2018-2019学年四川省乐山市高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019学年四川省乐山市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是()A随机抽样B分层抽样C系统抽样D以上都是2(5分)在复平面内,复数6+5i,2+3i对应的点分别为A,B若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A4+8iB8+2iC4+iD2+4i3(5分)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是()A18B24C30

2、D364(5分)设i为虚数单位,则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4B15x4C20ix4D20ix45(5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()ABCD6(5分)曲线f(x)x3x+3在点P处的切线平行于直线y2x1,则P点的坐标为()A(1,3)B(1,3)C(1,3)和(1,3)D(1,3)7(5分)元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的x0,则一开始输入的x的值为()ABCD8(5分)已知的分布列为101p设2+3,则E()

3、的值为()A4BCD19(5分)在区间0,1上任取两个实数a,b,则函数f(x)x2+ax+b2无零点的概率为()ABCD10(5分)根据如下样本数据,得到回归方程bx+a,则()x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa0,b0Ba0,b0Ca0,b0Da0,b011(5分)若函数f(x)x3tx2+3x在区间1,4上单调递减,则实数t的取值范围是()A(,B(,3C,+)D3,+)12(5分)已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A(,0)B(0,)C(0,1)D(0,+)二、填空题:本大题共4小题;毎小题5分,共20分13(5分)用简单随机抽

4、样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率为 14(5分)已知复数z满足(1+2i)z4+3i,则|z| 15(5分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF的体积为 16(5分)若曲线C1:yax2(a0)与曲线C2:yex在(0,+)上存在公共点,则a的取值范围为 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17(10分)已知函数f(x)x3+(1a)x2a(a+2)x+b(a,bR)(1)若函数f(x)的导函数为偶函数,求a的值;(2)若曲线yf(x)存

5、在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围18(12分)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议参考公式:方差公式:,其中为样本平均数,19(12分)已知函数,(1)求f(x)在区间(

6、,1)上的极小值和极大值点;(2)求f(x)在1,e(e为自然对数的底数)上的最大值20(12分)如图,在矩形ABCD中,AB4,AD2,E是CD的中点,以AE为折痕将DAE向上折起,D变为D,且平面DAE平面ABCE()求证:ADEB;()求二面角ABDE的大小21(12分)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T,其范围为0,10,分为五个级别,T0,2)畅通;T2,4)基本畅通;T4,6)轻度拥堵;T6,8)中度拥堵;T8,10严重拥堵早高峰时段(T3),从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右

7、图()这50个路段为中度拥堵的有多少个?()据此估计,早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?(III)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为36分钟;中度拥堵为42分钟;严重拥堵为60分钟,求此人所用时间的数学期望22(12分)已知函数f(x)(ax1)ex(x0,aR)(e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a1时,f(x)kx2恒成立,求整数k的最大值2018-2019学年四川省乐山市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

8、是符合题目要求的.1(5分)老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是()A随机抽样B分层抽样C系统抽样D以上都是【分析】学生人数比较多,把每个班级学生从1到最后一号编排,要求每班学号是5的倍数的同学留下进行作业检查,这样选出的样本是具有相同的间隔的样本,是采用系统抽样的方法【解答】解:学生人数比较多,把每个班级学生从1到最后一号编排,要求每班编号是5的倍数的同学留下进行作业检查,这样选出的样本是采用系统抽样的方法,故选:C【点评】本题考查系统抽样,当总体容量N较大时,采用系统抽样,将总体分成均衡的若干部分即

9、将总体分段,分段的间隔要求相等,系统抽样又称等距抽样2(5分)在复平面内,复数6+5i,2+3i对应的点分别为A,B若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A4+8iB8+2iC4+iD2+4i【分析】写出复数所对应点的坐标,有中点坐标公式求出C的坐标,则答案可求【解答】解:因为复数6+5i,2+3i对应的点分别为A(6,5),B(2,3)且C为线段AB的中点,所以C(2,4)则点C对应的复数是2+4i故选:D【点评】本题考查了中点坐标公式,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3(5分)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是()A18B24C30D

10、36【分析】根据题意,分2种情况讨论:,选出的3人为2男1女,选出的3人为1男2女,由加法原理计算可得答案【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:,选出的3人为2男1女,有C42C3118种选法;,选出的3人为1男2女,有C41C3212种选法;则男女生都有的选法有18+1230种;故选:C【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理,属于基础题4(5分)设i为虚数单位,则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4B15x4C20ix4D20ix4【分析】在二项式展开式的通项公式中,令x的幂指数等于4,求得r的值,可得展开式中含x4的项【解答】解:(xi)6的展开式的通项公式为Tr+1

