1、2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分1（5分）已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）A60B30C60或120D30或1502（5分）圆x2+y22x2y+10的半径为（）A1B3C2D53（5分）抛物线y2x2的准线方程是（）ABCD4（5分）直线2x+y30用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）ABy2x+3Cy32（x0）D5（5分）在空间直角坐标系中，点M（1，4，2）关于平面yOz对称的点的坐标是（）AM（1，4，2）BM（1，4，2）CM（1，4，2）DM（1，4，2）6（5分）经
2、过直线2x+y20和xy10的交点，且与中直线3x+2y20垂直的直线方程是（）A3x2y10B2x3y10C2x3y20D3x2y207（5分）设村庄外围所在曲线的方程可用（x2）2+（y+3）24表示，村外一小路方程可用xy+20表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（）ABCD8（5分）椭圆与具有相同的（）A长轴B焦点C离心率D顶点9（5分）已知圆（x3）2+（y+3）29的圆心为C及点M（1，2），则过M且使圆心C到它的距离最大的直线方程为（）A2xy40Bx2y40C3x2y10D2x3y1010（5分）设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标
3、原点，则OAB的面积为（）ABCD11（5分）已知F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A（1，+）B（0，3C（1，3D（0，212（5分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点A（1，0），直线FA与抛物线C交于点（P在第一象限内），与其准线交于点Q，若，则点P到y轴距离为（）ABCD二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）如果直线l与直线3x+5y40垂直，则直线l的斜率为 14（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+1所截得的线段的中点，则l的方程是 15（5分）从点P（
4、3，6）作圆x2+y24的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 16（5分）设F1，F2是椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点，过F2的直线l与C交于A，B两点若ABAF1，且|AB|：|AF1|4：3，则椭圆的离心率为 三、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知圆过两点A（2，3），B（1，3），且圆心在直线3xy20上，求此圆的标准方程18（12分）已知直线l1：x+a2y+10、l2：（a2+1）xby+30（a，bR）（）若l1l2，求b的取值范围；（）若l1l2，求|ab|的最小值19（12分）已知抛物线C的顶点在原点，且其准线
5、为y1（1）求抛物线C的标准方程；（2）如果直线l的方程为：y2x+4，且其与抛物线C交于A，B两点，求AFB的面积20（12分）已知双曲线C：的上焦点为F（0，c）（1）若双曲线C是等轴双曲线，且c2，求双曲线的标准方程；（2）若经过原点且倾斜角为30的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程21（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点
6、P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的两个焦点分别为F1（，0）、F2（，0），且点P（1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左顶点为D，过点Q（，0）的直线m与椭圆C相交于异于D的不同两点A、B，求ABD的面积S的最大值2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分1（5分）已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）A60B30C60或120D30或150【分析】由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由
7、倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角【解答】解：直线l的斜率的绝对值等于，直线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则0，180），则tan，或tan，60或120，故选：C【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想2（5分）圆x2+y22x2y+10的半径为（）A1B3C2D5【分析】利用配方将圆的一般方程配成标准方程即可求出圆的半径【解答】解：圆的标准方程为（x1）2+（y1）21，则半径为1，故选：A【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，利用配方法配成标准方程是解决本题的关键比较基础3（5分）抛物线y2x2的准线方程是（）ABCD【分
8、析】先把其转化为标准形式，再结合其准线的结论即可求出结果【解答】解：y2x2；x2y；2p又因为焦点在Y轴上，所以其准线方程为y故选：D【点评】本题主要考察抛物线的基本性质，解决抛物线准线问题的关键在于先转化为标准形式，再判断焦点所在位置4（5分）直线2x+y30用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（）ABy2x+3Cy32（x0）D【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，可得结论【解答】解：直线2x+y30用斜截式表示为y2x+3，故选：B【点评】本题主要考查直线方程的几种形式，把一般式化为斜截式，属于基础题5（5分）在空间直角坐标系中，点M（1，4，2）关于平面yOz对称的点的坐标是（）A
9、M（1，4，2）BM（1，4，2）CM（1，4，2）DM（1，4，2）【分析】根据空间直角坐标系中点M（x，y，z）关于平面yOz对称点的坐标是M（x，y，z），写出即可【解答】解：空间直角坐标系中，点M（1，4，2）关于平面yOz对称的点的坐标是M（1，4，2）故选：B【点评】本题考查了空间中点关于坐标平面的对称问题，是基础题6（5分）经过直线2x+y20和xy10的交点，且与中直线3x+2y20垂直的直线方程是（）A3x2y10B2x3y10C2x3y20D3x2y20【分析】解得交点P，设与直线3x+2y20垂直的直线方程是2x3y+m0，把点P代入解得m即可得出【解答】解：联立可得x1
