1、2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在机读卡的指定位置上)1（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A（1，1，1）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）2（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n（）A45B54C90D1263（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率
2、分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D1404（5分）图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A32B16+16C48D16+325（5分）如图的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A30B45C60D906（5分）已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，bc则ac；若ab，bc则ac；若a，b，则ab；若a与b异面，且a则b与相交；其中真
3、命题的个数是（）A1B2C3D47（5分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y10C2x+y30Dx+2y308（5分）已知直线l1：x2y10，直线l2：axby+10，其中a，b1，2，3，4，5，6，则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）ABCD9（5分）若变量x，y满足，则的取值范围是（）A（，23，+）B（，32，+）C2，3D3，210（5分）与圆O1；x2+y2+4x4y+70，圆O2：x2+y24x10y+130都相切的直线条数是（）A3B1C2D411（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，AA12，BC2，BA
4、C，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）AB16CD12（5分）已知P是直线l：3x+4y+80上的动点，PA，PB是圆C：x2+y22x2y+10的两条切线（A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值（）AB2C2D4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13（5分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为 ， 14（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x3，则输出y的值为 15（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线
5、axy4a20（aR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 16（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM平面A1DE，则动点M的轨迹长度为 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、推演步骤)17（10分）（1）求经过直线3x+4y20与直线xy+40的交点P，且垂直于直线x2y10的直线方程；（2）求过点P（1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，B1CBC1E求证：（1）DE平面AA1C1
6、C；（2）BC1平面AB1C19（12分）已知一圆经过点A（3，1），B（1，3），且它的圆心在直线3xy20上（1）求此圆的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程20（12分）某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2012201320142015201620172018年份代号t1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭
7、人均纯收入附：参考公式：，21（12分）如图，四棱锥EABCD中，ADBC，且BC底面ABE，M为棱CE的中点，（）求证：直线DM平面CBE；（）当四面体DABE的体积最大时，求四棱锥EABCD的体积22（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线xy+20相切（1）求圆C的方程（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny1与圆O：x2+y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB面积；若不存在，请说明理由2018-2019学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题
8、：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在机读卡的指定位置上)1（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（）A（1，1，1）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）【分析】根据空间坐标的对称性进行求解即可【解答】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A（1，1，1）关于坐标原点对称的点的坐标为（1，1，1），故选：D【点评】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键比较基础2（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，
9、现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n（）A45B54C90D126【分析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n【解答】解：A种型号产品所占的比例为，18，故样本容量n90故选：C【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题3（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这2
10、00名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.50.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7200140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目4（5分）图为某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A32B16+16C48D16+32【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的表
11、面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以该四棱锥的斜高为2；所以该四棱锥的侧面积为44216，底面积为4416，所以几何体的表面积为16+16故选：B【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目5（5分）如图的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角是（）A30B45C60D90【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可
12、得：A1DB1C，则BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BDA1DA1B故BA1D60故选：C【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键6（5分）已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，bc则ac；若ab，bc则ac；若a，b，则ab；若a与b异面，且a则b与相交；其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】利用正方体的棱的位置关系即可得出；若ab，bc，利用“等角定理”可得ac；若a，b，利用线面平行的性质可得：a与平面内的直线可以平行或为
