1、2018-2019学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi3+i，则z的虚部为（）A1B3iC1D32（5分）已知集合，Nx|x6，则MN（）AB（0，6）C0，6）D3，6）3（5分）三个数，之间的大小关系是（）AbacBabcCacbDbca4（5分）函数f（x）log3x的零点所在的一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5（5分）若直线ykx+2和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是（）A2，+）B2，3）（3，
2、+）C2，3）D（3，+）6（5分）“k1”是“函数f（x）kxlnx在（1，+）单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知f（x）x2+2xf（1），则f（3）等于（）A4B2C1D28（5分）曲线f（x）ex（x2x1）在点（0，f（0）处的切线方程是（）Ax+y+10Bxy+10C2xy+10D2x+y+109（5分）直线yx+1被椭圆x2+4y28截得的弦长是（）ABCD10（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x），g（x）分别是f（x），g（x）的导数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，
3、且g（6）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（6，0）（6，+）B（，6）（0，6）C（6，0）（0，6）D（，6）（6，+）11（5分）椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）ABCD12（5分）已知函数在x1时取得极大值，则a的取值范围是（）A0，+）B（e，0）C（，0）D（，e）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）当aR时，有（1i）（a+i）R，则a 14（5分）若函数为奇函数，则f（1） 15（5分）若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx
4、2的最小距离为 16（5分）双曲线C：的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），过F1斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点P、Q，若QPQF2，则该双曲线的离心率是 三.解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知命题p：方程+1表示焦点在x轴上的椭圆：命题q：双曲线1，且双曲线的实轴长大于虚轴长，若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求m的取值范围18（12分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几
5、何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是几何题代数题合计男同学22830女同学合计（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？参考数据和公式：P（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中na+b+c+d19（12分）设函数f（x）x34x2+4x1（1）求该函数的单调区间；（2）求该函数在1，3上的最小值20（12分）已知F是抛物线C：y22px（p0
6、）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|2（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由21（12分）已知椭圆E：的左焦点F1，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且|PF1|的最小值为（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点F1，与椭圆交于A、B两点，且OAB的面积为，求直线l的方程22（12分）已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）22018-2019学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解
7、析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi3+i，则z的虚部为（）A1B3iC1D3【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由zi3+i，得z，z的虚部为3故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）已知集合，Nx|x6，则MN（）AB（0，6）C0，6）D3，6）【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出运算结果【解答】解：集合y|y00，+），Nx|x6（，6），则MN0，6）故选：C【点评】本题考查了集合的化
8、简与运算问题，是基础题3（5分）三个数，之间的大小关系是（）AbacBabcCacbDbca【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：三个数（0，1），0，1bac故选：A【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）函数f（x）log3x的零点所在的一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】确定函数的定义域为（0，+）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论【解答】解：函数的定义域为（0，+）易知函数在（0，+）上单调递减，f（2）log320，f（3）log330，f（x）log3x的零点所在的一个
9、区间（2，3），故选：C【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题5（5分）若直线ykx+2和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是（）A2，+）B2，3）（3，+）C2，3）D（3，+）【分析】要使直线ykx20恒过点（0，2），需点（0，2）在椭圆上或椭圆内，进而求得b的范围【解答】解：直线ykx+2即直线ykx20恒过点（0，2），仅当点（0，2）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，2）在y轴上，所以，b2且b3，故b的范围是2，3）（3，+），故选：B【点评】本题主要考查了椭圆的性质，考查分析问题解决问题的能力，属基础题6（5分）“k1”是“函数f（x
