1、2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1（5分）（23i）2（）A13+12iB1312iC5+12iD512i2（5分）已知命题p为xR，5x22x+20，则命题p的否定为（）AxR，5x22x+20BxR，5x22x+20CxR，5x22x+20DxR，5x22x+203（5分）曲线yx2与x轴及直线x2所围成的图形的面积为（）ABCD4（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）ABCD5（5分）函数f（x）2cos2x+sin2x的最
2、小正周期为（）ABCD26（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，下列说法正确的是（）Ax1是函数yf（x）的极小值点Bx1是函数yf（x）的极大值点C函数yf（x）在（1，+）是减函数D函数yf（x）在（2，2）上是增函数7（5分）已知直线a，b，平面，则下列结论正确的是（）A若ab，b，则aB若ab，a，b，则C若a，则aD若ab，b，则a8（5分）执行如图的程序框图，则输出的s为（）A100B91C90D899（5分）若不等式，当x（0，2）时恒成立，则实数t的最大值为（）AB2CD10（5分）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围为（）A（2，+）B（，2）C2，+）D（
3、，22，+）11（5分）设函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f（x），且，2f（x）f（x），则f（x）2x+的解集为（）A（2，+）B（，2）C（2，+）D（，2）12（5分）已知椭圆E：的左焦点为F，椭圆E与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF，若AFBF，则E的离心率为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）函数yex的导数y 14（5分）某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为780人、720人、660人、为了解他们的视力是否存在显著差异，用分层抽样法抽取了一个容量为n的样本进行了调查，其中从高二年级抽取了12人，则n为 15
4、（5分）在区间0，1上随机取一个数x，在区间0，2上随机取一个数y，要使x+y1成立的概率为 16（5分）已知抛物线C1：y2x2+4x和C2：y2x2+m有且仅有1条公切线（同时与C1和C2相切的直线称为C1和C2的公切线），则m 三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17（10分）若曲线f（x）x33ax+2在x1处切线方程为3x+y+m0（1）求a，m的值；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最值18（12分）某家庭为了解冬季用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温一定范围内，用电量与气温具
5、有线性相关关系：x（）01234y（度）15121198（1）求出用电量y关于气温x的线性回归方程；（2）在这5天中随机抽取2天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为，）19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2bc）cosAacosC（1）求角A的大小；（2）若a2，且SABC，求b+c的值20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，已知PD平面BCD，E为PC的中点，PDCD2，过点E作EFPB于F，连接DF、BD、DE（1）求证：平面DEF平面PBC；（2）若直线BP与平面ABCD所成角的正
6、切值为，求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值21（12分）在椭圆中，点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率为，且A在直线x+y+20上（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线与椭圆C交于P、Q两点，连接AP、AQ分别交直线x4于点M，N，求证：以MN为直径的圆经过点F22（12分）若函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意的正整数n都有，+2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，
7、有且只有一项符合题目要求）1（5分）（23i）2（）A13+12iB1312iC5+12iD512i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（23i）22212i+（3i）2512i故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）已知命题p为xR，5x22x+20，则命题p的否定为（）AxR，5x22x+20BxR，5x22x+20CxR，5x22x+20DxR，5x22x+20【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p为xR，5x22x+20，则命题p的否定为：xR，5x22x+20故选：C【
