1、2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高二（上）9月月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）如图直线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则有（）A123B132C321D2132（5分）若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线的倾斜角是（）A30B45C6 0D903（5分）已知直线l1的倾斜角为60，直线l2经过点A（1，），B（2，2），则直线l1，l2的位置关系是（）A平行或重合B平行C垂直D重合4（5分）下列四个说法中，正确说法的个数是（）经过定点P0（x0，y0）的直线，都可以
2、用方程yy0k（xx0）来表示：经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线P1P2，都可以用方程（yy1）（x2x1）（xx1）（y2y1）来表示；在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程都可以用1表示；经过点（0，b）的直线，都可以用方程ykx+b来表示A0个B1个C2个D4个5（5分）直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）ABCy3x3D6（5分）椭圆+y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|（）ABCD47（5分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（
3、）A1条B2条C3条D4条8（5分）圆x2+y22x+4y+30的圆心到直线xy1的距离为：（）A2BC1D9（5分）设定点M1（0，3），M2（0，3），动点P满足条件|PM1|+|PM2|a+（其中a是正常数），则点P的轨迹是（）A椭圆B线段C椭圆或线段D不存在10（5分）方程lg（x2+y21）0所表示的曲线的图形是（）ABCD11（5分）设圆（x+1）2+y225的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD12（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且MF1F2的内切圆的周长等于3，则满
4、足条件的点M有（）个A0B1C2D4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案直接填在答题卡中的横线上.13（5分）若直线l1：yk（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点 14（5分）过点A（2，4）向圆x2+y24引切线AB，AC（B，C是切点）；则线段BC的长为 15（5分）经过点P（0，2）作直线l，若直线与过A（2，3），B（2，1）的线段总没有公共点，则直线l斜率的取值范围是 16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y22mx4y+m2280内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的
5、取值范围为 三.解答题：本大题共4小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（15分）已知直线l经过两条直线2x3y+100和3x+4y20的交点，求分别满足下列条件的直线l的方程：（1）垂直于直线3x2y+40；（2）平行于直线4x3y7018（15分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，且有|PM|PO|（O为坐标原点），求|PM|的最小值19（20分）已知直线x2y+20经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，
6、直线AS，BS与直线分别交于M，N两点（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值20（20分）如图，已知定圆C：x2+（y3）24，定直线m：x+3y+60，过A（1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点（）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（）当时，求直线l的方程；（）设t，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高二（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）如图直
7、线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则有（）A123B132C321D213【分析】由图象可得：tan3tan20tan1，再利用正切函数的单调性即可得出【解答】解：由图象可得：tan3tan20tan1，故选：B【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线的倾斜角是（）A30B45C6 0D90【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，求得倾斜角的值【解答】解：直线过点（1，2），（4，2+），直线的斜率为 k设直线的倾斜角为，则0180，由tan，可得30
8、，故选：A【点评】本题主要考查直线的斜率公式、直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题3（5分）已知直线l1的倾斜角为60，直线l2经过点A（1，），B（2，2），则直线l1，l2的位置关系是（）A平行或重合B平行C垂直D重合【分析】因为直线l2经过点A（1，），B（2，2），可以求出直线l2的斜率，进而得到它与直线l1的位置关系【解答】解：因为直线l2经过点A（1，），B（2，2），所以直线l2的斜率k2，又直线l的倾斜角为60，所以直线l的斜率ktan60，所以直线l1与直线l2平行或重合，故选：A【点评】本题考查了直线的位置关系，解题时要注意斜率相等，两直线平行或重合本题属于基础题4（5分）
9、下列四个说法中，正确说法的个数是（）经过定点P0（x0，y0）的直线，都可以用方程yy0k（xx0）来表示：经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线P1P2，都可以用方程（yy1）（x2x1）（xx1）（y2y1）来表示；在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程都可以用1表示；经过点（0，b）的直线，都可以用方程ykx+b来表示A0个B1个C2个D4个【分析】考虑直线的斜率不存在，可判断；由截距为0，可判断；由直线方程的两点式和直线的斜率不存在，即可判断【解答】解：经过定点P0（x0，y0）的直线，不都可以用方程yy0k（xx0）来表示，比如直线的斜率不存在，故错误；经
