1、2018-2019学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）设复数z满足z1i，则z的共轭复数的虚部为（）A1B1CiDi2（5分）双曲线的渐近线方程为（）ABCyxDy2x3（5分）某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）A12.25%B11.25%C10.25%D9.25%4（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对
2、照表：气温（）1013181用电量（度）38342464由表中数据得回归直线方程中的2，预测当气温为4时，用电量度数约为（）A64B65C68D705（5分）设p：实数a，b满足a1且b1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）二项式（x+1）n（nN*）的展开式中x2项的系数为15，则n（）A4B5C6D77（5分）下列说法正确的是（）A命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0”B命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题C命题“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题D“x2+2x
3、ax在x1，2上恒成立”（x2+2x）min（ax）min在x1，2上恒成立8（5分）设函数f（x）ax2+ex（aR）有且仅有两个极值点x1，x2（x1x2），则实数a的取值范围为（）ABC（e，+）D9（5分）设点F和直线l分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，若F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A2BCD10（5分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，且函数在区间（c，c+5）上存在最大值，则ab+c的最大值为（）A11B9C6D411（5分）设A、B是抛物线y24x上的两点，抛物线的准线与x轴交于点N，已知弦AB的中点M的横坐标为3，记直线
4、AB和MN的斜率分别为k1和k2，则的最小值为（）A1BC2D212（5分）定义在t，+）上的函数f（x），g（x）单调递增，f（t）g（t）M，若对任意kM，存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）g（x2）k成立，则称g（x）是f（x）在t，+）上的“追逐函数”若f（x）x2，则下列四个命题：g（x）2x1是f（x）在1，+）上的“追逐函数”；若g（x）lnx+m是f（x）在1，+）上的“追逐函数”，则m1；是f（x）在1，+）上的“追逐函数”；当m1时，存在tm，使得g（x）2mx1是f（x）在t，+）上的“追逐函数”其中正确的命题为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，
5、共20分.）13（5分）已知复数zi12i（i是虚数），则复数z的模等于 14（5分）抛物线yx2的焦点坐标是 15（5分）某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种16（5分）若函数有且只有一个零点，A，B是O：x2+y22m上两个动点（O为坐标原点），且，若A，B两点到直线l：3x+4y100的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最大值为 三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求顶点在原点，准
6、线方程为x4的抛物线的方程18（12分）已知函数，其中aR，且曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间19（12分）已知命题p：函数对任意x1，x2（x1x2）均有；命题q：ex+a0在区间0，+）上恒成立（1）如果命题p为真命题，求实数a的值或取值范围；（2）命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围20（12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行
7、统计分析，结果如表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）分数80，90）90，100）100，110）110，120）120，130）130，140）140，150甲班频数1145432乙班频数0112664（）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计（）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望参考公式：，其中na+b+c+d临界值表P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.82821（
8、12分）椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由22（12分）设函数f（x）lnxa2x+2a（aR）（1）若函数f（x）在上递增，在上递减，求实数a的值（2）讨论f（x）在（1，+）上的单调性；（3）若方程xlnxm0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x212018-2019学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分
9、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1（5分）设复数z满足z1i，则z的共轭复数的虚部为（）A1B1CiDi【分析】由已知求出，则答案可求【解答】解：由z1i，得则z的共轭复数的虚部为1故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）双曲线的渐近线方程为（）ABCyxDy2x【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点位置以及a、b的值，结合双曲线的渐近线方程分析可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在y轴上，且a，b1；则其渐近线方程为：yx；故选：B【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的渐近线的求法，属于基础题3（
