1、2018-2019学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）设复数z满足z1i，则z的共轭复数的虚部为（）A1B1CiDi2（5分）双曲线的渐近线方程是（）AyxByxCy2xDyx3（5分）某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）A12.25%B11.25%C10.25%D9.25%4（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并
2、制作了对照表：气温（）1013181用电量（度）38342464由表中数据得回归直线方程中的2，预测当气温为4时，用电量度数约为（）A64B65C68D705（5分）设p：实数a，b满足a1且b1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）如图所示的程序框图输出的结果是（）A34B55C78D897（5分）下列说法正确的是（）A命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0”B命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题C命题“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题D“x2+2xax在x1，2上
3、恒成立”（x2+2x）min（ax）min在x1，2上恒成立8（5分）若曲线在x1的切线与直线yx垂直，则f（x）的单调递增区间是（）A（0，1）B（0，2）C（1，+）D（2，+）9（5分）设点F和直线l分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，若F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A2BCD10（5分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，且函数在区间（c，c+5）上存在最大值，则ab+c的最大值为（）A11B9C6D411（5分）设A、B是抛物线y24x上的两点，抛物线的准线与x轴交于点N，已知弦AB的中点M的横坐标为3，记直线AB和MN的斜率分别为
4、k1和k2，则的最小值为（）A1BC2D212（5分）设mR，复数z（1+i）（mi）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）mlnx+x，若曲线yf（x）与直线l：y2kx1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）AB（，01C（，02D（，0）（2，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）已知复数zi12i（i是虚数），则复数z的模等于 14（5分）抛物线yx2的焦点坐标是 15（5分）观察下列式子：，根据以上规律，第n个不等式是 16（5分）若函数有且只有一个零点，又点P（3a，1）在动直线m（x1）+n（y1）0上的投影为点M，若点N（3，3），那么
5、|MN|的最小值为 三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为22cos4sin+4，直线l1的极坐标方程为（cossin）3（）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（）设直线l2过点P（1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|PN|18（12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求顶点在原点，准线方程为x4的抛物线的方程19（12分）已知命题p：函数在定义域R上单调
6、递增；命题q：ex+a0在区间0，+）上恒成立（1）如果命题p为真命题，求实数a的值或取值范围；（2）命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围20（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程（）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课
7、程总计150（）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K2，其中na+b+c+d21（12分）椭圆上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且焦距为2，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）x2+axa
8、lnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围（3）若方程xlnxm0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x212018-2019学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）设复数z满足z1i，则z的共轭复数的虚部为（）A1B1CiDi【分析】由已知求出，则答案可求【解答】解：由z1i，得则z的共轭复数的虚部为1故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基
9、本概念，是基础题2（5分）双曲线的渐近线方程是（）AyxByxCy2xDyx【分析】求出双曲线y21的a，b，由双曲线1的渐近线方程为yx，即可得到【解答】解：双曲线y21的a，b1，由双曲线1的渐近线方程为yx，则所求渐近线方程为yx故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题3（5分）某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）A12.25%B11.25%C10.25%D9.25%【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%
