1、2018-2019学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A100B150C200D2502（5分）若复数（m2m）+mi为纯虚数，则实数m的值为（）A1B0C1D23（5分）一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x等于（）A21B22C23D244（5分）如图是某
2、公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22，30）内的概率为（）A0.2B0.4C0.5D0.65（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）ABCD6（5分）曲线f（x）x3x+3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）和（1，3）D（1，3）7（5分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x0，则一开始输入的x的值为（）ABCD8（5分）设集合AB1，2，3，4，
3、5，6，分别从集合A和B中随机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P（x，y），记“点P（x，y）满足条件x2+y216”为事件C，则C的概率为（）ABCD9（5分）在区间0，1上任取两个实数a，b，则函数f（x）x2+ax+b2无零点的概率为（）ABCD10（5分）根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到了回归方程x+，则（）A0，0B0，0C0，0D0，011（5分）若函数f（x）x3tx2+3x在区间1，4上单调递减，则实数t的取值范围是（）A（，B（，3C，+）D3，+）12（5分）已知函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
4、A（，0）B（0，）C（0，1）D（0，+）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13（5分）用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为 14（5分）已知复数z满足（1+2i）z4+3i，则|z| 15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E分别为BB1的中点，则AE与CD1所成角的余弦值为 16（5分）若曲线C1：yax2（a0）与曲线C2：yex在（0，+）上存在公共点，则a的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）已知函数f（x）x3+（1a）x2a（a+
5、2）x+b（a，bR）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线yf（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围18（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形
6、，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离20（12分）已知函数，（1）求f（x）在区间（，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值21（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：超过1小时不超过1小时男生208女生12m（）求m，n；（）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过1小时与性别有关？（）以样
7、本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调査6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K222（12分）设函数f（x）ex，g（x）lnx（）证明：；（）若对所有的x0，都有f（x）f（x）ax，求实数a的取值范围2018-2019学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了
8、解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A100B150C200D250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量总体个数抽取比例计算n值【解答】解：分层抽样的抽取比例为，总体个数为3500+15005000，样本容量n5000100故选：A【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键2（5分）若复数（m2m）+mi为纯虚数，则实数m的值为（）A1B0C1D2【分析】利用复数的概念，推出复数的虚部不为0，实部为0，求解即可【解答】解：复数（m2m）+mi为纯虚数，则m2m0且m0，解得m1故选：C
9、【点评】本题考查复数的基本概念的应用，基本知识的考查3（5分）一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x等于（）A21B22C23D24【分析】这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可【解答】解：由条件可知数字的个数为偶数，这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，中位数22，x21故选：A【点评】对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题考查最基本的知识点4（5分）如图是某公司10个销售店某月
10、销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22，30）内的概率为（）A0.2B0.4C0.5D0.6【分析】由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间22，30）内的概率为0.4故选：B【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题5（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）ABCD【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求
11、出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6636事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是，故选：B【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基
12、本事件数是本题的难点6（5分）曲线f（x）x3x+3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）和（1，3）D（1，3）【分析】设P的坐标为（m，n），则nm3m+3，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m的方程，求得m的值，即可得到所求P的坐标【解答】解：设P的坐标为（m，n），则nm3m+3，f（x）x3x+3的导数为f（x）3x21，在点P处的切线斜率为3m21，由切线平行于直线y2x1，可得3m212，解得m1，即有P（1，3）或（1，3），故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函
13、数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题7（5分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x0，则一开始输入的x的值为（）ABCD【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可【解答】解：第一次输入xx，i1第二次输入x2x1，i2，第三次输入x2（2x1）14x3，i3，第四次输入x2（4x3）18x7，i43，第五次输入x2（8x7）116x15，i54，输出16x1
14、50，解得：x，故选：C【点评】解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案8（5分）设集合AB1，2，3，4，5，6，分别从集合A和B中随机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P（x，y），记“点P（x，y）满足条件x2+y216”为事件C，则C的概率为（）ABCD【分析】求出从集合A和B中随机各取一个数x，y的基本事件总数，和满足点P（x，y）满足条件x2+y216的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：集合AB1，2，3，4，5，6，分别从集合A和B中随
15、机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P（x，y），共有6636种不同情况，其中P（x，y）满足条件x2+y216的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，C的概率P（C），故选：A【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键9（5分）在区间0，1上任取两个实数a，b，则函数f（x）x2+ax+b2无零点的概率为（）ABCD【分析】函数f（x）x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论【解答】解：a，b是
16、区间0，1上的两个数，a，b对应区域面积为111若函数f（x）x2+ax+b2无零点，则a24b20，对应的区域为直线a2b0的上方，面积为1，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键10（5分）根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到了回归方程x+，则（）A0，0B0，0C0，0D0，0【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论【解答】解：样本平均数5.5，0.25，24.5，17.5，b1.4，a0.25（1.4）5.57.95，故选：A【点评】本题考
17、查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题11（5分）若函数f（x）x3tx2+3x在区间1，4上单调递减，则实数t的取值范围是（）A（，B（，3C，+）D3，+）【分析】由题意可得f（x）0即3x22tx+30在1，4上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集【解答】解：函数f（x）x3tx2+3x，f（x）3x22tx+3，若函数f（x）x3tx2+3x在区间1，4上单调递减，则f（x）0即3x22tx+30在1，4上恒成立，t（x+）在1，4上恒成立，令y（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在1，4为增函数，当x4时，函数取最大值，t，即实数t的取值范围是，+），故选：C【
