1、2018-2019学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A随机抽样B分层抽样C系统抽样D以上都是2（5分）在复平面内，复数6+5i，2+3i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A4+8iB8+2iC4+iD2+4i3（5分）从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A18B24C30
2、D364（5分）设i为虚数单位，则（xi）6的展开式中含x4的项为（）A15x4B15x4C20ix4D20ix45（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）ABCD6（5分）曲线f（x）x3x+3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）和（1，3）D（1，3）7（5分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x0，则一开始输入的x的值为（）ABCD8（5分）已知的分布列为101p设2+3，则E（）
3、的值为（）A4BCD19（5分）在区间0，1上任取两个实数a，b，则函数f（x）x2+ax+b2无零点的概率为（）ABCD10（5分）根据如下样本数据，得到回归方程bx+a，则（）x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b011（5分）若函数f（x）x3tx2+3x在区间1，4上单调递减，则实数t的取值范围是（）A（，B（，3C，+）D3，+）12（5分）已知函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，1）D（0，+）二、填空题：本大题共4小题；毎小题5分，共20分13（5分）用简单随机抽
4、样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为 14（5分）已知复数z满足（1+2i）z4+3i，则|z| 15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为 16（5分）若曲线C1：yax2（a0）与曲线C2：yex在（0，+）上存在公共点，则a的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）已知函数f（x）x3+（1a）x2a（a+2）x+b（a，bR）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线yf（x）存
5、在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围18（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议参考公式：方差公式：，其中为样本平均数，19（12分）已知函数，（1）求f（x）在区间（
6、，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值20（12分）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起，D变为D，且平面DAE平面ABCE（）求证：ADEB；（）求二面角ABDE的大小21（12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为0，10，分为五个级别，T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵早高峰时段（T3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右
7、图（）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望22（12分）已知函数f（x）（ax1）ex（x0，aR）（e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a1时，f（x）kx2恒成立，求整数k的最大值2018-2019学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
8、是符合题目要求的.1（5分）老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A随机抽样B分层抽样C系统抽样D以上都是【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法【解答】解：学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选：C【点评】本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即
9、将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样2（5分）在复平面内，复数6+5i，2+3i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A4+8iB8+2iC4+iD2+4i【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求【解答】解：因为复数6+5i，2+3i对应的点分别为A（6，5），B（2，3）且C为线段AB的中点，所以C（2，4）则点C对应的复数是2+4i故选：D【点评】本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A18B24C30D
10、36【分析】根据题意，分2种情况讨论：，选出的3人为2男1女，选出的3人为1男2女，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：，选出的3人为2男1女，有C42C3118种选法；，选出的3人为1男2女，有C41C3212种选法；则男女生都有的选法有18+1230种；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，属于基础题4（5分）设i为虚数单位，则（xi）6的展开式中含x4的项为（）A15x4B15x4C20ix4D20ix4【分析】在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项【解答】解：（xi）6的展开式的通项公式为Tr+1
11、x6r（i）r，令6r4，求得r2，故展开式中含x4的项为（i）2x415x4，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题5（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）ABCD【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6636事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，
12、3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是，故选：B【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点6（5分）曲线f（x）x3x+3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）和（1，3）D（1，3）【分析】设P的坐标为（m，n），则nm3m+3，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直