10、过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线P1P2，都可以用方程（yy1）（x2x1）（xx1）（y2y1）来表示，故正确；在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程不都可以用1表示，比如ab0，故错误；经过点（0，b）的直线，不都可以用方程ykx+b来表示，比如直线的斜率不存在，故错误其中正确的个数为1故选：B【点评】本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率不存在和截距为0，考查方程思想和判断能力，属于基础题5（5分）直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）ABCy3x3D【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程【解答】
11、解：直线y3x绕原点逆时针旋转90两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选：A【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题6（5分）椭圆+y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|（）ABCD4【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案【解答】解：椭圆的左准线方程为xe，|PF2|故选：C【点评】本题主要考查了椭圆的定义也可以利用通经与第定义求解，属基础题7（5分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A1条B2条C3条D4条【分析】由题意，A
12、、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可【解答】解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求故选：B【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想，是基础题8（5分）圆x2+y22x+4y+30的圆心到直线xy1的距离为：（）A2BC1D【分析】先求圆心坐标，然后用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：圆x2+y22x+4y+30的圆心（1，2），它到直线xy1的距离：故选：D【点评】本题考查点到直线的距离公式，圆的一般方程，是基础题9（5分）设定点M1（0，3），M2（0，3），动点P满足条件|PM1|+|PM2|a+
13、（其中a是正常数），则点P的轨迹是（）A椭圆B线段C椭圆或线段D不存在【分析】根据基本不等式求得a+的最小值，利用椭圆的定义进行判断可得答案【解答】解：a是正常数，a+26，当|PM1|+|PM2|6时，点P的轨迹是线段M1M2；当a+6时，点P的轨迹是椭圆，故选：C【点评】本题考查了椭圆的定义，考查了基本不等式的应用，特别要注意点的轨迹是椭圆的条件10（5分）方程lg（x2+y21）0所表示的曲线的图形是（）ABCD【分析】方程x1（y0），或 x2+y22（x1），由此得到方程表示的曲线【解答】解：方程lg（x2+y21）0，即：x1（y0），或 x2+y22（x1），表示一条直线x1（去
14、掉点（1，0）以及圆 x2+y22位于直线x1右侧的部分，故选：D【点评】本题主要考查函数的图象，方程的曲线，属于基础题11（5分）设圆（x+1）2+y225的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）ABCD【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|MQ|，又|MQ|+|MC|半径5，故有|MC|+|MA|5|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），AQ的垂直平分线交CQ于M，|MA|MQ| 又|MQ|+|M
15、C|半径5，|MC|+|MA|5|AC|依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a5，c1，b，故椭圆方程为 1，即 故选：D【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MA|5|AC|，是解题的关键和难点12（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且MF1F2的内切圆的周长等于3，则满足条件的点M有（）个A0B1C2D4【分析】设MF1F2的内切圆的半径等于r，根据2r3，求得 r 的值，由椭圆的定义可得 MF1 +MF22a，故MF1F2的面积等于 （ MF1 +MF2+2c ）r8r，又MF1F2的面积等于 2cyM12，求出y
16、M的值，可得答案【解答】解：设MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得 2r3，r由椭圆的定义可得 MF1 +MF22a10，又 2c6，MF1F2的面积等于 （ MF1 +MF2+2c ）r8r12又MF1F2的面积等于 2c|yM|12，|yM|4，故 M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，故选：C【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出 yM4，是解题的关键，属于中档题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案直接填在答题卡中的横线上.13（5分）若直线l1：yk（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（0，2）【分析】直线l
17、1：yk（x4）经过定点M（4，0），而点M关于点（2，1）对称点为N（0，2），则点N（0，2）在直线l2上，由此得到答案【解答】解：直线l1：yk（x4）经过定点M（4，0），而点M关于点（2，1）对称点为N（0，2），又直线l1：yk（x4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点N（0，2），故答案为（0，2）【点评】本题主要考查直线过定点问题，求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题14（5分）过点A（2，4）向圆x2+y24引切线AB，AC（B，C是切点）；则线段BC的长为【分析】判断点A位置，可知切线方程条数，若k存在和不
18、存在设出方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解k即可求得切线方程，联立直线与圆的方程，解得切点坐标，进而求出线段BC的长【解答】解：过点A（2，4）向圆x2+y24引的切线方程22+42204，点A在圆外，必有两条切线方程当斜率k不存在时，切线方程为x2，圆心到直线的距离等于2，显然，x2为所求切线之一；切点为B（2，0）当斜率k存在时，设切线方程为y4k（x2），即kxy+42k0圆心到直线的距离d，解得：k切线方程为3x4y+100解得x，yC故得线段BC的长为：故答案为：【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点间距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式
19、方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键15（5分）经过点P（0，2）作直线l，若直线与过A（2，3），B（2，1）的线段总没有公共点，则直线l斜率的取值范围是：【分析】先求l与线段AB有公共点时l的斜率范围，进而可以得到l与线段AB没有公共点时的斜率范围【解答】解：设直线l的斜率为k，直线AP的斜率为kAP，直线BP的斜率为kBP，当直线l与线段AB有公共点时，kkAP或者，kkBP，即当直线l与线段AB有公共点时，k或者k，所以当直线l与线段AB没有公共点时，故答案为：，【点评】本题考查了直线相交问题、斜率计算公式，属于基础题16（5分）在平面直角