10、5分）某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）A12.25%B11.25%C10.25%D9.25%【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%11.25%，得解【解答】解：由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%11.25%，故选：B【点评】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题4（5分）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）1013181用电量（度）38342464
11、由表中数据得回归直线方程中的2，预测当气温为4时，用电量度数约为（）A64B65C68D70【分析】根据所给的表格求出本组数据的样本中心点，结合样本中心点在线性回归直线上求得a值，从而得出回归直线方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，即可得到结论【解答】解：，样本点中心的坐标为（10，40），代入，得402，得线性回归方程为，取x4，得y68故选：C【点评】本题考查回归直线方程，考查回归分析的初步应用，明确线性回归直线方程恒过样本点的中心是关键，是基础题5（5分）设p：实数a，b满足a1且b1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条
12、件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当a1且b1时，ab1，a+b2成立，即充分性成立，反之当a4，b1时，满足足但a1且b1不成立，即必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键6（5分）二项式（x+1）n（nN*）的展开式中x2项的系数为15，则n（）A4B5C6D7【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出n的值【解答】解：二项式（x+1）n（nN*）的展开式中x2项的系数为15，15，即15，解得n6或n5（不合题意，舍去），n
13、的值是6故选：C【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题7（5分）下列说法正确的是（）A命题“xR，ex0”的否定是“xR，ex0”B命题“已知x，yR，若x+y3，则x2或y1”是真命题C命题“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题为真命题D“x2+2xax在x1，2上恒成立”（x2+2x）min（ax）min在x1，2上恒成立【分析】A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、写出原命题的逆命题再判定真假；D、“x2+2xax在x1，2上恒成立”转化为“（）mina在x1，2上恒成立”可判定真假【解
14、答】解：A、“xR，ex0”的否定是“x0R，ex0”；故命题A错误；B、x2且y1时，x+y3是真命题；若x+y3，则x2或y1”是真命题，故命题B正确；C、“若a1，则函数f（x）ax2+2x1只有一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）ax2+2x1只有一个零点时，则a1”，f（x）有一个零点时，a1或a0；故命题C错误；D、“x2+2xax在x1，2上恒成立”“（）mina在x1，2上恒成立”，故命题D错误正确的是B故选：B【点评】本题通过命题真假的判定考查了简单的逻辑关系的应用，是中档题8（5分）设函数f（x）ax2+ex（aR）有且仅有两个极值点x1，x2（x1x2），则实数a的取值
15、范围为（）ABC（e，+）D【分析】先求导，求出f（x）的单调性，求出参数的取值范围【解答】解：函数f（x）ax2+ex（aR），f（x）2ax+ex有且仅有两个极值点x1，x2（x1x2），则：2ax+ex0，显然a0，x1，x2是直线y与曲线yg（x）两交点的横坐标，由g（x）0，得x1列表：x（，1）1（1，+）g（x）+0g（x）g（x）max此外注意到：当x0时，g（x）0；当x0，1及x（1，+）时，g（x）的取值范围分别为0，和（0，）于是题设等价于0a（，），故实数a的取值范围为：（，）故选：D【点评】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性
16、，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点属于中档题9（5分）设点F和直线l分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，若F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A2BCD【分析】取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，l与渐近线的交点为A，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值【解答】解：如图取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，直线l与线段PF的交点为A，
17、因为点P与F关于直线l对称，则lPF，且A为PF的中点，所以|AF|b，|OA|a，|PE|2|AO|2a，根据双曲线的定义，有|PF|PE|2a，则2b2a2a，即b2a，所以e，故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题10（5分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，且函数在区间（c，c+5）上存在最大值，则ab+c的最大值为（）A11B9C6D4【分析】利用函数f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，即则f（1）0，f（1）0，解得啊a、b，再利用函数的导数判断单调性，在区间（
18、c，c+5）上存在最大值可得7c4，从而可得ab+c的最大值【解答】解：f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，则f（1）0，f（1）0，因为：f（x）3x2+6ax+b，所以：1+3ab+a20，且36a+b0；解得：a1或a2，当a1时，b3，此时f（x）3x2+6x+33（x+1）20；所以函数f（x）单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；当a2时，b9，此时，f（x）3x2+6x+93（x+1）（x+3）；x1是函数的极值点，符合题意，所以：ab7；又因为函数在区间（c，c+5）上存在最大值，因为g（x）x2+2xx（x+2）；易得函数在（，2）和（0，+）上单调递增，在（2，
19、0）上单调递减；则：g（2）极大；g（1）；所以有：2c+51，解得：7c4，则：ab+c的最大值为：7411；故选：A【点评】本题考查了导数的综合应用函数的极值问题，属于中档题11（5分）设A、B是抛物线y24x上的两点，抛物线的准线与x轴交于点N，已知弦AB的中点M的横坐标为3，记直线AB和MN的斜率分别为k1和k2，则的最小值为（）A1BC2D2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（3，t），N（1，0），运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得k1k2，再由基本不等式可得所求最小值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（3，t），N（1，0），可得y12