13、线平行的条件：斜率相等，可得m的方程，求得m的值，即可得到所求P的坐标【解答】解：设P的坐标为（m，n），则nm3m+3，f（x）x3x+3的导数为f（x）3x21，在点P处的切线斜率为3m21，由切线平行于直线y2x1，可得3m212，解得m1，即有P（1，3）或（1，3），故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题7（5分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图
14、表达如图所示，即最终输出的x0，则一开始输入的x的值为（）ABCD【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可【解答】解：第一次输入xx，i1第二次输入x2x1，i2，第三次输入x2（2x1）14x3，i3，第四次输入x2（4x3）18x7，i43，第五次输入x2（8x7）116x15，i54，输出16x150，解得：x，故选：C【点评】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案8（5分）已知的分布列为101p设2+3，则E（）的值为（）
15、A4BCD1【分析】求出的期望，然后利用2+3，求解E（）即可【解答】解：由题意可知E（）1+0+12+3，所以E（）E（2+3）2E（）+3+3故选：B【点评】本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系写出的分布列，再由分布列求出期望9（5分）在区间0，1上任取两个实数a，b，则函数f（x）x2+ax+b2无零点的概率为（）ABCD【分析】函数f（x）x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论【解答】解：a，b是区间0，1上的两个数，a，b对应区域面积为111若函数f（x）x2+ax+
16、b2无零点，则a24b20，对应的区域为直线a2b0的上方，面积为1，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键10（5分）根据如下样本数据，得到回归方程bx+a，则（）x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a0故选：B【点评】本题考查回归方程的
17、应用，基本知识的考查11（5分）若函数f（x）x3tx2+3x在区间1，4上单调递减，则实数t的取值范围是（）A（，B（，3C，+）D3，+）【分析】由题意可得f（x）0即3x22tx+30在1，4上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集【解答】解：函数f（x）x3tx2+3x，f（x）3x22tx+3，若函数f（x）x3tx2+3x在区间1，4上单调递减，则f（x）0即3x22tx+30在1，4上恒成立，t（x+）在1，4上恒成立，令y（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在1，4为增函数，当x4时，函数取最大值，t，即实数t的取值范围是，+），故选：C【点评】本题主要考查函数的单调
18、性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题12（5分）已知函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，1）D（0，+）【分析】先求导函数，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）lnx2ax+1有两个零点，等价于函数ylnx与y2ax1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）x（lnxax），则f（x）lnxax+x（a）lnx2ax+1，令f（x）lnx2ax+10得lnx2ax1，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）lnx2ax+1有两个零点
19、，等价于函数ylnx与y2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a时，直线y2ax1与ylnx的图象相切，由图可知，当0a时，ylnx与y2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）简解：函数f（x）x（lnxax），则f（x）lnxax+x（a）lnx2ax+1，令f（x）lnx2ax+10得lnx2ax1，可得2a有两个不同的解，设g（x），则g（x），当x1时，g（x）递减，0x1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出yg（x）的图象，可得02a1，即0a，故选：B【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方
20、法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷二、填空题：本大题共4小题；毎小题5分，共20分13（5分）用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为【分析】根据题意，由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m被抽到的概率P，化简即可得答案【解答】解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，若在含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率P；故答案为：【点评】本题考查古典概型的计算，涉及随机抽样的性质，属于基础题14（5
21、分）已知复数z满足（1+2i）z4+3i，则|z|【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解【解答】解：（1+2i）z4+3i，z，则|z|故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题15（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为【分析】将三棱锥D1EDF选择D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化VD1EDFVFD1ED后体积易求【解答】解：将三棱锥D1EDF选择D1ED为底面，F为顶点，则，其，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以1S故答案为：【点评】本题考查了三棱柱体积的
22、计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略16（5分）若曲线C1：yax2（a0）与曲线C2：yex在（0，+）上存在公共点，则a的取值范围为，+）【分析】由题意可得，ax2ex有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围【解答】解：根据题意，函数yax2（a0）与函数yex在（0，+）上有公共点，令ax2ex得：，设则，由f（x）0得：x2，当0x2时，f（x）0，函数在区间（0，2）上是减函数，当x2时，f（x）0，函数在区间（2，+）上是增函数，所以当x2时，函数在（0，+）上有最小值，所以故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考
23、查函数方程的转化思想的运用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）已知函数f（x）x3+（1a）x2a（a+2）x+b（a，bR）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线yf（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围【分析】（1）求出导函数，利用函数的奇偶性求出a即可（2）求出函数的导数，利用曲线yf（x）存在两条垂直于y轴的切线，通过0求解即可【解答】解：（1）：f（x）3x2+2（1a）xa（a+2），由题因为f（x）为偶函数，2（1a）0，即a1（2）曲线yf（x）存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程
