1、2018-2019学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）直线l1：x+y30和l2：x+ay+30垂直，则实数a（）A1B1C1或1D32（5分）若命题p：x0R，x02+x0+10，则p为（）AxR，x2+x+10BxR，x2+x+10CxR，x2+x+10DxR，x2+x+103（5分）某校高三年级共有学生900人，将其编号为1，2，3，900并从小到大依次排列，现用系统抽样的方法从中抽取一个容量为45的样本，若抽取的第一个样本编号为5，则第三个样本的编号为（）A15B
2、25C35D454（5分）若“x0”是“x1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）ABC中，若A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6），则该三角形的形状是（）A锐角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形6（5分）直线l：截圆x2+y212所得弦长为（）ABC6D37（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）ABCD8（5分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则BC与A1D所成角是（）A30B45C60D909（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y
3、1）21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）21B（x2）2+（y+2）21C（x+2）2+（y+2）21D（x2）2+（y2）2110（5分）三棱锥PABC中，ACBC，PA平面ABC，ACBC2，PA4，则PC和平面PAB所成角的正切值为（）A1BCD11（5分）若点P（x，y）在圆x2+y21上运动，则的最大值是（）AB1CD212（5分）已知三棱锥SABC中，SASBSC1，且SA、SB、SC两两垂直，P是三棱锥SABC外接球面上一动点，则P到平面ABC的距离的最大值是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分
4、）若直线l1：xy+30和l2：x+（a2）y10平行，则实数a 14（5分）将一枚均匀的骰子抛两次，则“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是 15（5分）已知命题p：xR，ax2+ax+10为真命题，则实数a的取值范围是 16（5分）正三角形ABC边长为，其所在平面上有点P、Q满足：，则的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知三角形的三个顶点A（2，0），B（4，4），C（0，2），（1）求AC边所在直线方程；（2）求线段BC的中垂线所在直线方程18（12分）半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布
5、直方图如图所示（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在105，115）中的概率19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD中，ABDC，ABAD，又CBPB，ABADPD3，E为PC中点（1）求证：BC平面PBD；（2）求证：BE平面PAD20（12分）对某城市居民家庭年收入x（万元）和年“享受资料消费”y（万元）进行统计分析，得数据如表所示 x681012y2356（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）
6、若某家庭年收入为18万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？（参考公式：，）21（12分）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，ABCD是平行四边形，BCD45，平面ABCD平面CDEF，FBFC（1）求证：BFCD；（2）若，BF与平面ABCD所成角为45，求该五面体的体积V；22（12分）已知圆O：x2+y22，直线l：ykx2（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点，若过定点，则求出该定点2018-201
7、9学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）直线l1：x+y30和l2：x+ay+30垂直，则实数a（）A1B1C1或1D3【分析】由1+a0，解得a即可得出【解答】解：由1+a0，解得a1故选：A【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）若命题p：x0R，x02+x0+10，则p为（）AxR，x2+x+10BxR，x2+x+10CxR，x2+x+10DxR，x2+x+10【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行
8、判断即可【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：xR，x2+x+10，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）某校高三年级共有学生900人，将其编号为1，2，3，900并从小到大依次排列，现用系统抽样的方法从中抽取一个容量为45的样本，若抽取的第一个样本编号为5，则第三个样本的编号为（）A15B25C35D45【分析】求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可【解答】解：样本间隔为9004520，若抽取的第一个样本编号为5，则第三个样本的编号为5+22045，故选：D【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键4（5分）若“x0”是“x1”
9、的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件的定义来判断【解答】解：x0推不出x1x1x0，“x0”是“x1”的必要而不充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键5（5分）ABC中，若A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，1，6），则该三角形的形状是（）A锐角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形【分析】利用空间中两点间距离公式及勾股定理得到AB2+BC2AC2，且ABBC，从而ABC为等腰直角三角形【解答】解：A（2，4，3），B（4，1，9），C（
10、10，1，6），AB7，BC7，AC7，AB2+BC2AC2，且ABBC，ABC为等腰直角三角形故选：D【点评】本题考查三角形形状地判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两点间距离公式及勾股定理的合理运用6（5分）直线l：截圆x2+y212所得弦长为（）ABC6D3【分析】求出圆心和半径，以及圆心到直线的距离，结合直线和圆相交的弦长公式进行求解即可【解答】解：圆心为O（0，0），半径R，圆心到直线的距离d，则直线截圆所得的弦长l222，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆相交的弦长公式的应用，求出圆的半径以及圆心到直线的距离是解决本题的关键7（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（