8、点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查3（5分）曲线yx2与x轴及直线x2所围成的图形的面积为（）ABCD【分析】由题意知曲线yx2与x轴及直线x2所围成的图形的面积为Sx2dx【解答】解：由题意知曲线yx2与x轴及直线x2所围成的图形的面积为Sx2dxx3|故选：A【点评】本题考查了微积分基本定理，属于简单题4（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）ABCD【分析】根据三视图得出某几何体的直观图：三棱锥为PABC，根据几何体的性质得出PC最长，运用直角三角形判断即可【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，PA3，AB1，AC2，
9、根据几何体的性质得出PC最长，PC，故选：C【点评】本题考查了由三视图运用，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，考查了空间想象能力5（5分）函数f（x）2cos2x+sin2x的最小正周期为（）ABCD2【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再余弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数f（x）2cos2x+sin2x1+cos2x1+cos2x的最小正周期为，故选：B【点评】本题主要考查三角恒等变换、余弦函数的周期性，属于基础题6（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，下列说法正确的是（）Ax1是函数yf（x）的极小值点Bx1是函数yf（x）
10、的极大值点C函数yf（x）在（1，+）是减函数D函数yf（x）在（2，2）上是增函数【分析】根据函数图象，得到f（x）0和f（x）0的解，从而确定函数的单调区间以及极值，然后进行判断即可【解答】解：由导数图象知当x2时，f（x）0，即函数的单调递增区间为（，2，当x2时，f（x）0，函数单调递减，即函数的单调递减区间为（2，+）即当x2时函数f（x）取得极大值，故A，B，C都不正确，正确的是D，故选：D【点评】本题主要考查函数导数与单调性，极值的应用，结合图象判断f（x）0和f（x）0的解是解决本题的关键，比较基础7（5分）已知直线a，b，平面，则下列结论正确的是（）A若ab，b，则aB若ab
11、，a，b，则C若a，则aD若ab，b，则a【分析】根据空间线面位置关系的定义、性质判断或举出反例说明【解答】解：对于A，若a，显然结论不成立，故A错误；对于B，若m，abm，a，b，显然条件成立，结论不成立，故B错误；对于C，若a，则a与没有公共点，故a，故C正确；对于D，若a，显然结论不成立故选：C【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，性质，属于中档题8（5分）执行如图的程序框图，则输出的s为（）A100B91C90D89【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第一次，i1，i4成立，s0+100100，k10，i2，第二次，i2，i4成立，s1001090，k1，i3，第三次，
12、i3，i4成立，s90+191，k，i4，第四次，i4，i4不成立，输出s91，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件利用模拟运算法是解决本题的关键9（5分）若不等式，当x（0，2）时恒成立，则实数t的最大值为（）AB2CD【分析】构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出实数t的最大值【解答】解：设f（x）+，x（0，2），f（x）令f（x）0，解得x，x3（舍去），当0x时，f（x）0，函数单调递减，当x2时，f（x）0，函数单调递减增，f（x）minf（）+，t，故实数t的最大值为，故选：C【点评】本题给出关于x的不等式恒成立，求参数t的取值范围着重考查了利用导数求出函
13、数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题10（5分）已知函数存在极值点，则实数a的取值范围为（）A（2，+）B（，2）C2，+）D（，22，+）【分析】求函数的导数和定义域，函数f（x）存在极值点等价为f（x）0，在（0，+）上有变号根，构造二次函数，结合二次函数的性质进行求解即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）1+，若函数存在极值点，则f（x）0，则（0，+）上 有解，即x2ax+10，则（0，+）上有变号根，设h（x）x2ax+1，则满足，即得a2，即实数a的取值范围是（2，+），故选：A【点评】本题主要考查函数极值和导数的关系，求函数的导数，将条件转化为
14、f（x）0，在（0，+）上有变号根，构造二次函数，利用二次函数的性质进行求解是解决本题的关键11（5分）设函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f（x），且，2f（x）f（x），则f（x）2x+的解集为（）A（2，+）B（，2）C（2，+）D（，2）【分析】构造函数g（x）f2（x）x，利用导数求出，根据导数和函数的单调性即可求出不等式的解集【解答】解：设g（x）f2（x）x，g（x）2f（x）f（x）0，g（x）在R上单调递增，g（2）f2（2）2，g（x）g（2），x2，故选：B【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题12（5分）已知椭圆E：的左焦点为
15、F，椭圆E与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF，若AFBF，则E的离心率为（）ABCD【分析】根据直角三角形的性质可知AB2c，根据锐角三角函数的定义得出AF，BF的长，而AF+BF2a，从而得出a，c的关系，求出离心率【解答】解：设椭圆右焦点为M，连接BM，AM，则四边形AMBF是平行四边形，AF+BFAF+AM2a，AFBF，AB2OF2c，sinFAB，cosFAB，BFABsinFAB，AFABcosFAB，2aAF+BF，即a，e故选：B【点评】本题考查了椭圆的定义，性质，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）函数yex的导数yex【分析】根
