1、2018-2019学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）直线l1：2x+2y30和l2：x+ay+30垂直，则实数a（）A1B1C1或1D32（5分）若命题p：x0R，x02+x0+10，则p为（）AxR，x2+x+10BxR，x2+x+10CxR，x2+x+10DxR，x2+x+103（5分）ABC中，若A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6），则该三角形的形状是（）A锐角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形4（5分）“”是“”的（）A充分而不必要
2、条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）ABCD6（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y1）21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）21B（x2）2+（y+2）21C（x+2）2+（y+2）21D（x2）2+（y2）217（5分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则BC与A1D所成角是（）A30B45C60D908（5分）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45
3、的样本，若在第一组抽取的编号是5，则抽取的45人中，编号落在区间479，719的人数为（）A10B11C12D139（5分）三棱锥PABC中，ACBC，PA平面ABC，ACBC2，PA4，则PC和平面PAB所成角的正切值为（）A1BCD10（5分）已知直线与圆x2+y212相交于A、B两点，则AOB大小为（）A30B45C60D15011（5分）已知三棱锥SABC中，SASBSC1，且SA、SB、SC两两垂直，P是三棱锥SABC外接球面上一动点，则P到平面ABC的距离的最大值是（）ABCD12（5分）已知圆C1：（x2）2+y24，C2：（x25cos）2+（y5sin）21（R），过圆C2上
4、一点P作圆C1的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是（）A6B5C4D3二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若直线l1：axy+30和l2：x+（a2）y10平行，则实数a 14（5分）若直线yx+b在x轴上的截距在3，3范围内，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是 15（5分）已知命题p：xR，ax2+ax+10为真命题，则实数a的取值范围是 16（5分）正三角形ABC边长为，其所在平面上有点P、Q满足：，则的最大值为 三.解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知三角形的三个顶点A（2，0），B（4，4），C（0，
5、2），（1）求AC边所在直线方程；（2）求线段BC的中垂线所在直线方程18（12分）半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在105，115）中的概率19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD中，ABDC，ABAD，又CD6，ABADPD3，E为PC中点（1）求证：BE平面PAD；（2）求异面直线PA与CB所成角20（12分）对某城市居民家庭年收入x（万元）和年“享受
6、资料消费”y（万元）进行统计分析，得数据如表所示 x681012y2356（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）若某家庭年收入为18万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？（参考公式：，）21（12分）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，ABCD是平行四边形，BCD45，平面ABCD平面CDEF，FBFC（1）求证：BFCD；（2）若，BF与平面ABCD所成角为45，求该五面体的体积V；22（12分）已知圆O：x2+y22，直线l：ykx2（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；（2）若，P是直线l上的动点
7、，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线CD是否过定点？若是，求出定点，并说明理由（3）若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形EGFH的面积的最大值2018-2019学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）直线l1：2x+2y30和l2：x+ay+30垂直，则实数a（）A1B1C1或1D3【分析】由21+2a0，解得a即可得出【解答】解：由21+2a0，解得a1故选：A【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与
8、计算能力，属于基础题2（5分）若命题p：x0R，x02+x0+10，则p为（）AxR，x2+x+10BxR，x2+x+10CxR，x2+x+10DxR，x2+x+10【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：xR，x2+x+10，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）ABC中，若A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6），则该三角形的形状是（）A锐角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形【分析】利用空间中两点间距离公式及勾股定理得到AB2+BC2AC2，且ABBC，从而ABC为等腰直角三角形【解
9、答】解：A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6），AB7，BC7，AC7，AB2+BC2AC2，且ABBC，ABC为等腰直角三角形故选：D【点评】本题考查三角形形状地判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两点间距离公式及勾股定理的合理运用4（5分）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当时，成立当时，满足，但不成立故“”是“”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础5（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）ABCD【分析】
10、直接利用程序框图的应用求出结果【解答】解：执行循环前：k1，S1在执行第一次循环时，S1由于k23，所以执行下一次循环S，k3，直接输出S，故选：B【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用6（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y1）21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）21B（x2）2+（y+2）21C（x+2）2+（y+2）21D（x2）2+（y2）21【分析】求出圆C1：（x+1）2+（y1）21的圆心坐标，关于直线xy10对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y1）21的圆心坐标（1，1），