10、11.25%，得解【解答】解：由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%11.25%，故选：B【点评】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题4（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）1013181用电量（度）38342464由表中数据得回归直线方程中的2，预测当气温为4时，用电量度数约为（）A64B65C68D70【分析】根据所给的表格求出本组数据的样本中心点，结合样本中心点在线性回归直线上求得a值，从而得出回归直线方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，即可得到结论【解答】解：，样本点
11、中心的坐标为（10，40），代入，得402，得线性回归方程为，取x4，得y68故选：C【点评】本题考查回归直线方程，考查回归分析的初步应用，明确线性回归直线方程恒过样本点的中心是关键，是基础题5（5分）设p：实数a，b满足a1且b1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当a1且b1时，ab1，a+b2成立，即充分性成立，反之当a4，b1时，满足足但a1且b1不成立，即必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判
12、断，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键6（5分）如图所示的程序框图输出的结果是（）A34B55C78D89【分析】按照程序流程依次运算，当z55是不满足判断框中条件，退出循环此时z55【解答】解：x1，y1，z2，是；x1，y2，z3，是；x2，y3，z5，是；x3，y5，z8，是，x5，y8，z13，是；x8，y13，z21，是；x13，y21，z34，是；x21，y34，z55，否；z55故选：B【点评】本题考查了程序框图，属基础题7（5分）下列说法正确的是（）A命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0”B命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题C
13、命题“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题D“x2+2xax在x1，2上恒成立”（x2+2x）min（ax）min在x1，2上恒成立【分析】A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、写出原命题的逆命题再判定真假；D、“x2+2xax在x1，2上恒成立”转化为“（）mina在x1，2上恒成立”可判定真假【解答】解：A、“xR，ex0”的否定是“x0R，ex0”；故命题A错误；B、x2且y1时，x+y3是真命题；若x+y3，则x2或y1”是真命题，故命题B正确；C、“若a1，则函数f（x）ax2+2x1
14、只有一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）ax2+2x1只有一个零点时，则a1”，f（x）有一个零点时，a1或a0；故命题C错误；D、“x2+2xax在x1，2上恒成立”“（）mina在x1，2上恒成立”，故命题D错误正确的是B故选：B【点评】本题通过命题真假的判定考查了简单的逻辑关系的应用，是中档题8（5分）若曲线在x1的切线与直线yx垂直，则f（x）的单调递增区间是（）A（0，1）B（0，2）C（1，+）D（2，+）【分析】曲线切线斜率即为在该点处的导数值，以此求出a的取值，带入原函数中，通过求导，判断函数的单调增区间【解答】解：，则f（1）a+1，根据题意可得，（a+1）11，解得a2，
15、代入导函数，得解得x2，x（2，+），f（x）0，f（x）的单调增区间为（2，+），故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求函数在某一点的切线9（5分）设点F和直线l分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，若F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A2BCD【分析】取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，l与渐近线的交点为A，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值【解答】解：如图取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，直线l与线段PF的
16、交点为A，因为点P与F关于直线l对称，则lPF，且A为PF的中点，所以|AF|b，|OA|a，|PE|2|AO|2a，根据双曲线的定义，有|PF|PE|2a，则2b2a2a，即b2a，所以e，故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题10（5分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，且函数在区间（c，c+5）上存在最大值，则ab+c的最大值为（）A11B9C6D4【分析】利用函数f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，即则f（1）0，f（1）0，解得啊a、b，再利用函数的导数判断单调性
17、，在区间（c，c+5）上存在最大值可得7c4，从而可得ab+c的最大值【解答】解：f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，则f（1）0，f（1）0，因为：f（x）3x2+6ax+b，所以：1+3ab+a20，且36a+b0；解得：a1或a2，当a1时，b3，此时f（x）3x2+6x+33（x+1）20；所以函数f（x）单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；当a2时，b9，此时，f（x）3x2+6x+93（x+1）（x+3）；x1是函数的极值点，符合题意，所以：ab7；又因为函数在区间（c，c+5）上存在最大值，因为g（x）x2+2xx（x+2）；易得函数在（，2）和（0，+）上单调递增