11、x6r(i)r,令6r4,求得r2,故展开式中含x4的项为(i)2x415x4,故选:A【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题5(5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()ABCD【分析】本题是一个求概率的问题,考查事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型,求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n,再由公式求出概率得到答案【解答】解:抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6636事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有(1,4),(2,

12、3),(3,2),(4,1)共四种故事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是,故选:B【点评】本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解公式是本题的重点,正确求出事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点6(5分)曲线f(x)x3x+3在点P处的切线平行于直线y2x1,则P点的坐标为()A(1,3)B(1,3)C(1,3)和(1,3)D(1,3)【分析】设P的坐标为(m,n),则nm3m+3,求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直

13、线平行的条件:斜率相等,可得m的方程,求得m的值,即可得到所求P的坐标【解答】解:设P的坐标为(m,n),则nm3m+3,f(x)x3x+3的导数为f(x)3x21,在点P处的切线斜率为3m21,由切线平行于直线y2x1,可得3m212,解得m1,即有P(1,3)或(1,3),故选:C【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,考查两直线平行的条件:斜率相等,属于基础题7(5分)元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图

14、表达如图所示,即最终输出的x0,则一开始输入的x的值为()ABCD【分析】求出对应的函数关系,由题输出的结果的值为0,由此关系建立方程求出自变量的值即可【解答】解:第一次输入xx,i1第二次输入x2x1,i2,第三次输入x2(2x1)14x3,i3,第四次输入x2(4x3)18x7,i43,第五次输入x2(8x7)116x15,i54,输出16x150,解得:x,故选:C【点评】解答本题,关键是根据所给的框图,得出函数关系,然后通过解方程求得输入的值本题是算法框图考试常见的题型,其作题步骤是识图得出函数关系,由此函数关系解题,得出答案8(5分)已知的分布列为101p设2+3,则E()的值为()

15、A4BCD1【分析】求出的期望,然后利用2+3,求解E()即可【解答】解:由题意可知E()1+0+12+3,所以E()E(2+3)2E()+3+3故选:B【点评】本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系,本题也可以这样来解,根据两个变量之间的关系写出的分布列,再由分布列求出期望9(5分)在区间0,1上任取两个实数a,b,则函数f(x)x2+ax+b2无零点的概率为()ABCD【分析】函数f(x)x2+ax+b2无零点的条件,得到a,b满足的条件,利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论【解答】解:a,b是区间0,1上的两个数,a,b对应区域面积为111若函数f(x)x2+ax+

16、b2无零点,则a24b20,对应的区域为直线a2b0的上方,面积为1,则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为故选:B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据二次函数无零点的条件求出a,b满足的条件是解决本题的关键10(5分)根据如下样本数据,得到回归方程bx+a,则()x345678y4.02.50.50.52.03.0Aa0,b0Ba0,b0Ca0,b0Da0,b0【分析】通过样本数据表,容易判断回归方程中,b、a的符号【解答】解:由题意可知:回归方程经过的样本数据对应的点附近,是减函数,所以b0,且回归方程经过(3,4)与(4,2.5)附近,所以a0故选:B【点评】本题考查回归方程的

17、应用,基本知识的考查11(5分)若函数f(x)x3tx2+3x在区间1,4上单调递减,则实数t的取值范围是()A(,B(,3C,+)D3,+)【分析】由题意可得f(x)0即3x22tx+30在1,4上恒成立,由二次函数的性质可得不等式组的解集【解答】解:函数f(x)x3tx2+3x,f(x)3x22tx+3,若函数f(x)x3tx2+3x在区间1,4上单调递减,则f(x)0即3x22tx+30在1,4上恒成立,t(x+)在1,4上恒成立,令y(x+),由对勾函数的图象和性质可得:函数在1,4为增函数,当x4时,函数取最大值,t,即实数t的取值范围是,+),故选:C【点评】本题主要考查函数的单调

18、性和导数符号间的关系,二次函数的性质,属于中档题12(5分)已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A(,0)B(0,)C(0,1)D(0,+)【分析】先求导函数,函数f(x)x(lnxax)有两个极值点,等价于f(x)lnx2ax+1有两个零点,等价于函数ylnx与y2ax1的图象由两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数a的取值范围【解答】解:函数f(x)x(lnxax),则f(x)lnxax+x(a)lnx2ax+1,令f(x)lnx2ax+10得lnx2ax1,函数f(x)x(lnxax)有两个极值点,等价于f(x)lnx2ax+1有两个零点

