1、2019-2020学年四川省南充高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，较为恰当的抽样方法是（）A简单随机抽样B分层抽样C系统抽样D以上都不对2（5分）下列函数为偶函数的是（）AByx2+e|x|CyxcosxDyln|x|sinx3（5分）已知等差数an，若a210，a51，则an的前7项的和等于（）A112B51C28D184（5分）已知向量（1，2），（m，1），若（），则实数m的值为（）ABC3D35（5分）如图是一个边长为4的正方
2、形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A8B9C10D126（5分）袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为（）A恰好一个白球和全是白球B至少有一个白球和全是黑球C至少有一个白球和至少有2个白球D至少有一个白球和至少有一个黑球7（5分）某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为（）A7B8C9D108（5分）某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践
3、活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（）A7.2B7.16C8.2D79（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为Mod（N，m）r，例如Mod（10，4）2如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著孙子算经中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i（）A8B18C23D3810（5分）已知一个样本为x，1，y，5，其中x，y是方程组的解，则这个样本的标准差是（）A2B5CD11（5分）过点（1，4）斜率为k的直线l与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（）ABCD12（5分）若圆
4、x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）已知两点P（3，1，a），Q（3，b，2）关于坐标平面xOy对称，则a+b 14（5分）圆C：x2+y2+4x12y+390关于直线3x4y+50对称的圆的标准方程是 15（5分）已知有两条直线x+my+60和（m2）x+3y+2m0互相平行，则实数m的值为 16（5分）已知A、B两点分别在两直线l1：2x+6y10，l2：x+3y60上运动，P（x0，y0）是线段AB的中点，且，则的取值范围是 三、解答题（17题10分，1822题每题
5、12分）17（10分）已知关于x，y的方程C：x2+y22x4y+m0（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x2+y28x12y+360外切，求m的值18（12分）南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：分组0，30）30，60）60，90）90，120）120，150）150，180男生人数216191853女生人数32010211若将平均
6、每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动求男生和女生各抽取了多少人；若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率19（12分）已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50求：（1）直线BC的斜截式方程；（2）ABC的面积20（12分）随着人们经济收入的不断增加，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出
7、的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如表的数据资料：使用年限x23456总费用y2.23.85.56.57.0（1）求线性回归方程x+；（2）估计使用年限为12年时，使用该款车的总费用是多少万元？线性回归方程x+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，21（12分）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，PA平面ABC，D为PA中点，PA2AB4（1）求证：BCPC；（2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值22（12分）已知ABC的三顶点坐标分别为A（1，0），B（3，0），C（1，
8、2）（1）求ABC的外接圆圆M的方程；（2）已知动点P在直线x+y50上，过点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F记四边形PEMF的面积为S，求S的最小值；证明直线EF恒过定点2019-2020学年四川省南充高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，较为恰当的抽样方法是（）A简单随机抽样B分层抽样C系统抽样D以上都不对【分析】根据分层抽样的定义可知，该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样【解
9、答】解：因为该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样故选：B【点评】本题主要考查抽样方法的选择，分层抽样主要适用于差异比较明显的样本2（5分）下列函数为偶函数的是（）AByx2+e|x|CyxcosxDyln|x|sinx【分析】容易判断为非奇非偶函数，yxcosx为奇函数，并可通过分别求x1，1时的y值，而说明yln|x|sinx不是偶函数，从而判断出A，C，D都错误，而B的函数是偶函数，从而选B【解答】解：A根据的图象知，该函数为非奇非偶函数，该选项错误；Byx2+e|x|为偶函数，该选项正确；C（x）cos（x）xcosx，yxcosx为奇函数，该选项错误；Dx1时
10、，ysin1；x1时，ysin1；该函数不是偶函数，该选项错误故选：B【点评】考查偶函数的定义，奇函数和非奇非偶函数的定义，举反例说明一个函数不是偶函数的方法3（5分）已知等差数an，若a210，a51，则an的前7项的和等于（）A112B51C28D18【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的前7项的和【解答】解：等差数列an，a210，a51，解得a113，d3，an的前7项的和为：S77a1+713+21（3）28故选：C【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）已知向量
11、（1，2），（m，1），若（），则实数m的值为（）ABC3D3【分析】先求出，根据即可得出12（m+1）0，解出m即可【解答】解：；12（m+1）0；解得m故选：B【点评】考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系5（5分）如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A8B9C10D12【分析】计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积【解答】解：边长为4的正方形二维码面积为4216，设图中黑色部分的面积为S，则，解得S169，据此估计黑色部分的面积为9故选