10、，y0，即交点（1，0），设与直线3x+2y20垂直的直线方程是2x3y+m0，把点（1，0）代入可得：20+m0，解得m2要求的直线方程为：2x3y20故选：C【点评】本题考查了直线交点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）设村庄外围所在曲线的方程可用（x2）2+（y+3）24表示，村外一小路方程可用xy+20表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（）ABCD【分析】由已知求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，减去半径得答案【解答】解：圆（x2）2+（y+3）24的圆心坐标为C（2，3），半径r2，圆心C到直线xy+20的距离d，圆上的点到直线距离的最
11、小值为即从村庄外围到小路的最短距离为故选：B【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础的计算题8（5分）椭圆与具有相同的（）A长轴B焦点C离心率D顶点【分析】求出两个椭圆的离心率，即可得到选项【解答】解：椭圆的离心率为：；d的离心率为：，所以椭圆与具有相同的离心率故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基本知识的考查9（5分）已知圆（x3）2+（y+3）29的圆心为C及点M（1，2），则过M且使圆心C到它的距离最大的直线方程为（）A2xy40Bx2y40C3x2y10D2x3y10【分析】由题意可知，C（3，3）到直线l的距离d|CM|，当lCM时，d|CM|为所求距
12、离的最大值，进而可求【解答】解：由题意可知，C（3，3）到直线l的距离d|CM|，当lCM时，d|CM|为所求距离的最大值，kCM，所以所求直线的斜率k2，直线方程为y+22（x1）即2xy40，故选：A【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键的是确定满足题意的直线与CM垂直10（5分）设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）ABCD【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把OAB的面积
13、表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案【解答】解：由y22px，得2p3，p，则F（，0）过A，B的直线方程为y（x），即xy+联立 ，得4y212y90设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y23，y1y2SOABSOAF+SOFB|y1y2|故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题11（5分）已知F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A（1，+）B（0，3
14、C（1，3D（0，2【分析】由定义知：|PF2|PF1|2a，|PF2|2a+|PF1|，当且仅当 ，即|PF1|2a时取得等号再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围【解答】解：由定义知：|PF2|PF1|2a，|PF2|2a+|PF1|，当且仅当 ，即|PF1|2a时取得等号设P（x0，y0） （x0a）由焦半径公式得：|PF1|ex0a2aex03ae3又双曲线的离心率e1e（1，3故选：C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用12（5分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点A（1，0），直线FA与抛物线C交于点（P在第一象限内），与其准
15、线交于点Q，若，则点P到y轴距离为（）ABCD【分析】先求出直线AF的方程，再求出点Q的坐标，根据若，即可求出答案【解答】解：抛物线C：x22py（p0）的焦点为F（0，），其准线方程为y，A（1，0），直线AF的方程为y（x1），由，解得x2，y，则Q（2，），（2xP，yp）（xP，yp1），2xPxP，xP22故点P到y轴距离为22故选：B【点评】本题考查了抛物线的性质，直线方程，向量的运算，属于基础题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）如果直线l与直线3x+5y40垂直，则直线l的斜率为【分析】根据直线垂直，斜率之积为1即可求解【解答】解：直线l与直线3x+5y
16、40垂直，且3x+5y40的斜率k，则直线l的斜率k故答案为：【点评】本题主要考查了两直线垂直条件的应用，属于基础试题14（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+1所截得的线段的中点，则l的方程是x+2y80【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k再由由点斜式可得l的方程【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k由点斜式可得l的方程为x+2y80【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”15（5分）从点P（3，6）作圆x2+y24的切线，切点分
17、别为A，B，则直线AB的方程为3x+6y40【分析】求出以P（3，6）、C（0，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的直线方程【解答】解：圆x2+y24的圆心为C（0，0），半径为2，以P（3，6）、C（0，0）为直径的圆的方程为（x）2+（y3）2，化为一般方程是x2+y23x6y0；将两圆的方程相减可得公共弦AB的直线方程为3x+6y40故答案为：3x+6y40【点评】本题考查了直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，是基础题16（5分）设F1，F2是椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点，过F2的直线l与C交于A，B两点若ABAF1，且|AB|：|AF1|4：3