18、，在（2，0）上单调递减；则：g（2）极大；g（1）；所以有：2c+51，解得：7c4，则：ab+c的最大值为：7411；故选：A【点评】本题考查了导数的综合应用函数的极值问题，属于中档题11（5分）设A、B是抛物线y24x上的两点，抛物线的准线与x轴交于点N，已知弦AB的中点M的横坐标为3，记直线AB和MN的斜率分别为k1和k2，则的最小值为（）A1BC2D2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（3，t），N（1，0），运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得k1k2，再由基本不等式可得所求最小值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（3，t），N（1，0），
19、可得y124x1，y224x2，相减可得（y1y2）（y1+y2）4（x1x2），可得k1，k2，即为k1k2，则2|k1k2|1，当且仅当|k1|k2|时取得等号，即的最小值为1故选：A【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题12（5分）设mR，复数z（1+i）（mi）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）mlnx+x，若曲线yf（x）与直线l：y2kx1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）AB（，01C（，02D（，0）（2，+）【分析】由已知求得m，得到f（x），利用导数研究单调性及过（0，1
20、）的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数k的取值范围【解答】解：z（1+i）（mi）（m+1）+（m1）i在复平面内对应的点位于实轴上，m10，即m1则f（x）lnx+x，f（x），又当x0时，f（x），作出函数f（x）lnx+x的图象如图：直线l：y2kx1过（0，1），设切点为（x0，lnx0+x0），则在切点处的切线方程为ylnx0x0（）（xx0），把（0，1）代入，可得1lnx0x01x0，即lnx00，即x01则2k2，k1而f（x）1（x0），由图可知，当2k（，1，即k（，时，曲线yf（x）与直线l：y2kx1有且只有一个公共点，综上可得，当k（，1时，曲线yf（x）与直线
21、l：y2kx1有且只有一个公共点故选：A【点评】本题考查复数的基本概念，考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）已知复数zi12i（i是虚数），则复数z的模等于【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由zi12i，得，则复数z的模等于故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题14（5分）抛物线yx2的焦点坐标是（0，1）【分析】抛物线方程即 x24y，从而可得 p2，1，由此求得抛物线焦点坐标【解答】解：抛物线 即 x24y，p2，1，故
22、焦点坐标是（0，1），故答案为 （0，1）【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题15（5分）观察下列式子：，根据以上规律，第n个不等式是【分析】根据所给不等式，即可得出结论【解答】解：根据所给不等式可得故答案为：【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题16（5分）若函数有且只有一个零点，又点P（3a，1）在动直线m（x1）+n（y1）0上的投影为点M，若点N（3，3），那么|MN|的最小值为【分析】可得f（0）0，a1，P（3，1）易得M点在以PA为直径的圆上，半径R2，圆心C（1，1）那么|MN|的最小值为|CN|R即可【解答】解：函数有
23、且只有一个零点，且函数为偶函数，f（0）0，a1，P（3，1）易得动直线m（x1）+n（y1）0过定点A（1，1）PMAM，M点在以PA为直径的圆上，半径R2，圆心C（1，1）那么|MN|的最小值为|CN|R故答案为：22【点评】本题考查了函数的性质，动点轨迹，以及圆的性质，属于中档题三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为22cos4sin+4，直线l1的极坐标方程为（cossin）3（）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（）设直线l2过点P（1，0）与曲线C
24、交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|PN|【分析】（）直接利用xcos，ysin，2x2+y2即可化曲线C与直线l1的极坐标方程为直角坐标方程；（）直线l2的参数方程（t为参数），将其代入曲线C的普通方程，利用根与系数的关系可得M的参数为，设N点的参数为t3，把代入xy30求得则|PM|PN|可求【解答】解：（）曲线C：22cos4sin+4的直角坐标方程为：x2+y22x4y+4，即（x1）2+（y+2）29，l1：（cossin）3的直角坐标方程为：xy30；（）直线l2的参数方程（t为参数），将其代入曲线C的普通方程并整理得t24（cossin）t10，设
25、A，B两点的参数分别为t1，t2，则t1+t24（cossin）M为AB的中点，故点M的参数为，设N点的参数为t3，把代入xy30，整理得【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，考查计算能力，是中档题18（12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求顶点在原点，准线方程为x4的抛物线的方程【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，求出离心率，然后求解双曲线的a，b，得到双曲线方程（2）利用已知条件求解抛物线的标准方程即可【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（5，0），（5，0），又双曲线离心率所以双曲线a