20、坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y22mx4y+m2280内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为（32，323+2，3+2）【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论【解答】解：圆的标准方程为（xm）2+（y2）232，则圆心C（m，2），半径r4，SABCr2sinACB16sinACB，当ACB90时S取最大值16，此时ABC为等腰直角三角形，AB8，则C到AB距离，4PC4，即44，16（m3）2+432，即12（m3）228，解得32m32
21、或3+2m3+2，点P（3，0）在圆C：x2+y22mx4y+m2280内，|PC|，即（m3）228，即2m32，即32m3+2，故答案为：（32，323+2，3+2）【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键综合性较强，难度较大三.解答题：本大题共4小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（15分）已知直线l经过两条直线2x3y+100和3x+4y20的交点，求分别满足下列条件的直线l的方程：（1）垂直于直线3x2y+40；（2）平行于直线4x3y70【分析】联立直线方程解方程组可得直线交点，由垂直关系或平行可得直线斜率
22、，可得直线方程【解答】解：由，可得x2，y2，直线2x3y+100和3x+4y20的交点为（2，2），（1）直线l与直线3x2y+40垂直，l的斜率为，直线l的方程为y2（x+2），即2x+3y20，（2）直线l与直线4x3y70平行，l的斜率为，直线l的方程为y2（x+2），即4x3y+140，【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的平行关系，属基础题18（15分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，且有|PM|PO|（O为坐标原点），求|PM|的最小值【分
23、析】（1）根据条件设出切线方程为x+ya（a0），根据直线与圆相切，则圆心C（1，2）到切线的距离等于半径，求得a，即得切线方程；（2）根据条件有切线PM与半径CM垂直，|PM|2|PC|2|CM|2，而|PM|PO|，代入点的坐标，解得P满足的直线方程，|PM|的最小值转化为|PO|的最小值，问题转化为求定点O到P所在直线的距离【解答】解：（1）切线在两坐标轴上的截距相等，且截距不为零，设切线方程为x+ya（a0），又圆C：x2+y2+2x4y+30，即（x+1）2+（y2）22，圆心C（1，2）到切线的距离等于半径，解得a1或a3故所求的直线方程为：x+y+10或x+y30（2）设P（x1
24、，y1），切线PM与半径CM垂直，且有|PM|PO|PM|2|PC|2|CM|2+2，整理得2x14y1+30故动点P在直线2x4y+30上，由已知|PM|的最小值就是|PO|的最小值而|PO|的最小值为原点O到直线2x4y+30的距离【点评】本题考查了直线与圆的相切问题，及切线的最值问题，解答时需要数形结合，注意转化思想的运用，属于中档题19（20分）已知直线x2y+20经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值【分析】（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（2，0
25、），上顶点为D（0，1，由此能求出椭圆C的方程（2）设直线AS的方程为yk（x+2），从而由题设条件可以求出，所以，再由均值不等式进行求解【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（2，0），上顶点为D（0，1），a2，b1，故椭圆C的方程为（2）直线AS的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AS的方程为yk（x+2），从而由得（1+4k2）x2+16k2x+16k240设S（x1，y1），则得，从而即，又B（2，0）由得，故，又k0，当且仅当，即k时等号成立k时，线段MN的长度取最小值【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用20（20分）如图，已知定圆C：x2+（y
26、3）24，定直线m：x+3y+60，过A（1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点（）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（）当时，求直线l的方程；（）设t，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由【分析】（）根据已知，容易写出直线l的方程为y3（x+1）将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C（）过A（1，0）的一条动直线l应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|1从而解得斜率K来得出直线l的方程为（）同样，当
27、l与x轴垂直时，要对设t，进行验证当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程充分利用“两根之和”和“两根之积”去找再用两根直线方程联立，去找从而确定t的代数表达式，再讨论t是否为定值【解答】解：（）由已知，故kl3，所以直线l的方程为y3（x+1）将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C（3分）（）当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意；（4分）当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk（x+1），由于，所以|CM|1由，解得故直线l的方程为x1或4x3y+40（8分）（）当l与x轴垂直时，易得M（1，3），又A（1，0）则，故即t5（10分）当l的斜率存在
28、时，设直线l的方程为yk（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k26k）x+k26k+50则，即，又由得，则故t综上，t的值为定值，且t5（14分）另解一：连接CA，延长交m于点R，由（）知ARm又CMl于M，故ANRAMC于是有|AM|AN|AC|AR|由，得|AM|AN|5故（14分）另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（）知ACm，又CMl，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得（14分）【点评】（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况一般是验证特殊，求解一般（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解这种方法通常叫做“设而不求”