11、）ABCD【分析】直接利用程序框图的应用求出结果【解答】解：执行循环前：k1，S1在执行第一次循环时，S1由于k23，所以执行下一次循环S，k3，直接输出S，故选：B【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用8（5分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则BC与A1D所成角是（）A30B45C60D90【分析】证明BCA1O推出BC平面A1CD通过直线与平面垂直的性质定理证明BCA1D由此能求出BC与A1D所成角【解答】解：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O平面BCD又BC平面BCD，所以BCA1O又
12、BCCO，COA1OO，CO平面A1CD，A1O平面A1CD，所以BC平面A1CD又A1D平面A1CD，所以BCA1D故BC与A1D所成角90故选：D【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质、平面与平面垂直的判定定理的应用，考查运算求解能力，是中档题9（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y1）21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为（）A（x+2）2+（y2）21B（x2）2+（y+2）21C（x+2）2+（y+2）21D（x2）2+（y2）21【分析】求出圆C1：（x+1）2+（y1）21的圆心坐标，关于直线xy10对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程【解答】解：圆C
13、1：（x+1）2+（y1）21的圆心坐标（1，1），关于直线xy10对称的圆心坐标为（2，2）所求的圆C2的方程为：（x2）2+（y+2）21故选：B【点评】本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键10（5分）三棱锥PABC中，ACBC，PA平面ABC，ACBC2，PA4，则PC和平面PAB所成角的正切值为（）A1BCD【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC和平面PAB所成角的正切值【解答】解：三棱锥PABC中，ACBC，PA平面ABC，ACBC2，PA4，以
14、C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（2，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），（2，0，4），（0，0，4），（2，2，4），设平面PAB的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设PC和平面PAB所成角为，PC和平面PAB所成角的正弦值：sin|cos，|PC和平面PAB所成角的正切值为故选：B【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题11（5分）若点P（x，y）在圆x2+y21上运动，则的最大值是（）AB1C
15、D2【分析】由题意画出图形，再由的几何意义，即圆上的动点（x，y）与定点（）连线的斜率求解【解答】解：如图，的几何意义为圆上的动点（x，y）与定点（）连线的斜率设过（）的圆的切线方程为y+1k（x+），即kxy+0由，解得k0或k的最大值是故选：C【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是基础题12（5分）已知三棱锥SABC中，SASBSC1，且SA、SB、SC两两垂直，P是三棱锥SABC外接球面上一动点，则P到平面ABC的距离的最大值是（）ABCD【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的
16、距离，即可求出点P到平面ABC的距离的最大值【解答】解：三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SCSA，且SASBSC1，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，正方体的体对角线长为，则外接球半径R球心到平面ABC的距离为d，点Q到平面ABC的距离的最大值为R+d故选：C【点评】本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若直线l1：xy+30和l2：x+（a2）y10平行，则实数a1【分析】由a2（1）0，解得a经过验证即可得出【解答】解：由a2（1）
17、0，解得a1经过验证可得满足条件a1故答案为：1【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）将一枚均匀的骰子抛两次，则“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是【分析】基本事件总数n6636，利用列举法求出第一次所抛点数比第二次所抛点数大包含的基本事件有15个，由此能求出“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率【解答】解：将一枚均匀的骰子抛两次，基本事件总数n6636，第一次所抛点数比第二次所抛点数大包含的基本事件有15个，分别为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5
18、，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），则“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知命题p：xR，ax2+ax+10为真命题，则实数a的取值范围是0，4）【分析】直接利用分类讨论思想和二次函数的性质求出结果【解答】解：当a0时，10恒成立，故：该命题p为真命题当a0且a24a0时，解得0a4由得：实数a的取值范围是0，4）故答案为：0，4）【点评】本题考查的知识要点：命题的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力及分类讨论思想的应用，属基础题
19、型16（5分）正三角形ABC边长为，其所在平面上有点P、Q满足：，则的最大值为【分析】由向量的坐标运算及向量的模的运算得：|2，由三角函数的最值问题得：因为1sin1所以当sin1时，取最大值为，得解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（，3），C（2，0），由，得：P（cos，sin），由，得：Q（，），所以（，），所以|2，又1sin1，所以当sin1时，取最大值为，故答案为：【点评】本题考查了向量的坐标运算及向量的模的运算、三角函数的最值问题，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知三角形的三个顶点A（2
