1、2019-2020学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xR，x2x”的否定是（）AxR，x2xBxR，x2xCx0R，x0Dx0R，x02（5分）下列命题中正确的是（）A若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B垂直于同一平面的两个平面平行C存在两条异面直线同时平行于同一平面D三点确定一个平面3（5分）AC0，B0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分不必要条件4（5分）椭圆1的
2、焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍5（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定6（5分）如图，球O内切于圆柱O1O2，记圆柱O1O2的侧面积为S1，球O的表面积为S2，则（）ABS1S2 CS12S2D7（5分）已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PFQ的周长为（）A28B36C44D488（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A6BCD49（5分）双曲
3、线x2y21右支上一点P（a，b）到直线l：yx的距离d则a+b（）ABC或D2或210（5分）在ABC中，ACB90，D是BC的中点，PA平面ABC，如果PB、PC与平面ABC成的角分别是30和60，那么PD与平面ABC所成的角为（）A30B45C60D7511（5分）如图，过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若，且，则p的值为（）AB3CD12（5分）如图，四边形ABCD和ADEF均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段AE上，设直线CM与BF所成的角为，则的取值范围为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13（5分
4、）抛物线x28y的准线方程为 14（5分）已知动点P在曲线2x2y0上移动，则点A（0，1）与点P连线中点的轨迹方程是 15（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为 16（5分）双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐支上一点，且|PF1|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2a2相切，则E的离心率为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（10分）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C
5、1，O，M三点共线18（12分）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程19（12分）已知点A（2，a），圆C：（x1）2+y25（）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；（）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值20（12分）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，ABC60，E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接AE、EF（1）求证：AEPD；（2）求证：EF平面PCD21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点
6、，|AB|2（）求椭圆C的方程；（）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由22（12分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABAD，G为AB的中点CDDAAFFE2，AB4（）求证：DF平面BCE；（）求证：平面BCF平面GCE；（）求多面体AFEBCD的体积2019-2020学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
7、一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xR，x2x”的否定是（）AxR，x2xBxR，x2xCx0R，x0Dx0R，x0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，则p：x0R，x0故选：D【点评】本题考查命题得到，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题2（5分）下列命题中正确的是（）A若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B垂直于同一平面的两个平面平行C存在两条异面直线同时平行于同一平面D三点确定一个平面【分析】根据面面平行，面面垂直相关性质逐一进行判断即可【解答】解：对于A，根据面面平行的判断定理可知，平面
8、的两条直线必须是相交直线，所以A错误；对于B，垂直于同一平面的两个平面除了平行还有可能垂直，故B错误；对于D，不共线3点确定一个平面，故D错误，故选：C【点评】本题考查命题真假性的判断，考查空间面面关系，属于基础题3（5分）AC0，B0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分不必要条件【分析】方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆，必有AC0，B0并且D2+E24F0，利用充要条件的判定方法判定即可【解答】解：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆，必有AC0，B0并且D2+E24AF0；反之AC0，B
9、0方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0不一定表示圆故选：B【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，充要条件的判定方法是基础题4（5分）椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍【分析】由题设知F1（3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆1，得再由两点间距离公式分别求出|P F1|和|P F2|，由此得到|P F1|是|P F2|的倍数【解答】解：由题设知F1（3，0），F2（3，0），如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1 的中点坐标为（，）线
10、段PF1的中点M在y轴上，0x3将P（3，y）代入椭圆1，得到y2|PF1|，|PF2|故选：A【点评】本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意两点间距离公式的合理运用5（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】解：M（a，b）在圆x2+y21外，a2+b21，圆O（0，0）到直线ax+by1的距离d1r，则直线与圆的位置关系是相交故选
11、：B【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键6（5分）如图，球O内切于圆柱O1O2，记圆柱O1O2的侧面积为S1，球O的表面积为S2，则（）ABS1S2 CS12S2D【分析】设球的半径为R，可得圆柱的底面半径为R，高为2R，由此求出球的表面积与圆柱的侧面积得答案【解答】解：设球的半径为R，可得圆柱的底面半径为R，高为2R，则球的表面积，圆柱的侧面积，S1S2故选：B【点评】本题考查圆柱及其内切球的表面积的运算，是基础题7（5分）已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若P