10、）kxlnx在（1，+）单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出导函数f（x），由于函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0在区间（1，+）上恒成立，求出k的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断【解答】解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区间（1，+）上恒成立k，而y在区间（1，+）上单调递减，k1故k1”是“函数f（x）kxlnx在（1，+）单调递增充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，以及充分必要条件，属于中档题7（5分）
11、已知f（x）x2+2xf（1），则f（3）等于（）A4B2C1D2【分析】对f（x）求导，令x1，求出f（1），然后求出f（3）即可【解答】解：f（x）x2+2xf（1），f（x）2x+2f（1），f（1）2+2f（1），f（1）2，f（3）642故选：D【点评】本题考查了导数的运算性质，关键是理解f（1）是一个数，属基础题8（5分）曲线f（x）ex（x2x1）在点（0，f（0）处的切线方程是（）Ax+y+10Bxy+10C2xy+10D2x+y+10【分析】求出原函数的导函数，得到f（1）的值，再求出f（1），然后直接利用直线方程的点斜式得切线方程；【解答】解：f（x）ex（x2x1），f（
12、x）ex（x2+x2），f（0）e0（02）2，又f（0）1，曲线曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为：y+12（x0），即2x+y+10；故选：D【点评】本题考查了导数得几何意义，切线方程的求法，属于中档题9（5分）直线yx+1被椭圆x2+4y28截得的弦长是（）ABCD【分析】联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解【解答】解：联立，得5x2+8x40设直线被椭圆所截线段的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，则|AB|故选：A【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，是基础题10（5分）设f（x），g
13、（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x），g（x）分别是f（x），g（x）的导数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（6）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（6，0）（6，+）B（，6）（0，6）C（6，0）（0，6）D（，6）（6，+）【分析】先根据f（x）g（x）+f（x）g（x）0可确定f（x）g（x）0，进而可得到f（x）g（x）在x0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x0时也是增函数，最后根据g（6）0可求得答案【解答】解：因 f（x）g（x）+f（x）g（x）0，即f（x）g（x）0故f（x）g（x）在x0时递增
14、，又f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x0时也是增函数g（6）0，f（6）g（6）0，所以f（x）g（x）0的解集为：x6或0x6，故选：B【点评】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习11（5分）椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆的左右焦点分别是F
15、1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2ac）2+c24c2，可得2a22acc2，所以e2+2e20，e（0，1），解得e故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力12（5分）已知函数在x1时取得极大值，则a的取值范围是（）A0，+）B（e，0）C（，0）D（，e）【分析】对已知函数求导，然后讨论a0和a0两种情况，分别求极值，最后汇总即可【解答】解：对已知函数求导得f（x）e2x+（ae）exae（ex+a）（exe），当a0时，若x1，则f（x）0；若x1，则f（x）0，因此f（x）在x1处取得极小
16、值，不符合题意当a0时，令f（x）0，得x1或xln（a），为使f（x）在x1处取得极大值，则ln（a）1，即ae故选：D【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，中档题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）当aR时，有（1i）（a+i）R，则a1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解【解答】解：（1i）（a+i）（a+1）+（1a）iR，1a0，即a1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14（5分）若函数为奇函数，则f（1）【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（x）f（x），即，分析可得a的值，即可得函
17、数的解析式，将x1代入解析式，即可得答案【解答】解：根据题意，函数为奇函数，则f（x）f（x），即，分析可得：a，则f（x），则f（1），故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质的应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题15（5分）若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线yx2的距离即为所求【解答】解：点P是曲线yx2lnx上任意一点，当过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小直线y
18、x2的斜率等于1，令yx2lnx的导数 y2x1，x1，或 x（舍去），故曲线yx2lnx上和直线yx2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线yx2的距离等于，故点P到直线yx2的最小距离为，故答案为【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想16（5分）双曲线C：的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），过F1斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点P、Q，若QPQF2，则该双曲线的离心率是【分析】求出过点F1且斜率为的直线方程，求出A，B坐标，得到中点坐标，然后利用|F2A|F2B|，利用余弦定理列出关系式求解双曲线的离