20、，0），B（4，4），C（0，2），（1）求AC边所在直线方程；（2）求线段BC的中垂线所在直线方程【分析】（1）由A（2，0），C（0，2），利用截距式可得直线AC所在直线方程（2）由B（4，4），C（0，2）知BC中点为（2，1），又，可得线段BC的中垂线斜率为，即可得出线段BC的中垂线所在直线方程【解答】解：（1）由A（2，0），C（0，2）知直线AC所在直线方程为：即：xy+20（4分）（2）由B（4，4），C（0，2）知BC中点为（2，1）（6分）又，所以线段BC的中垂线斜率为（8分）所以线段BC的中垂线所在直线方程为：即：2x3y70（10分）【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的
21、关系、截距式、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（2）用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在105，115）中的概率【分析】（1）由频率分布直方图，能估计这50名同学的数学平均成绩（2）由频率分布直方图得分数低于115分的同学有12人，则用分层抽样抽取6人中，分数在95，105）有1人，用a表示，分数在105，115）中的有5人，用b1，b2，b3，b4，b5表示，利用列举
22、法能求出这两名同学分数均在105，115）中的概率【解答】（本大题12分）解：（1）由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：123.6（4分）（2）由频率分布直方图得分数低于115分的同学有（100.004+100.02）5012人，则用分层抽样抽取6人中，分数在95，105）有1人，用a表示，分数在105，115）中的有5人，用b1，b2，b3，b4，b5表示，则基本事件有（a，b1），（a，b2），（a，b3），（a，b4），（a，b5），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），
23、（b4，b5），共15个，满足条件的基本事件为（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b1，b5），（b2，b3），（b2，b4），（b2，b5），（b3，b4），（b3，b5），（b4，b5），共10个，所以这两名同学分数均在105，115）中的概率为：（12分）【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD中，ABDC，ABAD，又CBPB，ABADPD3，E为PC中点（1）求证：BC平面PBD；（2）求证：BE平面PAD【分析】（1）连结BD，推
24、导出BCPD，CBPB，由此能证明BC平面PBD（2）取CD中点O，连结BO，EO，推导出BCBD，ABBOCD，从而EOPD，BOAD，进而平面BOE平面PAD，由此能证明BE平面PAD【解答】证明：（1）连结BD，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，BCPD，又CBPB，PBPDPBC平面PBD（2）取CD中点O，连结BO，EO，ABDC，ABAD，CBPB，ABADPD3，E为PC中点，BC平面PBD，BCBD，ABBOCD，EOPD，BOAD，BOEOO，ADPDD，平面BOE平面PAD，BE平面BOE，BE平面PAD【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面
25、面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（12分）对某城市居民家庭年收入x（万元）和年“享受资料消费”y（万元）进行统计分析，得数据如表所示 x681012y2356（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）若某家庭年收入为18万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？（参考公式：，）【分析】（1）由表中数据结合已知求得，的值，则线性回归方程可求；（2）把x18代入线性回归方程求得y值，则答案可求【解答】解：（1）由数据求得，则，故y关于x的线性回归方程为：；（2）当x18时，由线性回归方程求得，故家庭年收入为18万元时，预测该家庭年“享受资料消费”
26、为10.3万元【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题21（12分）如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，ABCD是平行四边形，BCD45，平面ABCD平面CDEF，FBFC（1）求证：BFCD；（2）若，BF与平面ABCD所成角为45，求该五面体的体积V；【分析】（1）过F作FODC于O，连接BO，推导出FO平面ABCD，从而FOOB，推导出COOB，即DCOB，从而CD平面FOB，由此能证明BFCD（2）由ABCD，知AB平面CDEF，从而ABEF，由此该五面体的体积VVAEFOD+VFABCO，进而能求出结果【解答】证明：（1）过F作FODC于O，连接BO，
27、平面ABCD平面CDEF，且交线为CD，FO平面ABCD，而BO平面ABCD，FOOB，又FBFC，FOBFOC，OCOB，而BCD45，COOB，即DCOB，又FOOBO，CD平面FOB，而BF平面FOB，BFCD（6分）解：（2）由ABCD知AB平面CDEF，而平面ABEF平面CDEFEF，ABEF（8分）由（1）知COB为等腰直角三角形，而，BOCODO1，又由（1）知FBO为BF与平面ABCD所成角，FOBO1，而FO平面ABCD，BO平面CDEF，VVAEFOD+VFABCO（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查五面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识
28、，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知圆O：x2+y22，直线l：ykx2（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点，若过定点，则求出该定点【分析】（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r，由此能求出k（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：ykx2代入x2+y22，得（1+k2）x24kx+20，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围（3）由题意
29、知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y22上，求出直线CD：（x）t2y20，联立方程组能求出直线CD过定点（）【解答】解：（1）圆O：x2+y22，直线l：ykx2直线l与圆O相切，圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r，即d，解得k1（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：ykx2代入x2+y22，整理，得（1+k2）x24kx+20，（4k）28（1+k2）0，即k21，当AOB为锐角时，x1x2+y1y2x1x2+（kx12）（kx22）（1+k2）x1x22k（x1+x2）+40，解得k23，又k21，或1k故k的取值范围为（）（1，）（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为x（xt）+y（y）0，又C，D在圆O：x2+y22上，lCD：tx+，即（x）t2y20，由，得，直线CD过定点（）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