12、Q的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PFQ的周长为（）A28B36C44D48【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决求出周长即可【解答】解：双曲线C：的左焦点F（5，0），点A（5，0）是双曲线的右焦点，则b4，即虚轴长为2b8；双曲线图象如图：|PF|AP|2a6 |QF|QA|2a6 而|PQ|16，+得：|PF|+|QF|PQ|12，周长为l|PF|+|QF|+|PQ|12+2|PQ|44，故选：C【点评】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为2a，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键考查
13、学生的转化能能力8（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A6BCD4【分析】三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可【解答】解：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，上底为1，下底长为2，高为2，棱柱的高为2所以几何体的体积为：6故选：A【点评】本题考查三视图求几何体的体积，三视图复原的几何体的形状是解题的关键9（5分）双曲线x2y21右支上一点P（a，b）到直线l：yx的距离d则a+b（）ABC或D2或2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2b21，即（a+b）（ab）1根据点到直线的距离公式能够求出ab
14、的值，注意ab，从而得到a+b的值【解答】解：P（a，b）点在双曲线上，有a2b21，即（a+b）（ab）1A（a，b）到直线yx的距离为，d，|ab|2又P点在右支上，则有ab，ab2a+b，故选：B【点评】本题以点到直线的距离为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用10（5分）在ABC中，ACB90，D是BC的中点，PA平面ABC，如果PB、PC与平面ABC成的角分别是30和60，那么PD与平面ABC所成的角为（）A30B45C60D75【分析】推导出PBA30，PCA60，设PAa，求出ABAC，BCa，ADa，由此能求出PD与平面ABC所成的角【解
15、答】解：在ABC中，ACB90，D是BC的中点，PA平面ABC，PB、PC与平面ABC成的角分别是30和60，PBA30，PCA60，设PAa，则AB，AC，BCa，ADa，PD与平面ABC所成的角的正切值为：tanPDA1，PDA45故选：B【点评】本题考查线线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（5分）如图，过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若，且，则p的值为（）AB3CD【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，根据抛物线定义可知|BD|a，进而推断出BCD的
16、值，在直角三角形中求得a，进而根据BDFG，利用比例线段的性质可求得p即可【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，|AE|3，|AC|3+3a，2|AE|AC|3+3a6，从而得a1，BDFG，求得p，故选：C【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握12（5分）如图，四边形ABCD和ADEF均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段AE上，设直线CM与BF所成的角为，则的取值范围为（）ABCD【分析】如图所示，建立空间直角坐
17、标系不妨设AB1设，可得点M的坐标，可得cos，令f（），0，1利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系不妨设AB1则A（0，0，0），B（1，0，0），F（0，0，1），C（1，1，0），E（0，1，1），设，可得：（0，），0，1（1，1，），（1，0，1），cos，令f（），0，1则f（）0，函数f（）在0，1上单调递增f（0）f（）f（1），即1f（）4cos，的取值范围为0，故选：A【点评】本题考查了空间角、向量夹角公式、数量积运算性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13
18、（5分）抛物线x28y的准线方程为y2【分析】由于抛物线x22py的准线方程为y，则抛物线x28y的准线方程即可得到【解答】解：由于抛物线x22py的准线方程为y，则有抛物线x28y的准线方程为y2故答案为：y2【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题14（5分）已知动点P在曲线2x2y0上移动，则点A（0，1）与点P连线中点的轨迹方程是8x22y10【分析】设出点A（0，1）与点P连线中点的坐标，利用中点坐标公式可得P（2x，2y+1），根据动点P在曲线2x2y0上移动，代入方程即可求得点A（0，1）与点P连线中点的轨迹方程【解答】解：设点A（0，1）与
19、点P连线中点坐标为（x，y），则由中点坐标公式可得P（2x，2y+1），动点P在曲线2x2y0上移动，2（2x）2（2y+1）0即8x22y10故答案为：8x22y10【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查中点坐标公式，考查代入法的运用，解题的关键是确定动点坐标之间的关系15（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为【分析】利用题目的空间直角坐标系，求出平面AA1C1C的法向量，向量AD，利用空间向量的数量积求解即可【解答】解：取AC的中点E，BE为x轴，BE的垂线为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，在正三棱柱A
20、BCA1B1C1中，AB1，D在棱BB1上，且BD1，则E（，0，0），A（，0），D（0，0，1），平面AA1C1C的法向量可以为：（，0，0），（，1），则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为：故答案为：【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力16（5分）双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐支上一点，且|PF1|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2a2相切，则E的离心率为【分析】设直线PF2与圆x2+y2a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF1，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|4b，
21、再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到【解答】解：设直线PF2与圆x2+y2a2相切于点M，则|OM|a，OMPF2，取PF2的中点N，连接NF1，由于|PF1|F1F2|2c，则NF1PF2，|NP|NF2|，由|NF1|2|OM|2a，则|NP|2b，即有|PF2|4b，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a，即4b2c2a，即2bc+a，4b2（c+a）2，即4（c2a2）（c+a）2，4（ca）c+a，即3c5a，则e故答案为【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应