12、：B【点评】本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用算问题，是基础题6（5分）袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为（）A恰好一个白球和全是白球B至少有一个白球和全是黑球C至少有一个白球和至少有2个白球D至少有一个白球和至少有一个黑球【分析】由已知条件利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【解答】解：袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，恰好一个白球和全是白球不能同时发生，但能同时不发生，恰好一个白球和全是白球是互斥但不对立事件，故A错误；至少有一个白球和全是黑球不能同时发生，也不能同时不发生，至少有一个白球和全是黑球是对立事件，故B正确；至少有一个白球和至少有2个
13、白球能同时发生，至少有一个白球和至少有2个白球不是互斥事件，故C错误；至少有一个白球和至少有一个黑球能同时发生，至少有一个白球和至少有一个黑球不是互斥事件，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用7（5分）某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为（）A7B8C9D10【分析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可【解答】解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只
14、能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x3由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96597+y，又乙班学生的平均分是86，总分又等于867602所以597+y602，解得y5，可得x+y8故选：B【点评】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值8（5分）某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（）A7.2B7
15、.16C8.2D7【分析】由中位数两侧的面积相等，可解出中位数【解答】解：因为在频率分布直方图中，中位数两侧的面积相等，所以0.042+0.122+（x6）0.150.5，可解出x7.2，故选：A【点评】本题主要考查频率分布直方图，中位数，属于基础题9（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为Mod（N，m）r，例如Mod（10，4）2如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著孙子算经中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i（）A8B18C23D38【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，
16、可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余3，被7除余2，最小两位数，故输出的i为23，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题10（5分）已知一个样本为x，1，y，5，其中x，y是方程组的解，则这个样本的标准差是（）A2B5CD【分析】根据题意，分析可得数据的平均数2，由方差公式计算可得s212+x2+y2+52425，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，x，y是方程组的解，则样本x，1，y，5中，有x+1+y+5（x+y）+1+58，其平均数2，其
17、方差s212+x2+y2+52425，则标准差s，故选：D【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据平均数、方差的计算公式，属于基础题11（5分）过点（1，4）斜率为k的直线l与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（）ABCD【分析】由曲线方程得出该曲线为半圆，作出图象，然后根据图象可得，相切时有最小值，经过点（1，1）时有最大值【解答】解：由题意有，曲线方程可化为（x+2）2+（y1）21（y1），其轨迹为直线y1上方的半圆（含与y1的交点），圆心为（2，1）半径r1，直线l的方程为：y4k（x1），即kxyk+40，作出图象：当直线l与半圆相切时，解得或（交点在y1下方，舍去）
18、当直线经过点B（1，1）时，故选：A【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、直线的斜率，属于基础题12（5分）若圆x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果【解答】解：圆x2+y24x4y100整理为，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B【点评】
19、本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）已知两点P（3，1，a），Q（3，b，2）关于坐标平面xOy对称，则a+b1【分析】与点（a，b，c）关于平面xoy对称的点的坐标为（a，b，c）【解答】解：两点P（3，1，a），Q（3，b，2）关于坐标平面xOy对称，a2，b1，则a+b2+11故答案为：1【点评】本题考查代数式值的求法，考查空间直角坐标系中对称点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）圆C：x2+y2+4x12y+390关于直线3x4y+50对称的圆的标准方程是（x4）2+（y+2）21【分析】只要求出已
20、知圆的圆心坐标 关于直线3x4y+50的对称点的坐标，求出半径 就可以得到对称圆的方程【解答】解：圆x2+y2+4x12y+390化为：（x+2）2+（y6）21，圆心O坐标是（2，6），半径R1，直线3x4y+50，与这条直线的垂线斜率为垂线的方程应该是 yx+c，将圆心O（2，6）代入方程，得到经过O点到直线3x4y+50的垂线方程是：yx+垂足是 a（1，2），那么对称点O的坐标是O（4，2），所以求出对称圆的圆心坐标 O（4，2），半径rR1，得到对称圆方程：（x4）2+（y+2）21故答案是：（x4）2+（y+2）21【点评】本题是基础题，考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆
21、心坐标和半径，本题考查函数和方程的思想，注意垂直条件的应用15（5分）已知有两条直线x+my+60和（m2）x+3y+2m0互相平行，则实数m的值为1【分析】由两直线平行的性质可得，由此求得实数m的值【解答】解：由两条直线x+my+60和（m2）x+3y+2m0互相平行可得 ，即，解得 m1，故答案为1【点评】本题主要考查两直线平行的性质，得到 是解题的关键，属于基础题16（5分）已知A、B两点分别在两直线l1：2x+6y10，l2：x+3y60上运动，P（x0，y0）是线段AB的中点，且，则的取值范围是（，）（，+）【分析】设A（m，）、B（ n，），表示出点P的坐标，根据，可得m+n2，由