20、4x1，y224x2，相减可得（y1y2）（y1+y2）4（x1x2），可得k1，k2，即为k1k2，则2|k1k2|1，当且仅当|k1|k2|时取得等号，即的最小值为1故选：A【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题12（5分）定义在t，+）上的函数f（x），g（x）单调递增，f（t）g（t）M，若对任意kM，存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）g（x2）k成立，则称g（x）是f（x）在t，+）上的“追逐函数”若f（x）x2，则下列四个命题：g（x）2x1是f（x）在1，+）上的“追逐函数”；若g（x）l
21、nx+m是f（x）在1，+）上的“追逐函数”，则m1；是f（x）在1，+）上的“追逐函数”；当m1时，存在tm，使得g（x）2mx1是f（x）在t，+）上的“追逐函数”其中正确的命题为（）ABCD【分析】分别根据“追逐函数”的定义检验当f（x1）g（x2）k成立时，x1x2是否成立即可【解答】解：当x5时，f（5）25，g（5）25131，此时若f（x1）g（x2）k成立，则x1x2，即x1x2不成立，故g（x）2x1不是f（x）在1，+）上的“追逐函数”；故错误，若g（x）lnx+m是f（x）在1，+）上的“追逐函数”，则有f（1）g（1），即1ln1+m0+m，即m1，故正确，2，则当M2
22、时，f（x1）g（x2）k不成立，即是f（x）在1，+）上不是“追逐函数”；故错误，由x2（2mx1）x22mx+10，得判别式4m244（m21），m1，判别式0，当m1时，判别式0，即方程有两个不同的根，假设比较大的根为t，则在t，+）时，存在tm使得x2（2mx1）0，即x22mx1，即存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）g（x2）k成立，故正确，故正确的是，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合“追逐函数”的定义检验当f（x1）g（x2）k成立时，x1x2是否成立是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）已知
23、复数zi12i（i是虚数），则复数z的模等于【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由zi12i，得，则复数z的模等于故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题14（5分）抛物线yx2的焦点坐标是（0，1）【分析】抛物线方程即 x24y，从而可得 p2，1，由此求得抛物线焦点坐标【解答】解：抛物线 即 x24y，p2，1，故焦点坐标是（0，1），故答案为 （0，1）【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题15（5分）某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2
24、个，则该外商不同的投资方案有60种【分析】分两种情况：在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目；有三个城市各获得一个投资的项目，从而可得结论【解答】解：分两种情况在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有3种；在4个城市当中，选择两个城市作为投资对象，有4312种，这种情况有：31236种有三个城市各获得一个投资的项目，选择没有获得投资项目的城市，4种；安排项目与城市对应，有3216种这种情况有，4624种综合两种情况，有36+2460种方案设置投资项目故答案为：60【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16（5分）若函数有且
25、只有一个零点，A，B是O：x2+y22m上两个动点（O为坐标原点），且，若A，B两点到直线l：3x+4y100的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最大值为【分析】由题意可得f（x）为偶函数，f（x）有且只有一个零点，可得f（0）0，可得m1，由圆的参数方程设A，B的坐标，由数量积的坐标表示和点到直线的距离公式，结合三角函数的恒等变换，即可得到所求最大值【解答】解：函数，f（x）f（x），可得f（x）为偶函数，f（x）有且只有一个零点，可得f（0）0，即为1+m0，即m1，则O：x2+y22，可设A（cos，sin），B（cos，sin），由2coscos+2sinsin2cos（）1，即co
26、s（），即2cos21，可取cos，可得d1+d2+4444sin（+），当sin（+）1时，d1+d2取得最大值4+故答案为：4+【点评】本题考查函数的奇偶性和直线与圆的位置关系，以及圆的参数方程，和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，同时本题是2018年上海市高考高考试题的改编，属于难题三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求顶点在原点，准线方程为x4的抛物线的方程【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，求出离心率，然后求解双曲线的a，b，得到双曲线方程（2）利
27、用已知条件求解抛物线的标准方程即可【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（5，0），（5，0），又双曲线离心率所以双曲线a4，c5，故双曲线的方程为：（2）由题意，抛物线的焦点在x轴上，开口向左，所以抛物线方程为：y216x【点评】本题考查椭圆以及双曲线抛物线的简单性质的应用，标准方程的求法，考查计算能力18（12分）已知函数，其中aR，且曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间【分析】（1）由条件分析知曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，利用导数与斜率的关系建立方程即可解出a（2）结合（1）的条件，a1，得到，常规解法令f
28、（x）0，和f（x）0，即可得出单调区间【解答】解：（1）由题知曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0而，f（1）12a+a20 所以a1（2）由（1）知，a1，令f（x）0，则解得x（0，1）（2，+）令f（x）0，则解得x（1，2）所以函数单调增区间为：（0，1），（2，+）函数单调减区间为：（1，2）【点评】本题考查了利用导数与曲线的切线问题以及利用导数研究函数单调性问题，常规题、常规思路，属于简单题19（12分）已知命题p：函数对任意x1，x2（x1x2）均有；命题q：ex+a0在区间0，+）上恒成立（1）如果命题p为真命题，