11、关于直线xy10对称的圆心坐标为（2，2）所求的圆C2的方程为：（x2）2+（y+2）21故选：B【点评】本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键7（5分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则BC与A1D所成角是（）A30B45C60D90【分析】证明BCA1O推出BC平面A1CD通过直线与平面垂直的性质定理证明BCA1D由此能求出BC与A1D所成角【解答】解：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O平面BCD又BC平面BCD，所以BCA1O又BCCO，CO
12、A1OO，CO平面A1CD，A1O平面A1CD，所以BC平面A1CD又A1D平面A1CD，所以BCA1D故BC与A1D所成角90故选：D【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质、平面与平面垂直的判定定理的应用，考查运算求解能力，是中档题8（5分）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，若在第一组抽取的编号是5，则抽取的45人中，编号落在区间479，719的人数为（）A10B11C12D13【分析】根据系统抽样的定义，求出对应的组距，再计算编号落在区间479，719的人数【解答】解：900人中抽取样本容量为45的样本，则样本组距为：9
13、004520；则编号落在区间479，719的人数为（719479）2012故选：C【点评】本题主要考查系统抽样的定义，求出组距是解决本题的关键9（5分）三棱锥PABC中，ACBC，PA平面ABC，ACBC2，PA4，则PC和平面PAB所成角的正切值为（）A1BCD【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC和平面PAB所成角的正切值【解答】解：三棱锥PABC中，ACBC，PA平面ABC，ACBC2，PA4，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（2，0，4），A（2，0
14、，0），B（0，2，0），C（0，0，0），（2，0，4），（0，0，4），（2，2，4），设平面PAB的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设PC和平面PAB所成角为，PC和平面PAB所成角的正弦值：sin|cos，|PC和平面PAB所成角的正切值为故选：B【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10（5分）已知直线与圆x2+y212相交于A、B两点，则AOB大小为（）A30B45C60D150【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得AB的
15、长度，进而分析可得AOB为等边三角形，据此可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y212的圆心O的坐标为（0，0），半径r2，则圆心到直线AB的距离d3，直线与圆x2+y212相交于A、B两点，则|AB|22，则有|OA|OB|AB|，则AOB为等边三角形，则AOB60；故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦AB的长度，属于基础题11（5分）已知三棱锥SABC中，SASBSC1，且SA、SB、SC两两垂直，P是三棱锥SABC外接球面上一动点，则P到平面ABC的距离的最大值是（）ABCD【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面A
16、BC的距离，即可求出点P到平面ABC的距离的最大值【解答】解：三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SCSA，且SASBSC1，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，正方体的体对角线长为，则外接球半径R球心到平面ABC的距离为d，点Q到平面ABC的距离的最大值为R+d故选：C【点评】本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键属于中档题12（5分）已知圆C1：（x2）2+y24，C2：（x25cos）2+（y5sin）21（R），过圆C2上一点P作圆C1的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是（）A6B5C4D3【分析】
17、由圆的参数方程及向量的数量积，对勾函数的单调性可得：由，可得：圆C2是圆心在圆（x2）2+y225的圆周上运动，设A（2，0），则|PA|d4，6，由图可知：|cos2（d24）（12sin2）（d24）（1）d2+12，由f（d2）d2+12在16，36上为增函数，得解，【解答】解：由，可得：圆C2是圆心在圆（x2）2+y225的圆周上运动，设A（2，0），则|PA|d4，6，由图可知：|cos2（d24）（12sin2）（d24）（1）d2+12，由f（d2）d2+12在16，36上为增函数，即当d216时，取最小值6，故选：A【点评】本题考查了圆的参数方程及向量的数量积，对勾函数的单调性
18、，属难度较大的题型二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若直线l1：axy+30和l2：x+（a2）y10平行，则实数a1【分析】由a2（1）0，解得a经过验证即可得出【解答】解：由a（a2）（1）10，解得a1经过验证可得满足条件a1故答案为：1【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）若直线yx+b在x轴上的截距在3，3范围内，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；再求出“直线在y轴上的截距大于1”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率【解答】解：所有的基本事件构成
19、的区间长度为 3（3）6，直线在y轴上的截距b大于1，直线横截距小于1，“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为1（3）2，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P故答案为：【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P求解15（5分）已知命题p：xR，ax2+ax+10为真命题，则实数a的取值范围是0，4）【分析】直接利用分类讨论思想和二次函数的性质求出
20、结果【解答】解：当a0时，10恒成立，故：该命题p为真命题当a0且a24a0时，解得0a4由得：实数a的取值范围是0，4）故答案为：0，4）【点评】本题考查的知识要点：命题的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力及分类讨论思想的应用，属基础题型16（5分）正三角形ABC边长为，其所在平面上有点P、Q满足：，则的最大值为【分析】由向量的坐标运算及向量的模的运算得：|2，由三角函数的最值问题得：因为1sin1所以当sin1时，取最大值为，得解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（，3），C（2，0），由，得：P（cos，sin），由，得：Q（，），所以（，