22、于则，设m+nt，则t2，构造函数f（t），求出函数的值域即可【解答】解：设A（m，）、B（ n，），则中点P（，）P（x0，y0）是线段AB的中点，x0，y0，m+n2，则，设m+nt，则t2，f（t），易知函数f（t）在（，0）上单调递减，在（0，2）上单调递减，当t时，f（t），f（2），故f（t）的范围为（，）（，+），故答案为：（，）（，+）【点评】本题考查了中点坐标公式，函数的值域得求法，函数的单调性，属于中档题三、解答题（17题10分，1822题每题12分）17（10分）已知关于x，y的方程C：x2+y22x4y+m0（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x2+y
23、28x12y+360外切，求m的值【分析】（1）把方程C：x2+y22x4y+m0，配方得：（x1）2+（y2）25m，若方程C表示圆，则5m0，即可求m的取值范围；（2）两圆的位置关系是外切，所以dR+r，即可求m的值【解答】解：（1）把方程C：x2+y22x4y+m0，配方得：（x1）2+（y2）25m，若方程C表示圆，则5m0，解得m5；（2）把圆x2+y28x12y+360化为标准方程得：（x4）2+（y6）216，得到圆心坐标（4，6），半径为4，则两圆心间的距离d5，因为两圆的位置关系是外切，所以dR+r即4+5，解得m4【点评】本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，正确计算是关
24、键18（12分）南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：分组0，30）30，60）60，90）90，120）120，150）150，180男生人数216191853女生人数32010211若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？（2）从这100名学生的“锻炼达人”中
25、按性别分层抽取5人参加某项体育活动求男生和女生各抽取了多少人；若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率【分析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出我校7000名学生中“锻炼达人”的人数（2）100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率【解答】解：（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率
26、视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人）（2）由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故抽取的2人中男生和女生各1人的概率【点评】本题考
27、查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50求：（1）直线BC的斜截式方程；（2）ABC的面积【分析】（1）设点B（m，n），由题意利用三角形中线的性质求出B的坐标，同理可得C的坐标，可得BC斜率，再利用点斜式求出直线BC的的方程（2）先求出线段BC的长度，再利用点到直线的距离公式求出点A到直线BC的距离h，从而求得）ABC的面积【解答】解：（1）设点B（m，n），则点，由已知有，B在高线BH上，M在中线 CM上，故有 故点B（1，3
28、）同理可得点C（4，3），故直线BC的斜率为，故直线BC的方程为，化为斜截式方程为（2）由（1）知，直线BC的一般式方程为6x5y90，BC边上的高，即点A到直线BC的距离，为，三角形ABC的面积为 【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，属于基础题20（12分）随着人们经济收入的不断增加，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如表的数据资料：使用年限x23456总费用y
29、2.23.85.56.57.0（1）求线性回归方程x+；（2）估计使用年限为12年时，使用该款车的总费用是多少万元？线性回归方程x+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x12求得y值即可【解答】解：（1），所求线性回归方程为；（2）当x12时，即使用12年的车的总费用大概为14.84万元【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题21（12分）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，PA平面ABC，D为PA中点，PA2AB4（1）求证：BCPC；（2）求直线BD与平
30、面PBC所成角的正弦值【分析】（1）推导出PABC，BCAC，由此能证明BC平面PAC，从而BCPC（2）推导出BC平面PAC，从而平面PBC平面PAC，作DEPC于点E，连接BE，则DE平面PBC，DBE是直线BD与平面PBC所成的角由此能求出直线BD与平面PBC所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：PA平面ABC，PABC，AB为半圆O的直径，BCAC，又PAACA，故BC平面PAC，BCPC（2）解：由（1）知BC平面PAC，又BC平面PBC，故平面PBC平面PAC，而平面PBC平面PACPC，作DEPC于点E，连接BE，则DE平面PBC故DBE是直线BD与平面PBC所成的角由题意有，由
31、RtPED与RtPAC相似，有，即，又，在RtDEB中，故直线BD与平面PBC所成角的正弦值是【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知ABC的三顶点坐标分别为A（1，0），B（3，0），C（1，2）（1）求ABC的外接圆圆M的方程；（2）已知动点P在直线x+y50上，过点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F记四边形PEMF的面积为S，求S的最小值；证明直线EF恒过定点【分析】（1）设圆M的方程为（xa）2+（yb）2r2（r0），分别代入A，B，C三点，解方程可得a，b，r
32、，可得所求圆M的方程；（2）由三角形的面积公式可得S|PE|EM|2|PE|，结合勾股定理和点到直线的距离公式，可得所求最小值；判断四点P，E，M，F共圆，求得以PM为直径的圆的方程和圆M方程，相减可得直线EF的方程，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点【解答】解：（1）设ABC的外接圆圆M的标准方程为（xa）2+（yb）2r2（r0），根据题意有，故所求的圆M的方程为（x1）2+y24；（2）圆M的圆心M（1，0），半径为2，故当|PM|最小时，S最小|PM|的最小值即为点M（1，0）到直线x+y50的距离，故；证明：由圆的切线性质有PEMPFM90，则PEM+PFM180，P，E，M，F四点共圆，该圆是以PM为直径的圆，设圆心为点N点P是直线x+y50上一动点，设P（m，5m），则圆N的方程为（x1）（xm）+y（y+m5）0x2+y2（m+1）x+（m5）y+m0，则圆M与圆N相交于点E，F，由，消去x2，y2得直线EF的方程为（m1）x（m5）y3m0，即（xy1）mx+5y30，令得，故直线EF恒过定点（2，1）【点评】本题考查圆的方程和应用，考查直线和圆相切的性质，以及直线恒过定点的求法，考查化简运算能力，属于中档题