29、求实数a的值或取值范围；（2）命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围【分析】（1）由题意，函数f（x）为R上的单调增函数，求导后分离参数a，由f（x）0在（，+）上恒成立即可求得a的范围；（2）求出ex+a0在区间0，+）上恒成立恒成立的a的范围，再由复合函数的单调性求解实数a的取值范围【解答】解：（1）在R上单调递增，则f（x）x2+2ax0对x（，+）恒成立，4a20a0；（2）ex+a0在区间0，+）上恒成立，即aex在区间0，+）上恒成立，命题q为真命题：即a1由命题“pq”为真命题，“pq”为假命题知p，q一真一假若p真q假，则a无解；若p假q真，则（1，0）（0
30、，+）综上所述，实数a的取值范围是（1，0）（0，+）【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是基础题20（12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）分数80，90）90，100）100，110）110，120）120，130）130，140）140，150甲班频数1145432乙班频数0112664（）由以上统计数据填写下面的22列联表，
31、并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计（）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望参考公式：，其中na+b+c+d临界值表P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【分析】（1）补充完整22列联表，根据表中的数据，带入k2公式，查表对比即可（2）确定随机变量X的取值为0，1，2，3，不优秀的学生中甲班有11人，乙班有4人，随机变量X对应的概率类似于超几何分布，计算出X对应的概率，列出分布列，求出期望即可【解答】解：（1
32、）补充的22列联表如下表：甲班乙班总计成绩优秀91625成绩不优秀11415总计202040根据22列联表中的数据，得K2的观测值为5.2273.841，所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”（5分）（2）X的可能取值为0，1，2，3，（6分），（7分），（8分）P（X3），（9分）所以X的分布列为X0123P（10分）（12分）【点评】本题考查了独立性检验的问题和离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题21（12分）椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F
33、恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）设椭圆的标准方程，且，可得acc21，再根据离心率，b2a2c2，即可得出（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ1可设直线l的方程为yx+m与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m220又F为PQM的垂心，可得，利用根与系数的关系即可得出【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+1，（ab0），半焦距为c，则A（a，0），M（0，b），F（c，0），（c，b），（ac，0），acc21，又e，a2b2+c2，a22，b21故椭圆的标准方程为+y21（2）设P
34、（x1，y1），Q（x2，y2），F为PQM的垂心，MPFQM（0，1），F（1，0），kMF1，kPQ1，设直线PQ的方程为yx+m，代入到+y21得3x2+4mx+2m220，（4m）212（2m21）0，解得m且m1x1+x2m，x1x2，（1x1，y1），（x2，y21）x2x1x2+y1y1y20，即（1m）（x1+x2）2x1x2+mm20由根与系数的关系，得3m2+m40解得m或m1（舍去）故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，且直线l的方程为yx【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、三角形垂心的性
35、质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）设函数f（x）lnxa2x+2a（aR）（1）若函数f（x）在上递增，在上递减，求实数a的值（2）讨论f（x）在（1，+）上的单调性；（3）若方程xlnxm0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x21【分析】（1）对原函数求导，分析条件知是原函数的极值点且是极大值点，所以，代入导数中即可求得a（2）由题意显然利用导数研究单调性根据f（x）lnxa2x+2a， 因为aR，所以要对a进行分类a0、a21，即a1或a1、1a1且a0，得出a不同范围时的单调性（3）分析题意知道需要利用函数与方程思想，由方程xlnxm0有两个不
36、等实数根x1，x2，构造两个函数h（x）xlnx（x0），g（x）m，进而转化成利用极限思想求h（x）的最值，由此确定m的范围分析法证明x1x21，要证x1x21即证即证h（x1）h（），由h（x1）h（x2）m，问题进一步转化成证明 0，构造函数p（x），研究p（x）的单调性、最值，最终得出0，问题就可得以证明【解答】解：（1）由于函数函数f（x）在上递增，在上递减，由单调性知，是函数的极大值点，无极小值点所以故，经验证成立（2）f（x）lnxa2x+2a，当a0时，在（1，+）上单调递增当a21，即a1或a1时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递减当1a1且a0时，由f（x）0得令f
37、（x）0得；令f（x）0得f（x）在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f（x）在（1，+）上递增；当a1或a1时，f（x）在（1，+）上递减；当1a1且a0时，f（x）在上递增，在上递减（3）令h（x）xlnx（x0），g（x）m，当x（0，1）时，h（x）xlnx（x0）单调递减；当x（1，+）时，h（x）xlnx（x0）单调递增；故h（x）在x1处取得最小值，h（1）1又当x0，h（x）+；x+，h（x）1，m（1，+）不妨设x1x2，则有0x11x2，要证x1x21即证即证h（x1）h（）h（x1）h（x2）m，令，p（x）在（1，+）上单调递增，故p（x）p（1）0即0，x1x21 得证【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性、极值、最值等问题分类讨论、转化化归思想以及函数思想贯穿解答的整个过程；还用到了极限思想，综合性较强，属于难题