19、,等价于函数ylnx与y2ax1的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a时,直线y2ax1与ylnx的图象相切,由图可知,当0a时,ylnx与y2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是(0,)简解:函数f(x)x(lnxax),则f(x)lnxax+x(a)lnx2ax+1,令f(x)lnx2ax+10得lnx2ax1,可得2a有两个不同的解,设g(x),则g(x),当x1时,g(x)递减,0x1时,g(x)递增,可得g(1)取得极大值1,作出yg(x)的图象,可得02a1,即0a,故选:B【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方

20、法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷二、填空题:本大题共4小题;毎小题5分,共20分13(5分)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率为【分析】根据题意,由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m被抽到的概率P,化简即可得答案【解答】解:根据题意,简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的,若在含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率P;故答案为:【点评】本题考查古典概型的计算,涉及随机抽样的性质,属于基础题14(5

21、分)已知复数z满足(1+2i)z4+3i,则|z|【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解【解答】解:(1+2i)z4+3i,z,则|z|故答案为:【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题15(5分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF的体积为【分析】将三棱锥D1EDF选择D1ED为底面,F为顶点,进行等体积转化VD1EDFVFD1ED后体积易求【解答】解:将三棱锥D1EDF选择D1ED为底面,F为顶点,则,其,F到底面D1ED的距离等于棱长1,所以1S故答案为:【点评】本题考查了三棱柱体积的

22、计算,等体积转化法是常常需要优先考虑的策略16(5分)若曲线C1:yax2(a0)与曲线C2:yex在(0,+)上存在公共点,则a的取值范围为,+)【分析】由题意可得,ax2ex有解,运用参数分离,再令,求出导数,求得单调区间、极值和最值,即可得到所求范围【解答】解:根据题意,函数yax2(a0)与函数yex在(0,+)上有公共点,令ax2ex得:,设则,由f(x)0得:x2,当0x2时,f(x)0,函数在区间(0,2)上是减函数,当x2时,f(x)0,函数在区间(2,+)上是增函数,所以当x2时,函数在(0,+)上有最小值,所以故答案为:【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考

23、查函数方程的转化思想的运用,属于中档题三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17(10分)已知函数f(x)x3+(1a)x2a(a+2)x+b(a,bR)(1)若函数f(x)的导函数为偶函数,求a的值;(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围【分析】(1)求出导函数,利用函数的奇偶性求出a即可(2)求出函数的导数,利用曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线,通过0求解即可【解答】解:(1):f(x)3x2+2(1a)xa(a+2),由题因为f(x)为偶函数,2(1a)0,即a1(2)曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线,关于x的方程

24、f(x)3x2+2(1a)xa(a+2)有两个不相等的实数根,4(1a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,a的取值范围为()()【点评】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力18(12分)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少

25、?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议参考公式:方差公式:,其中为样本平均数,【分析】(1)根据题意,由数据计算数学、物理的平均数、方差,进而分析可得答案;(2)根据题意,求出线性回归方程,据此分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,由表中的数据可得:100+100,100+100,则有,从而,故物理成绩更稳定;(2)由于x与y之间具有线性相关关系,则0.5,则1000.510050,则线性回归方程为0.5x+50,当y115时,x130;建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高【点评】本题考查线性回归方程的计算,涉

26、及数据的平均数、方差的计算,属于基础题19(12分)已知函数,(1)求f(x)在区间(,1)上的极小值和极大值点;(2)求f(x)在1,e(e为自然对数的底数)上的最大值【分析】(1)当x1时,求导函数,确定函数的单调性,可得f(x)在区间(,1)上的极小值和极大值点;(2)分类讨论,确定函数的单调性,即可得到f(x)在1,e(e为自然对数的底数)上的最大值【解答】解:(1)当x1时,f(x)3x2+2xx(3x2),令f(x)0,得x0或x当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (,0) 0(0,) (,1) f(x) 0+ 0 f(x) 极小值 极大值 当x0时,函数f(x)