26、4，c5，故双曲线的方程为：（2）由题意，抛物线的焦点在x轴上，开口向左，所以抛物线方程为：y216x【点评】本题考查椭圆以及双曲线抛物线的简单性质的应用，标准方程的求法，考查计算能力19（12分）已知命题p：函数在定义域R上单调递增；命题q：ex+a0在区间0，+）上恒成立（1）如果命题p为真命题，求实数a的值或取值范围；（2）命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可（2）求出两个命题是真命题时的a的范围，利用复合命题的真假转化求解即可【解答】解：（1）f（x）x2+2ax0对x（，+）恒成立，4a20a0
27、（2）ex+a0在区间0，+）上恒成立，即aex在区间0，+）上恒成立，命题q为真命题：即a1，由命题“pq”为真命题，“pq”为假命题知p，q一真一假，若p真q假，a若p假q真，则（1，0）（0，+），综上所述，（1，0）（0，+）【点评】本题考查函数的导数的应用，真假的命题的判断与应用，是基本知识的考查20（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程（）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表
28、，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（）某班有5名优等生，其中有2名参加了大学先修课程的学习，在这5名优等生中任选3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率参考数据：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：K2，其中na+b+c+d【分析】（）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（
29、）根据题意，填写列联表如下； 优等生非优等生总计学习大学先修课程50200250没有学习大学先修课程1009001000总计15011001250由列联表计算K218.9396.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系；（）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程学习的两名学为A、B，没参加大学先修课程学习的3名学生为c、d、e，在这5学生中任选3人，基本事件是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10种，其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有cde共1种，则这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率为P1【点
30、评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题21（12分）椭圆上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且焦距为2，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）设椭圆的标准方程为，（ab0），焦距为2c，故2c2c1，利用离心率求出a，b，得到椭圆方程（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），F为PQM的垂心，设直线PQ的方程为yx+m，代入到得3x2+4mx+2m220，通过0，求出m的范围，利用韦达定理，结合垂心，向量的数量积为
31、0，转化求解即可【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，（ab0），焦距为2c，故2c2c1，又，a2b2+c2，a22，b21，故椭圆的标准方程为（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），F为PQM的垂心，MFPQ，MPFQM（0，1），F（1，0），kMF1，kPQ1，设直线PQ的方程为yx+m，代入到得3x2+4mx+2m220，（4m）212（2m22）0，解得且m1，y1），y21），x2x1x2+y1y1y20，即由根与系数的关系，得3m2+m40解得或m1（舍去）故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，且直线l的方程为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，
32、向量数量积的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知函数f（x）x2+axalnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围（3）若方程xlnxm0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x21【分析】（1）通过求导来判断极值点，以此求出a的值；（2）运用反证法，通过假设函数单调来求出一个a的范围，则补集即为所求；（3）结合图象与导数进行分析，求出答案【解答】（本小题满分12分）（1）由于函数函数f（x）在上递增，在上递减，由单调性知，x是函数的极大值点，无极小值点所以（2分）f（x）2x+a1+a2a
33、0a1经验证成立 （4分）（2）假设函数f（x）在定义域上单调，则有f（x）0或f（x）0在（0，+）上恒成立f（x）2x+a故只有使f（x）0在（0，+）上恒成立即2x2+axa0axa2x2在（0，+）上恒成立令y1axa，y22x2由图形（数形结合）可得：8a0（6分）故：函数f（x）在定义域上不单调时a8或a0（8分）（3）令h（x）xlnx（x0），g（x）m，h（x）1当x（0，1）时，h（x）10，h（x）xlnx（x0）单调递减；当x（1，+）时，h（x）10，h（x）xlnx（x0）单调递增；故h（x）在x1处取得最小值为h（1）1（9分）又当x0，h（x）+；x+，h（x）+，由图象知：m（1，+）（10分）不妨设x1x2，则有0x11x2，01，x1x21x1h（x1）h（x2）m，令p（x）x2lnx（x1），p（x）1+0p（x）在（1，+）上单调递增，故p（x）p（1）0即x20，x1x21（12分）【点评】本题综合考查利用导数研究函数的单调性，有很强的综合性，难度较大