21、），所以|2，又1sin1，所以当sin1时，取最大值为，故答案为：【点评】本题考查了向量的坐标运算及向量的模的运算、三角函数的最值问题，属中档题三.解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知三角形的三个顶点A（2，0），B（4，4），C（0，2），（1）求AC边所在直线方程；（2）求线段BC的中垂线所在直线方程【分析】（1）由A（2，0），C（0，2），利用截距式可得直线AC所在直线方程（2）由B（4，4），C（0，2）知BC中点为（2，1），又，可得线段BC的中垂线斜率为，即可得出线段BC的中垂线所在直线方程【解答】解：（1）由A（2，0），C
22、（0，2）知直线AC所在直线方程为：即：xy+20（4分）（2）由B（4，4），C（0，2）知BC中点为（2，1）（6分）又，所以线段BC的中垂线斜率为（8分）所以线段BC的中垂线所在直线方程为：即：2x3y70（10分）【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、截距式、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在105，115）中的概率
23、【分析】（1）由频率分布直方图，能估计这50名同学的数学平均成绩（2）由频率分布直方图得分数低于115分的同学有12人，则用分层抽样抽取6人中，分数在95，105）有1人，用a表示，分数在105，115）中的有5人，用b1，b2，b3，b4，b5表示，利用列举法能求出这两名同学分数均在105，115）中的概率【解答】（本大题12分）解：（1）由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：123.6（4分）（2）由频率分布直方图得分数低于115分的同学有（100.004+100.02）5012人，则用分层抽样抽取6人中，分数在95，105）有1人，用a表示，分数在105，115）中的有5人，用
24、b1，b2，b3，b4，b5表示，则基本事件有（a，b1），（a，b2），（a，b3），（a，b4），（a，b5），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共15个，满足条件的基本事件为（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共10个，所以这两名同学分数均在105，115）中的概率为：（12分）【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样
25、、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD中，ABDC，ABAD，又CD6，ABADPD3，E为PC中点（1）求证：BE平面PAD；（2）求异面直线PA与CB所成角【分析】（1）取PD的中点为F，连接EF，AF，推导出四边形ABEF为平行四边形，从而BEAF，由此能证明BE平面ADP（2）取CD中点G，连接AG、PG，推导出ABCG为平行四边形，从而BCAG，进而PAG（或其补角）为PA与CB所成角，由此能求出PA与CB所成角【解答】（本大题12分）解：（1）取PD的中点为F，连接EF，AF，则在PCD中，由已知，ABE
26、F且ABEF，四边形ABEF为平行四边形，BEAF，而AF平面ADP，BE平面PAD，BE平面ADP（6分）解：（2）取CD中点G，连接AG、PG，ABGC且ABGC，ABCG为平行四边形，BCAG，PAG（或其补角）为PA与CB所成角，由题意得，PAG60，PA与CB所成角为60（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）对某城市居民家庭年收入x（万元）和年“享受资料消费”y（万元）进行统计分析，得数据如表所示 x681012y2356（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
27、y关于x的线性回归方程；（2）若某家庭年收入为18万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？（参考公式：，）【分析】（1）由表中数据结合已知求得，的值，则线性回归方程可求；（2）把x18代入线性回归方程求得y值，则答案可求【解答】解：（1）由数据求得，则，故y关于x的线性回归方程为：；（2）当x18时，由线性回归方程求得，故家庭年收入为18万元时，预测该家庭年“享受资料消费”为10.3万元【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题21（12分）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，ABCD是平行四边形，BCD45，平面ABCD平面CDEF，FBFC（1）求证：BFC
28、D；（2）若，BF与平面ABCD所成角为45，求该五面体的体积V；【分析】（1）过F作FODC于O，连接BO，推导出FO平面ABCD，从而FOOB，推导出COOB，即DCOB，从而CD平面FOB，由此能证明BFCD（2）由ABCD，知AB平面CDEF，从而ABEF，由此该五面体的体积VVAEFOD+VFABCO，进而能求出结果【解答】证明：（1）过F作FODC于O，连接BO，平面ABCD平面CDEF，且交线为CD，FO平面ABCD，而BO平面ABCD，FOOB，又FBFC，FOBFOC，OCOB，而BCD45，COOB，即DCOB，又FOOBO，CD平面FOB，而BF平面FOB，BFCD（6分
29、）解：（2）由ABCD知AB平面CDEF，而平面ABEF平面CDEFEF，ABEF（8分）由（1）知COB为等腰直角三角形，而，BOCODO1，又由（1）知FBO为BF与平面ABCD所成角，FOBO1，而FO平面ABCD，BO平面CDEF，VVAEFOD+VFABCO（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查五面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知圆O：x2+y22，直线l：ykx2（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切
30、点为C、D，则直线CD是否过定点？若是，求出定点，并说明理由（3）若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形EGFH的面积的最大值【分析】（1）根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆的方程可得（1+k2）x24kx+20，又由AOB为锐角0x1x2+y1y20，结合根与系数的关系的关系分析可得答案；（2）根据题意，由k的值可得直线l的方程，设P的坐标为（a，a2），可得以OP为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，分析可得直线CD的方程，据此分析可得答案；（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2分析可得则，用d1、d2表示四边形EGFH的面积，结合基本
31、不等式的性质分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），将ykx2代入x2+y22，整理得到：（1+k2）x24kx+20则有16k28（1+k2）0，解可得：k21，而，AOB为锐角0x1x2+y1y20，又由x1x2+y1y2（1+k2）x1x22k（x1+x2）+40，解可得：k23，又由k21，则1k23，解可得：k1或1k；（2）时，直线l的方程为：，设，则以OP为直径的圆为：，即：，将其和圆O：x2+y22联立，消去平方项得：，即为直线CD的方程，将其化为知该直线恒过定点，故直线CD恒过定点（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2则，当且仅当即 时，取“”四边形EGFH的面积的最大值为【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系以及基本不等式的性质以及应用，属于综合题