16、据复合函数的求导法则计算即可【解答】解：函数yex的导数yex，故答案为：ex【点评】本题考查复合函数的求导法则，属于基础题14（5分）某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为780人、720人、660人、为了解他们的视力是否存在显著差异，用分层抽样法抽取了一个容量为n的样本进行了调查，其中从高二年级抽取了12人，则n为36【分析】由分层抽样的方法，按比例抽样即可得解【解答】解：由分层抽样方法得：，解得n36，故答案为：36【点评】本题考查了分层抽样的方法，属简单题15（5分）在区间0，1上随机取一个数x，在区间0，2上随机取一个数y，要使x+y1成立的概率为【分析】根据几何概型的概率
17、公式计算即可【解答】解：由题意可得在区间0，1上随机取一个数x，在区间0，2上随机取一个数y，所围成的面积为2，其中x+y1成立的面积为，故要使x+y1成立的概率为，故答案为：【点评】本题考查了几何概型的概率问题，属于基础题16（5分）已知抛物线C1：y2x2+4x和C2：y2x2+m有且仅有1条公切线（同时与C1和C2相切的直线称为C1和C2的公切线），则m1【分析】法1：先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使C1和C2有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定法2：抛物线若只有一条公切线，等价为两条抛物线相切，利用判别式0进行求解即可【解答】解：函数y2x2+4x的
18、导数y4x+4，曲线C1在点P（x1，2x12+4x1）的切线方程是：y（2x12+4x1）（4x1+4）（xx1），即y（4x1+4）x2x12 函数y2x2+m的导数y4x，曲线C2在点Q（x2，2x22+m）的切线方程是即y（2x22+m）4x2（xx2）y4x2x+2x22+m如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程，4x1+44x2，即x1+1x2且2x122x22+m消去x2得方程4x12+4x1+2+m0则判别式1644（2+m）0时，即m1，法2：若抛物线和有且仅有1条公切线，则两条抛物线相切，即2x2+4x2x2+m只有一个解，即4x2+4xm0，则判别式16+16
19、m0，得m1，故答案为：1【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，结合抛物线相切求出切线方程或者转化为抛物线相切是解决本题的关键三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程17（10分）若曲线f（x）x33ax+2在x1处切线方程为3x+y+m0（1）求a，m的值；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最值【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率求出a，求出切点坐标代入切线方程即可求m的值；（2）求出函数的导数，求出极值点，求解极值以及函数的端点值，然后求解函数f（x）在区间1，2上的最值【解答】解：（1）曲线f（x）x33ax+2可得：f（x）3x23a，曲线f（x）
20、x33ax+2在x1处切线方程为3x+y+m0可得33a3，解得a2，曲线f（x）x36x+2，x1则y3，（1，3）代入3x+y+m0，解得m0（2）曲线f（x）x36x+2可得：f（x）3x260，解得x，只有x1，2，因为f（1）3，f（2）2，f（）24，所以函数f（x）在区间1，2上的最小值24，最大值2【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力18（12分）某家庭为了解冬季用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温一定范围内，用电量与气温具有线性相关关系：x（）0
21、1234y（度）15121198（1）求出用电量y关于气温x的线性回归方程；（2）在这5天中随机抽取2天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为，）【分析】（1）由已知表格中的数据求得，则回归方程可求；（2）直接利用枚举法取随机事件的概率【解答】解：（1），用电量y关于气温x的线性回归方程为y；（2）这5天中用电量低于10（度）的有2天，分别记为A，B；高于10（度）的有3天，分别记为a，b，c在这5天中随机抽取2天，基本事件总数为（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b
22、，c）共10种其中至少有一天用电量低于10（度）的有7种，则在这5天中随机抽取2天，至少有一天用电量低于10（度）的概率为【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是中档题19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2bc）cosAacosC（1）求角A的大小；（2）若a2，且SABC，求b+c的值【分析】（1）由条件利用正弦定理可得 2sinBcosAsinCcosAsinAcosC，利用两角和的正弦公式化简求得cosA的值，结合A的范围可求A的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc4，由余弦定理即可解得b+c的值【解答】解：
23、（1）在ABC中，（2bc）cosAacosC，由正弦定理可得：2sinBcosAsinCcosAsinAcosC，化简可得 2sinBcosAsin（A+C）sinB，sinB0，得：cosA，A（0，），（2）a2，且SABC，bcsinAbc，解得：bc4，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：4b2+c2bc（b+c）23bc（b+c）212，解得：b+c4【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，已知PD平面BCD，E为PC的中点，PDCD2，过点E作EFPB于F，连
