条件的抛物线方程；根据渐近线方程和半焦距求得a和b，写出双曲线方程；把抛物线方程整理成标准方程，根据抛物线的性质求出它的准线方程；根据离心率的范围求得m的取值范围【解答】解：对于，直线（a1）xy+2a+10化为（x+2）a+（1xy）0，令，解得，所以直线过
21、定点P（2，3），过点P且焦点在y轴上的抛物线方程是x22py，p，即x2y，正确；对于，由题意知c5，即a2+b225，又渐近线2xy0，即2，解得a，b2，则双曲线方程为1，正确；对于，抛物线方程化为标准形式是x2y，p，根据抛物线的性质可得它的准线方程为y，正确；对于，双曲线的离心率e，满足12，解得12m0，所以m的取值范围是12m0，正确，综上所述，正确的命题序号是故答案为：【点评】本题主要考查了圆锥曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是综合题三.解答题（共5道小题，17至21每小题12分，共60分）17（12分）设平面向量（1）若，求cos2x的值；（2）若函数，求函数f（x）的最
22、大值，并求出相应的x值【分析】（1）根据向量的垂直求出sinx0，从而求出cos2x的值即可；（2）求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质求出其最大值即可【解答】解：（1），0，即sinx0，故cos2x12sin2x1；（2）f（x）1+2cosx2sinx4cos（x+）+1，故当x+2k（kZ），即x2k（kZ）时，f（x）有最大值，最大值是5【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道中档题18（12分）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁8岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图：求：（1）根据直方图可得这100名学生中体重在
23、（56，64）的学生人数；（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.518岁的男生体重；（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？【分析】（1）根据直方图求出这100名学生中体重在（56，64）的学生数；（2）求出样本的平均数，利用平均数来衡量该地区17.518岁的男生体重；（3）求出样本数据中低于62kg的频率，即是概率【解答】解：（1）根据直方图得，这100名学生中体重在（56，64）的学生人数为：（0.03+0.052+0.07）21000.410040（人）；（4分）（2）根据频率分布直方图得，样本的平均数是：利用平均数来衡量该地区17.518岁的男生
24、体重是65.2kg；（8分）（3）根据频率分布直方图得，样本数据中低于62kg的频率是（0.01+0.03+0.052）20.28，这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62kg的概率是P0.28（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图进行有关的计算，是基础题19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a13，2Sn+3an+1（1）求数列an的通项公式；（2）若等差数列bn的前n项和为Tn，且T1a1，T3a3，求数列的前n项和Qn【分析】（1）运用数列的递推式和都收不回来的定义、通项公式可得所求通项；（2）由等差数列的通项公式和求和公式，解
25、方程可得首项和公差，可得bn3（2n1），又，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【解答】解：（1）当n1时，a29，由2Sn+3an+1得2Sn1+3an（n2），两式相减得2（SnSn1）an+1an，又SnSn1an，an+13an（n2），又a23a1，an+13an（nN*），显然an0，即数列an是首项为3、公比为3的等比数列，；（2）设数列bn的公差为d，则有b13，由T3a3得3b1+3d27，解得d6，bn3+6（n1）3（2n1），又，【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档
26、题20（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1（）求证：EF平面DCP；（）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值【分析】（）法一：取PC中点M，连接DM，MF，推导出四边形DEFM为平行四边形，EFDM，由此能证明EF平面PDC法二：取PA中点N，连接NE，NF推导出平面NEF平面PCD，由此能证明EF平面PCD法三：取BC中点G，连接EG，FG，推导出平面GEF平面PCD，由此能证明EF平面PCD法四：以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能证明EF平面P
27、DC（）以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值【解答】 （本小题满分12分）【试题解析】证明：（）证法一：取PC中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB中点，E为DA中点，ABCD为正方形，MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形（3分）EFDM，EF平面PDC，DM平面PDC，EF平面PDC（5分）证法二：取PA中点N，连接NE，NFE是AD中点，N是PA中点，NEDP，又F是PB中点，N是PA中点，NFAB，ABCD，NFCD又NENFN，NE平面NEF，NF平面NEF，DP平面
28、PCD，CD平面PCD，平面NEF平面PCD（3分）又EF平面NEF，EF平面PCD（5分）证法三：取BC中点G，连接EG，FG，在正方形ABCD中，E是AD中点，G是BC中点，GECD，又F是PB中点，G是BC中点，GFPC，又PCCDC，GE平面GEF，GF平面GEF，PC平面PCD，CD平面PCD，平面GEF平面PCD（3分）EF平面GEF，EF平面PCD（5分）证法四：PA平面ABC，且四边形ABCD是正方形，AD，AB，AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，（1分）则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1），（2分）
29、则设平面PDC法向量为，则，即，取（3分）（4分），又EF平面PDC，EF平面PDC（5分）解：（）PA平面ABC，且四边形ABCD是正方形，AD，AB，AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，（6分）则P（1，0，0），D（0，0，1），C（0，1，1），设平面EFC法向量为，则，即，取（8分）则设平面PDC法向量为，则，即，取（10分）（11分）平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
30、思想，是中档题21（12分）设点P为抛物线：y2x外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（）若点P为（1，0），求直线AB的方程；（）若点P为圆（x+2）2+y21上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求的取值范围【分析】（）设直线PA方程为xm1y1，直线PB方程为xm2y1由可得y2m1y+10求出A（1，1）B（1，1）然后求解即可（）设P（x0，y0），则直线PA方程为yk1xk1x0+y0，直线PB方程为yk2xk2x0+y0联立直线与抛物线方程，结合韦达定理转化求解即可【解答】解：（）设直线PA方程为xm1y1，直线PB方程为xm2y1由可得y2m
31、1y+10（3分）因为PA与抛物线相切，所以，取m12，则yA1，xA1即A（1，1）同理可得B（1，1）所以AB：x1（6分）（）设P（x0，y0），则直线PA方程为yk1xk1x0+y0，直线PB方程为yk2xk2x0+y0由可得（8分）因为直线PA与抛物线相切，所以14k1（k1x0+y0）同理可得，所以k1，k2时方程的两根所以，（11分）则.（12分）又因为，则3x01，所以.（15分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）已知极
32、坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：22sin30（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得线段的长【分析】（1）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的普通方程（2）曲线C表示以（0，1）为圆心，2为半径的圆，圆心（0，1）到直线l的距离d1，由此能求出直线l被曲线C截得的线段长【解答】解：（1）直线l的参数方程：（t为参数），直线l的普通方程为，（4分）曲线C的极坐标方程为：22sin30曲线C的普通方程为x2+y22y30，整理得：
33、x2+（y1）24（8分）（2）曲线C表示以（0，1）为圆心，2为半径的圆，圆心（0，1）到直线l的距离d1，（10分）故直线l被曲线C截得的线段长为 （14分）【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，求实数m的取值范围【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，问题转化为关于x的不等式组，解出即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出代数式的最小值，得到关于m的不等式，解出即可【解答】解：（1）f（x）|2x+1|x1|，或或，.（3分）解得：4x或x或无解，综上，不等式的解集是（4，）.（5分）（2）f（x）+|x1|+|2x3|2x+1|+|2x3|2x+1（2x3）|4，当x时等号成立，.（7分）不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，|m1|f（x）+|x1|+|2x3|min，|m1|4，m14或m14，即m3或m5，实数m的取值范围是（，35，+）（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