27、取得极小值f(0)0,函数f(x)取得极大值点为x(2)当1x1时,f(x)x3+x2,由(1)知,函数f(x)在1,0和,1)上单调递减,在0,上单调递增,f(x)在1,1)上的最大值为2当1xe时,f(x)alnx当a0时,f(x)在1,e,上单调递减,f(x)maxa综上所述,当a2时,f(x)在1,e上的最大值为a;当a2时,f(x)在1,e上的最大值为2【点评】本题考查导数知识的应用,考查函数的单调性与极值、最值,考查分类讨论的数学思想,属于中档题20(12分)如图,在矩形ABCD中,AB4,AD2,E是CD的中点,以AE为折痕将DAE向上折起,D变为D,且平面DAE平面ABCE()

28、求证:ADEB;()求二面角ABDE的大小【分析】()推导出AEEB,取AE的中点M,连结MD,则MDBE,从而EB平面ADE,由此能证明ADEB;()以C为原点,CE为x轴,CB为y轴,过C作平面ABCE的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角ABDE的大小【解答】证明:(),AB4,AB2AE2+BE2,AEEB,取AE的中点M,连结MD,则ADDE2MDAE,平面DAE平面ABCE,MD平面ABCE,MDBE,从而EB平面ADE,ADEB;解:()以C为原点,CE为x轴,CB为y轴,过C作平面ABCE的垂线为z轴,如图建立空间直角坐标系,则A(4,2,0)、C(0,0,0

29、)、B(0,2,0)、,E(2,0,0),从而(4,0,0),设为平面ABD的法向量,则,取z1,得设为平面BDE的法向量,则,取x1,得因此,有,即平面ABD平面BDE,故二面角ABDE的大小为90【点评】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题21(12分)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T,其范围为0,10,分为五个级别,T0,2)畅通;T2,4)基本畅通;T4,6)轻度拥堵;T6,8)中度拥堵;T8,10严重拥堵早高峰时段(T3),从某市交通指挥中心随

30、机选取了三环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图()这50个路段为中度拥堵的有多少个?()据此估计,早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?(III)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为36分钟;中度拥堵为42分钟;严重拥堵为60分钟,求此人所用时间的数学期望【分析】()利用(0.2+0.16)150即可得出这50路段为中度拥堵的个数()设事件A“一个路段严重拥堵”,则P(A)0.1,事件B 至少一个路段严重拥堵”,则P(1P(A)3P(B)1P()0.271,可得三个路段至少有一个是严重拥堵的概率(III)利用

31、频率分布直方图即可得出分布列,进而得出数学期望【解答】解:()(0.2+0.16)15018,这50路段为中度拥堵的有18个()设事件A“一个路段严重拥堵”,则P(A)0.1,事件B 至少一个路段严重拥堵”,则P(1P(A)30.729P(B)1P()0.271,所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271(III)由频率分布直方图可得:分布列如下表:X30364260P0.10.440.360.1E(X)300.1+360.44+420.36+600.139.96此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟【点评】本题考查了频率分布直方图的应用、互斥事件的概率计算公式、数学期望,考

32、查了推理能力与计算能力,属于中档题22(12分)已知函数f(x)(ax1)ex(x0,aR)(e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a1时,f(x)kx2恒成立,求整数k的最大值【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)方法一、令g(x)(x1)exkx+2(x0),通过讨论k的范围,求出g(x)的最小值,从而确定k的最大值;方法二、分离参数k,得到恒成立,令,根据函数的单调性求出k的最大值即可【解答】解:(1)f(x)ax(1a)ex(x0,aR),当a1时,f(x)0,f(x)在(0,+)上递增;当0a1时,f(x)在(0,)上递减

33、,在(,+)上递增;当a0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上递减(2)依题意得(x1)exkx2对于x0恒成立,方法一、令g(x)(x1)exkx+2(x0),则g(x)xexk(x0),当k0时,f(x)在(0,+)上递增,且g(0)10,符合题意;当k0时,易知x0时,g(x)单调递增则存在x00,使得,且g(x)在(0,x0上递减,在x0,+)上递增,由得,0k2,又kZ,整数k的最大值为1另一方面,k1时,g(1)e10x0(,1),(1,2),k1时成立方法二、恒成立,令,则,令t(x)(x2x+1)ex2(x0),则t(x)x(x+1)ex0,t(x)在(0,+)上递增,又t(1)0,存在x0(,1),使得,且h(x)在在(0,x0上递减,在x0,+)上递增,又x0(,1),(1,),h(x0)(,2),k2,又kZ,整数k的最大值为1【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,函数恒成立问题,是一道综合题

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