18、点评】本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题12（5分）已知函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，1）D（0，+）【分析】先求导函数，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）lnx2ax+1有两个零点，等价于函数ylnx与y2ax1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）x（lnxax），则f（x）lnxax+x（a）lnx2ax+1，令f（x）lnx2ax+10得lnx2ax1，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x
19、）lnx2ax+1有两个零点，等价于函数ylnx与y2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a时，直线y2ax1与ylnx的图象相切，由图可知，当0a时，ylnx与y2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）简解：函数f（x）x（lnxax），则f（x）lnxax+x（a）lnx2ax+1，令f（x）lnx2ax+10得lnx2ax1，可得2a有两个不同的解，设g（x），则g（x），当x1时，g（x）递减，0x1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出yg（x）的图象，可得02a1，即0a，故选：B【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形
20、结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13（5分）用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为【分析】根据题意，由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m被抽到的概率P，化简即可得答案【解答】解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，若在含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率P；故答案为：【点评】本题考查古典概型的计算，涉及随机
21、抽样的性质，属于基础题14（5分）已知复数z满足（1+2i）z4+3i，则|z|【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解【解答】解：（1+2i）z4+3i，z，则|z|故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E分别为BB1的中点，则AE与CD1所成角的余弦值为【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与CD1所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则
22、A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，1），（0，2，2），设AE与CD1所成角为，则cos，AE与CD1所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16（5分）若曲线C1：yax2（a0）与曲线C2：yex在（0，+）上存在公共点，则a的取值范围为，+）【分析】由题意可得，ax2ex有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围【解答】解：根据题意，函数yax2（a0）与函数yex在（0，+）上有公共点，令ax2
23、ex得：，设则，由f（x）0得：x2，当0x2时，f（x）0，函数在区间（0，2）上是减函数，当x2时，f（x）0，函数在区间（2，+）上是增函数，所以当x2时，函数在（0，+）上有最小值，所以故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）已知函数f（x）x3+（1a）x2a（a+2）x+b（a，bR）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线yf（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围【分析】（1）求出导函数，利用函数的奇偶
24、性求出a即可（2）求出函数的导数，利用曲线yf（x）存在两条垂直于y轴的切线，通过0求解即可【解答】解：（1）：f（x）3x2+2（1a）xa（a+2），由题因为f（x）为偶函数，2（1a）0，即a1（2）曲线yf（x）存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程f（x）3x2+2（1a）xa（a+2）有两个不相等的实数根，4（1a）2+12a（a+2）0，即4a2+4a+10，a的取值范围为（）（）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力18（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85
25、未参加演讲社团230（）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率【分析】（）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后
26、根据古典概型的概率公式计算即可【解答】解：（）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+515；这是一个古典概型，P（A）；（）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5315，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD
27、，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面AEC；（）通过AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求出AB，作AHPB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离通过解三角形求解即可【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点E为PD的中点，EOPBEO平面AEC，PB平面AECPB平面AEC；（）AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，V，AB，PB作AHPB交PB于H，由题意可知BC平面PAB，BC
28、AH，故AH平面PBC又在三角形PAB中，由等面积法可得：A到平面PBC的距离【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知函数，（1）求f（x）在区间（，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值【分析】（1）当x1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（，1）上的极小值和极大值点；（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值【解答】解：（1）当x1时，f（x）3x2+2xx（3x2），令f（x）0，得x0或x当x变化时，f（x），f（x）的
29、变化情况如下表： x （，0） 0（0，） （，1） f（x） 0+ 0 f（x） 极小值 极大值 当x0时，函数f（x）取得极小值f（0）0，函数f（x）取得极大值点为x（2）当1x1时，f（x）x3+x2，由（1）知，函数f（x）在1，0和，1）上单调递减，在0，上单调递增，f（x）在1，1）上的最大值为2当1xe时，f（x）alnx当a0时，f（x）在1，e，上单调递减，f（x）maxa综上所述，当a2时，f（x）在1，e上的最大值为a；当a2时，f（x）在1，e上的最大值为2【点评】本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题21（12分）为
30、了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：超过1小时不超过1小时男生208女生12m（）求m，n；（）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过1小时与性别有关？（）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调査6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2【分析】（）根据分层抽样比例列方程求出n的
31、值，再计算m的值；（）根据题意完善22列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可【解答】解：（）根据分层抽样法，抽样比例为，n48；m48208128；（）根据题意完善22列联表，如下； 超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算K20.68573.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（）参加社区服务时间超过1小时的频率为，用频率估计概率，从该校学生中随机调査6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为64（人）【点评】
32、本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，是基础题22（12分）设函数f（x）ex，g（x）lnx（）证明：；（）若对所有的x0，都有f（x）f（x）ax，求实数a的取值范围【分析】（）令，求导得单调性，进而得F（x）minF（e）0，从而得证；（）记h（x）f（x）f（x）axexexax求两次导得h（x）在0，+）递增，又h（0）2a，进而讨论2a的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值【解答】解：（）令，由F（x）0xeF（x）在（0，e递减，在e，+）递增，F（x）0即成立（） 记h（x）f（x）f（x）axexexax，h（x）0在0，+）恒成立，h
33、（x）ex+exa，h（x）exex0（x0），h（x）在0，+）递增，又h（0）2a，当 a2时，h（x）0成立，即h（x）在0，+）递增，则h（x）h（0）0，即 f（x）f（x）ax成立；当a2时，h（x）在0，+）递增，且h（x）min2a0，必存在t（0，+）使得h（t）0则x（0，t）时，h（t）0，即 x（0，t）时，h（t）h（0）0与h（x）0在0，+）恒成立矛盾，故a2舍去综上，实数a的取值范围是a2【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的问题的成立方法，考查分析问题解决问题的能力导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f（x）0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f（x）min0，若f（x）0恒成立f（x）max0；（3）若f（x）g（x） 恒成立，可转化为f（x）ming（x）max