24、接DF、BD、DE（1）求证：平面DEF平面PBC；（2）若直线BP与平面ABCD所成角的正切值为，求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值【分析】（1）证明BC平面PCD得出DEBC，结合DEPC得出DE平面PBC，故而平面DEF平面PBC；（2）计算AD，建立空间坐标系求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小【解答】（1）证明：PD平面BCD，BC平面BCD，PDBC，四边形ABCD是矩形，BCCD，又PDCDD，BC平面PCD，又DE平面PCD，BCDE，PDCD，E是PC的中点，DEPC，又PCBCC，DE平面PBC，DE平面DEF，平面DEF平面PBC（2）解：PD
25、平面ABCD，PBD为直线BP与平面ABCD所成角，tanPBD，BD2，AD4，PB2，PDCD2，E是PC的中点，PC2，PE，由（1）知BC平面PCD，BCPC，又EFPB，RtPEFRtPBC，即，解得PF，PFPB以D为坐标原点，以DA，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），E（0，1，1），B（4，2，0），P（0，0，2），（0，1，1），（0，0，2），（4，2，2），（，），（，），设平面DEF的法向量为（x，y，z），则，即，令z1可得（2，1，1），DP平面ABCD，（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，cos故平面DEF与平面ABCD所成
26、锐二面角的余弦值为【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题21（12分）在椭圆中，点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率为，且A在直线x+y+20上（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线与椭圆C交于P、Q两点，连接AP、AQ分别交直线x4于点M，N，求证：以MN为直径的圆经过点F【分析】（1）由点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，离心率为，且A在直线x+y+20上，列出方程组能求出a，b，c，由此能求出椭圆C的方程（2）求出A（2，0）当直线PQ的斜率不存在时，P（1，），求出M（4，3），N（4，3）F（1，0），从而（3，3），（3，3），0F在以M
27、N为直径的圆上当直线PQ存在斜率时，设PQ方程为yk（x1），P（x1，y1）、Q（x2，y2）由，得（3+4k2）x28k2x+4k2120求出M（4，），同理N（4，）（3，），（3，），由韦达定理推导出9+0，由此能证明F在以MN为直径的圆上【解答】解：（1）在椭圆中，点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，已知离心率为，且A在直线x+y+20上，c1，b，椭圆C的方程为证明：（2）由（1）可得A（2，0）当直线PQ的斜率不存在时，可得P（1，），直线AP方程为y（x+2），令x4，得M（4，3），同理，得N（4，3）F（1，0），（3，3），（3，3），0MFN90，F在以MN为直径的圆上
28、当直线PQ存在斜率时，设PQ方程为yk（x1），P（x1，y1）、Q（x2，y2）由，得（3+4k2）x28k2x+4k2120由题意0，x1+x2，x1x2，直线AP方程为y（x+2），得M（4，），同理，N（4，）（3，），（3，），9+，y1k（x11），y2k（x21），99+990，MFN90，F在以MN为直径的圆上，综上，F在以MN为直径的圆上【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点在圆上的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）若函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围；（
29、3）求证：对任意的正整数n都有，+【分析】（1）求出f（x）并通分、因式分解，发现分子是含参数a的一元二次不等式，所以分类讨论得到不等式的解集，并确定单调性；（2）恒成立问题都是最值问题，先找特殊点，当x0时，ln（x+1）0，所以令x0，从f（0）0中可以得到参数a的大致范围，再根据（1）中所求单调性确定最小值；（3）利用（2）的结论，确定ln（x+1）的不等式关系，再累加得到结果【解答】解：（1）f（x）+xa若a0，则当x（1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；若0a1，则当x（1，a1）或x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；
30、当x（a1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；若a1，则f（x）0恒成立，当且仅当x0时取等号，所以f（x）在（1，+）单调递增；若a1，则当x（1，0）或x（a1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（0，a1）时，f（x）0，f（x）单调递减；（2）f（0）a0a0，所以当x（1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x0时，f（x）取最小值f（0）0；所以a（，（3）当a时，f（x）0对任意x（1，+）恒成立，当且仅当x0时取等号所以对任意的正整数n，所以【点评】本题考查导数的应用，函数的单调性等知识，运用了构造法、裂项求和、分类讨论等方法，属于中档题