19、心率即可【解答】解：双曲线C：的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为的直线为：y（x+c），QPQF2，|PF1|2a，|PF2|4a，|F1F2|2c，PF1F2，可得：16a24a2+4c222a2ccos，解得2ba，所以e2e30，e1，可得e故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用没看出转化思想以及计算能力数形结合的应用三.解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知命题p：方程+1表示焦点在x轴上的椭圆：命题q：双曲线1，且双曲线的实轴长大于虚轴长，若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求m的取值范
20、围【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：若p真，则m6m0，解得：3m6，若q真，则：0m5，pq为真命题，pq为假命题p，q中有且只有一个为真命题，即p，q必一真一假若p真q假，则，即5m6；若p假q真，则，即0m3；实数m的取值范围为：（0，35，6）【点评】本题考查了椭圆和双曲线的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题18（12分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道
21、，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是几何题代数题合计男同学22830女同学合计（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？参考数据和公式：P（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中na+b+c+d【分析】（1）由题意计算女生中选几何题的人数，补全列联表即可；（2）由列联表计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）由已知女生共20人，所以女生中选几何题的有（人
22、），故表格补全如下：几何题代数题合计男同学22830女同学81220合计302050（2）由列联表知，故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题19（12分）设函数f（x）x34x2+4x1（1）求该函数的单调区间；（2）求该函数在1，3上的最小值【分析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间，（2）根据函数的单调性即可求出闭区间上的最值【解答】解：（1）f（x）3x28x+4（3x2）（x2），f（x）0，解得x或x2，f（x）0，解得x2，f（x）的递增区间为，递减区间为（2）由（1）的单调性知，f（x）在
23、1，3上的最小值只可能在x1或x2处取，f（1）10，f（2）1，f（x）在1，3上的最小值为f（1）10【点评】本题考查了导数和函数的单调性和闭区间上的最值问题，考查了运算求解能力，属于基础题20（12分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|2（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由【分析】（1）利用抛物线的定义求出p，得到抛物线方程（2）设AB的方程为：xmy+n，代入y24x有y24my4n0，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过
24、韦达定理以及向量的数量积，转化求解直线系方程，推出直线恒过点【解答】解：（1）由抛物线的定义知|PF|1+2，p2，抛物线C的方程为：y24x（2）设AB的方程为：xmy+n，代入y24x有y24my4n0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y24n，x1x2，x1x2+y1y2n24n4，n2，AB的方程为：xmy+2，恒过点N（2，0）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的方程以及简单性质的应用，考查计算能力21（12分）已知椭圆E：的左焦点F1，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且|PF1|的最小值为（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点F1，与椭
25、圆交于A、B两点，且OAB的面积为，求直线l的方程【分析】（1）利用离心率为，以及|PF1|的最小值为解得a，b然后求解椭圆方程（2）设AB的方程为：xmy1，代入利用韦达定理以及弦长公式，结合O到AB的距离求解三角形的面积，推出m，得到直线方程【解答】解：（1）椭圆E：的左焦点F1，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且|PF1|的最小值为可得，解得a2，c1，则b1，椭圆E的方程：；（2）因F1（1，0），AB与x轴不重合，故设AB的方程为：xmy1，代入得：（m2+2）y22my10，其0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，又O到AB的距离，解得m1，l的方程为：x+y+10
26、或xy+10【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知函数f（x）lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）2【分析】（1）题干求导可知f（x）（x0），分a0、a0、a0三种情况讨论f（x）与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知f（x）maxf（）1ln2+ln（），进而转化可知问题转化为证明：当t0时t+lnt1+ln2进而令g（t）t+lnt，利用导数求出yg（t）的最大值即可【解答】（1）解：因为f（x）lnx+ax2+（2a+1）x，求导f（x）+2ax+（2a+1），（
27、x0），当a0时，f（x）+10恒成立，此时yf（x）在（0，+）上单调递增；当a0，由于x0，所以（2ax+1）（x+1）0恒成立，此时yf（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0，解得：x因为当x（0，）f（x）0、当x（，+）f（x）0，所以yf（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减综上可知：当a0时f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当a0时f（x）在（0，）上单调递增、在（，+）上单调递减，所以当x时函数yf（x）取最大值f（x）maxf（）1ln2+ln（）从而要证f（x）2，即证f（）2，即证1ln2+ln（）2，即证（）+ln（）1+ln2令t，则t0，问题转化为证明：t+lnt1+ln2（*） 令g（t）t+lnt，则g（t）+，令g（t）0可知t2，则当0t2时g（t）0，当t2时g（t）0，所以yg（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+）上单调递减，即g（t）g（2）2+ln21+ln2，即（*）式成立，所以当a0时，f（x）2成立【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题