22、写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（10分）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线【分析】欲证C1，O，M三点共线，只须证它们都在平面A1ACC1与平面DBC1的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明C1，O，M三点是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点即可【解答】证明：如图，因为C1平面A1ACC1，且C1平面DBC1，C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，又因为MAC，所以M平面A1ACC1，MBD，M平面DBC1，M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，C1M是平面A1ACC1与平面
23、DBC1交线，O是A1C与平面DBC1的交点，O平面A1ACC1，O平面DBC1，O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，O直线C1M，即C1，O，M三点共线【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，做题时目标明确，知道要证什么就需证什么，掌握基本方法18（12分）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程【分析】设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1+x2的值，进而利用弦长公式求得|AB|，由AB可求p，则抛物线方程可得【解答】解：由题意可设抛物线的方程y22px（p0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（
24、x2，y2）联立方程可得，4x2+（42p）x+10则，y1y22（x1x2）解得p6或p2抛物线的方程为y212x或y24x【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用19（12分）已知点A（2，a），圆C：（x1）2+y25（）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；（）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值【分析】（）由题意知点A在圆C上，代入方程求出a的值，利用垂直关系求出切线的斜率，写出切线方程；（）由题意设出直线l的方程，利用直线l过点A和圆心到直线的距离列出方程组，求解
25、即可【解答】解：（）由于过点A（2，a）只能作一条圆C的切线，则点A在圆C上；所以（21）2+a25，解得a2；当a2时，A（2，2），kCA2，所以切线的斜率为，所求切线方程为y2（x2），即x+2y60；当a2时，A（2，2），kCA2，所以切线的斜率为，所求切线方程为y+2（x2），即x2y60；（）由题意，设直线l的方程为x+yb，因为直线l过点A，所以2+ab，即ab2，又圆心C到直线x+yb的距离为d，所以+5，由联立，解得或；所以a1或a3【点评】本题考查了圆的切线方程以及直线与圆的位置关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题20（12分）如图，已知四棱锥PABCD，底面AB
26、CD是菱形，PA平面ABCD，ABC60，E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接AE、EF（1）求证：AEPD；（2）求证：EF平面PCD【分析】（1）由ABCD是菱形，得到AEBC，AEAD再利用PA平面ABCD，得到PAAE，从而证得AE平面PAD，所以AEPD；（2）取AC的中点为O，连接EO，由中位线定理得EOAB，则EOCD，FOPC，所以平面EOF平面PCD，再利用面面平行得到线面平行【解答】解：（1）证明：ABCD是菱形，ABC60，ABC为等边三角形，AEBC，AEAD又PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，由PAPDP，AE平面PAD，而PD平面PAD，AEPD；
27、（2）如图，取AC的中点为O，连接EO，则EO，FO分别ABC，PAC的中位线，EOAB，则EOCD，FOPC，又PCCDC，则平面EOF平面PCD，而EF平面EOF，故EF平面PCD【点评】本题主要考查了直线与平面垂直和平行的位置关系，是中档题21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|2（）求椭圆C的方程；（）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由【分析】（）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求
28、椭圆方程；（）设P（m，n），可得+n21，可得A（0，1），B（0，1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在【解答】解：（）由题意可得e，2b2，即b1，又a2c21，解得a2，c，即有椭圆的方程为+y21；（）设P（m，n），可得+n21，即有n21，由题意可得A（0，1），B（0，1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，kPAkMA，即为，可得s1+，由P，B，N共线可得，kPBkNB，即为，可得t1假设存在点P，使得以MN为直径的圆
29、经过点Q（2，0）可得QMQN，即有1，即st4即有1+14，化为4m216n2（4m）2164m2（4m）2，解得m0或8，由P，A，B不重合，以及|m|2，可得P不存在【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用三点共线的条件：斜率相等，直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题22（12分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABAD，G为AB的中点CDDAAFFE2，AB4（）求证：DF平面BCE；（）求证：平面BCF平面GCE；（）求多面体AFEBCD的体积【分析】（）证明四边形
30、CDFE为平行四边形，推出DFCE然后证明DF平面BCE（）连接FG说明AD平面ABEF，推出 BFAD，BFCG BFEG即可证明BF平面GCE，推出平面BCF平面GCE（）设BFGEO几何体ADFGCE是三棱柱，然后通过多面体AFEBCD的体积VVADFGCE+VBGCE求解即可【解答】（本小题满分14分）（）证明：因为CDEF，且CDEF，所以 四边形CDFE为平行四边形，所以DFCE（2分）因为DF平面BCE，（3分）所以DF平面BCE（4分）（）连接FG因为 平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ADAB，所以 AD平面ABEF，所以 BFAD（6分）因为G为AB的
31、中点，所以AGCD，且AGCD；EFBG，且EFBG，所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形所以 ADCG，所以 BFCG（7分）因为EFEB，所以 四边形BEFG为菱形，所以 BFEG（8分）所以 BF平面GCE（9分）所以 平面BCF平面GCE（10分）（）设BFGEO由（）得DFCE，所以DF平面GCE，由（）得ADCG，所以AD平面GCE，所以平面ADF平面GCE，所以几何体ADFGCE是三棱柱（11分）由（）得BF平面GCE所以多面体AFEBCD的体积VVADFGCE+VBGCE（12分）（14分）【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，直线与平面垂直以及平行的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力