18、，则椭圆的离心率为【分析】通过比例关系，设|AB|4t，|AF1|3t，由椭圆的定义得a3t，然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：设|AB|4t，|AF1|3t，因ABAF1，则|BF1|5t，由椭圆的定义得|AB|+|AF1|+|BF1|4a，即12t4a，a3t，所以|AF2|3t，2c|F1F2|a，则椭圆的离心率为e故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题三、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知圆过两点A（2，3），B（1，3），且圆心在直线3xy20上，求此圆的标准方程【分析】先出圆心坐标，利用圆心
19、在3xy20上，建立条件关系即可得到结论【解答】解：由已知得：AB的垂直平分线方程为：代入直线3xy20得圆心：（，）又半径r2，则圆的方程为：【点评】本题主要考查圆的标准方程的求解，根据条件利用待定系数法是解决本题的关键18（12分）已知直线l1：x+a2y+10、l2：（a2+1）xby+30（a，bR）（）若l1l2，求b的取值范围；（）若l1l2，求|ab|的最小值【分析】（）通过l1l2，斜率相等，截距不相等，推出关系式，然后求b的取值范围；（）利用l1l2，得到aba+，然后利用基本不等式求|ab|的最小值【解答】解：（1）l1l2k1k2且b1b2 且 （a20，b0）ba4a2
20、 且 b6此时 b0且b6若a20则l1：x+10、l2：xby+30 此时b0综上 b（，6）（6，0（2）依题意 （a2+1）11a2（b）a2+1a2b，aba+，又|ab|0当且仅当a即a1时等号成立a+2|ab|2，|ab|min2【点评】本题考查直线与直线的平行与垂直，基本不等式的应用，考查计算能力19（12分）已知抛物线C的顶点在原点，且其准线为y1（1）求抛物线C的标准方程；（2）如果直线l的方程为：y2x+4，且其与抛物线C交于A，B两点，求AFB的面积【分析】（1）可设抛物线的方程为x22py，p0，求得准线方程，由题意可得p，进而得到抛物线方程；（2）联立直线方程和抛物线
21、方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式计算可得所求值【解答】解：（1）可设抛物线的方程为x22py，p0，准线方程为y，由抛物线的准线方程为y1可得p2，则抛物线方程为x24y；（2）联立得x28x160，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x28，x1x216，设直线y2x+4与y轴的交点为D，则D（0，4），又抛物线的焦点坐标为F（0，1），则SAFB|DF|x1x2|3812【点评】本题考查抛物线的方程和性质，直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题20（12分）已知双曲线C：的上焦点为F（0，c）（1）若双曲线C是等轴双曲线，且c2，求双
22、曲线的标准方程；（2）若经过原点且倾斜角为30的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程【分析】（1）由等轴双曲线的定义可得ab，再由abc的关系，可得a，b的值，进而得到双曲线的标准方程；（2）求得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，以及离心率公式，解方程可得e，再由e21+，可得渐近线的斜率，进而得到渐近线方程【解答】解：（1）由双曲线为等轴双曲线，则ab，又c2，则a2+b2c24，a2b22，故双曲线的标准方程为；（2）由题意得|OA|c，又OA的倾斜角为300，则，代入双曲线方程得，结合c2a2+b
23、2，得c48a2c2+4a40，解得，故，又e21+，则，则渐近线方程为：【点评】本题考查双曲线的方程和运用，考查待定系数法和方程思想，化简运算能力，属于中档题21（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据圆弧 C1所在圆的方程为 x2+y2169，可得M，N的坐标，从而可得直线AM的方程为 y62（x17），进而可求圆弧 C2所在圆的圆
24、心为 （14，0），圆弧C2 所在圆的半径为291415，故可求圆弧C2 的方程；（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PAPO，得x2+y2+2x290，分别与圆弧方程联立，即可知这样的点P不存在【解答】解：（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x2+y2169，令x5，解得M（5，12），N（5，12）2分则直线AM的中垂线方程为 y62（x17），令y0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0），又圆弧C2 所在圆的半径为291415，所以圆弧C2 的方程为（x14）2+y2225（5x29）5分（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PAPO，得x2+y2+2x290 8分由，解得x70
25、（舍去） 9分由，解得 x0（舍去），综上知，这样的点P不存在10分【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的两个焦点分别为F1（，0）、F2（，0），且点P（1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左顶点为D，过点Q（，0）的直线m与椭圆C相交于异于D的不同两点A、B，求ABD的面积S的最大值【分析】（1）由题意可得c，代入P的坐标，可得a，b的方程，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得D，设出直线m的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，结合三
26、角形的面积公式，化简计算结合对勾函数的单调性，可得所求最大值【解答】解：（1）F1（，0）、F2（，0），且点P（1，）在椭圆C上可得c，即a2b22，+1，解得a2，b，则椭圆方程为+1，（2）D（2，0），过点Q（，0）的直线m的方程为xty，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得（18+9t2）y212ty320，144t2+432（18+9t2）0恒成立，可得y1+y2，y1y2，|AB|12，D到直线m的距离为d，令（4），则Sd|AB|，由u+在4递增，可得S在4递减，则S在4即t0，S取得最大值【点评】本题考查椭圆方程的求法，三角形的面积的最值求法，注意运用椭圆的性质和联立直线方程和椭圆方程，以及点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于中档题