24、f（x）3x2+2（1a）xa（a+2）有两个不相等的实数根，4（1a）2+12a（a+2）0，即4a2+4a+10，a的取值范围为（）（）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力18（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少
25、？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议参考公式：方差公式：，其中为样本平均数，【分析】（1）根据题意，由数据计算数学、物理的平均数、方差，进而分析可得答案；（2）根据题意，求出线性回归方程，据此分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，由表中的数据可得：100+100，100+100，则有，从而，故物理成绩更稳定；（2）由于x与y之间具有线性相关关系，则0.5，则1000.510050，则线性回归方程为0.5x+50，当y115时，x130；建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高【点评】本题考查线性回归方程的计算，涉
26、及数据的平均数、方差的计算，属于基础题19（12分）已知函数，（1）求f（x）在区间（，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值【分析】（1）当x1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（，1）上的极小值和极大值点；（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值【解答】解：（1）当x1时，f（x）3x2+2xx（3x2），令f（x）0，得x0或x当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表： x （，0） 0（0，） （，1） f（x） 0+ 0 f（x） 极小值 极大值 当x0时，函数f（x）
27、取得极小值f（0）0，函数f（x）取得极大值点为x（2）当1x1时，f（x）x3+x2，由（1）知，函数f（x）在1，0和，1）上单调递减，在0，上单调递增，f（x）在1，1）上的最大值为2当1xe时，f（x）alnx当a0时，f（x）在1，e，上单调递减，f（x）maxa综上所述，当a2时，f（x）在1，e上的最大值为a；当a2时，f（x）在1，e上的最大值为2【点评】本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题20（12分）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起，D变为D，且平面DAE平面ABCE（）
28、求证：ADEB；（）求二面角ABDE的大小【分析】（）推导出AEEB，取AE的中点M，连结MD，则MDBE，从而EB平面ADE，由此能证明ADEB；（）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABDE的大小【解答】证明：（），AB4，AB2AE2+BE2，AEEB，取AE的中点M，连结MD，则ADDE2MDAE，平面DAE平面ABCE，MD平面ABCE，MDBE，从而EB平面ADE，ADEB；解：（）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（4，2，0）、C（0，0，0
29、）、B（0，2，0）、，E（2，0，0），从而（4，0，0），设为平面ABD的法向量，则，取z1，得设为平面BDE的法向量，则，取x1，得因此，有，即平面ABD平面BDE，故二面角ABDE的大小为90【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为0，10，分为五个级别，T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵早高峰时段（T3），从某市交通指挥中心随
30、机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图（）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望【分析】（）利用（0.2+0.16）150即可得出这50路段为中度拥堵的个数（）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）0.1，事件B 至少一个路段严重拥堵”，则P（1P（A）3P（B）1P（）0.271，可得三个路段至少有一个是严重拥堵的概率（III）利用
31、频率分布直方图即可得出分布列，进而得出数学期望【解答】解：（）（0.2+0.16）15018，这50路段为中度拥堵的有18个（）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）0.1，事件B 至少一个路段严重拥堵”，则P（1P（A）30.729P（B）1P（）0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）300.1+360.44+420.36+600.139.96此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟【点评】本题考查了频率分布直方图的应用、互斥事件的概率计算公式、数学期望，考
32、查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）（ax1）ex（x0，aR）（e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a1时，f（x）kx2恒成立，求整数k的最大值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）方法一、令g（x）（x1）exkx+2（x0），通过讨论k的范围，求出g（x）的最小值，从而确定k的最大值；方法二、分离参数k，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出k的最大值即可【解答】解：（1）f（x）ax（1a）ex（x0，aR），当a1时，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增；当0a1时，f（x）在（0，）上递减
33、，在（，+）上递增；当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上递减（2）依题意得（x1）exkx2对于x0恒成立，方法一、令g（x）（x1）exkx+2（x0），则g（x）xexk（x0），当k0时，f（x）在（0，+）上递增，且g（0）10，符合题意；当k0时，易知x0时，g（x）单调递增则存在x00，使得，且g（x）在（0，x0上递减，在x0，+）上递增，由得，0k2，又kZ，整数k的最大值为1另一方面，k1时，g（1）e10x0（，1），（1，2），k1时成立方法二、恒成立，令，则，令t（x）（x2x+1）ex2（x0），则t（x）x（x+1）ex0，t（x）在（0，+）上递增，又t（1）0，存在x0（，1），使得，且h（x）在在（0，x0上递减，在x0，+）上递增，又x0（，1），（1，），h（x0）（，2），k2，又kZ，整数k的最大值为1【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，是一道综合题