13、异面直线；由a与b异面，且a，则b与相交，平行或b，即可判断出【解答】解：利用正方体的棱的位置关系可得：a与c可以平行、相交或为异面直线，故不正确；若ab，bc，利用“等角定理”可得ac，故正确；若a，b，则a与平面内的直线可以平行或为异面直线，不正确；a与b异面，且a，则b与相交，平行或b，故不正确综上可知：只有正确故选：A【点评】熟练掌握空间空间中线线、线面的位置关系是解题的关键7（5分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y10C2x+y30Dx+2y30【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程【
14、解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x1对称点为（2x，y）在直线x2y+10上，2x2y+10化简得x+2y30故选答案D解法二：根据直线x2y+10关于直线x1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点为（1，1）选答案D故选：D【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题还有点斜式、两点式等方法8（5分）已知直线l1：x2y10，直线l2：axby+10，其中a，b1，2，3，4，5，6，则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为（）ABCD【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满
15、足条件的事件是两条直线的交点在第一象限，写出两条直线的交点坐标，根据在第一象限写出不等式组，解出结果，根据a，b之间的关系写出满足条件的事件数，得到结果【解答】解：设事件A为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b2a联立方程组解得x，y，直线l1与l2的交点位于第一象限，则x0，y0，解得b2aa，b1，2，3，4，5，6的总事件数为36种满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种P（A）即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为故选：A【点评】本题考查等可能事件的概率，考查两条直线的交点在第一象限的特
16、点，本题是一个综合题，在解题时注意解析几何知识点的应用9（5分）若变量x，y满足，则的取值范围是（）A（，23，+）B（，32，+）C2，3D3，2【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形知是阴影内的点P（x，y）与点A（1，1）的直线的斜率k，求出k的取值范围即可【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；则可看成过阴影内的点P（x，y）与点A（1，1）的直线的斜率k，由求得点P（0，2），由求得点P（0，3），则kPA3，kPA2，则2k3，即的取值范围是2，3故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划问题，也考查了特定目标函数的几何意义，是中档题10（5分）与圆O1；x2
17、+y2+4x4y+70，圆O2：x2+y24x10y+130都相切的直线条数是（）A3B1C2D4【分析】根据已知中圆的方程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案【解答】解：圆的圆心坐标为（2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：A【点评】本题考查的知识点是圆的位置关系，圆的一般方程，难度中档11（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，AA12，BC2，BAC，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）AB16CD【分析】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABCA
18、1B1C1外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点在直角RtPOB中，利用勾股定理算出BO的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积【解答】解：直三棱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，（如图），ABC中，BAC，下底面ABC的外心P为BC的中点，同理，可得上底面A1B1C1的外心Q为B1C1的中点，连接PQ，则PQ与侧棱平行，所以PQ平面ABC再取PQ中点O，可得：点O到A、B、C、A1、B1、C1的距离相等，O点是三棱柱ABCA1B1C1外接球的球心RtPOB中，BPBC，POAA11，BO2，即外接球半径R2，因此，三棱柱ABCA1B1C1外接球
19、的球的体积为：VR323故选：A【点评】本题给出特殊的直三棱柱，求它的外接球的体积着重考查了线面垂直的性质、球内接多面体和球体积的公式等知识，属于基础题12（5分）已知P是直线l：3x+4y+80上的动点，PA，PB是圆C：x2+y22x2y+10的两条切线（A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值（）AB2C2D4【分析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，由于四边形PACB面积等于 2 PAACPA，而PA，故当PC最小时，四边形PACB面积最小，又PC的最小值等于圆心C到直线l的距离d，求出d 即可得到四边形PACB面积的最小值【解答】解：圆C：x2+y22x2y+10
20、即 （x1）2+（y1）21，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆由于四边形PACB面积等于 2 PAACPA，而 PA，故当PC最小时，四边形PACB面积最小又PC的最小值等于圆心C到直线l：3x+4y+80 的距离d，而d3，故四边形PACB面积的最小的最小值为2，故选：B【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断故当PC最小时，四边形PACB面积最小，是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13（5分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.
21、8，则x，y的值分别为5，8【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：甲组数据的中位数为15，x5；又乙组数据的平均数为16.8，16.8，解得：y8；综上，x、y的值分别为5、8故答案为：5 8【点评】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题14（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x3，则输出y的值为15【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x3y7不满足条件|xy|7，执行循环体
22、，x7，y15满足条件|xy|7，退出循环，输出y的值为15故答案为：15【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题15（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（2，0）为圆心，且与直线axy4a20（aR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x2）2+y28【分析】根据题意，将直线的方程变形，分析可得其恒过点（4，2），结合直线与圆的位置关系可得以点（2，0）为圆心，且与直线axy4a20（aR）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，求出圆的半径，结合圆的标准方程分析可得答案【解答】解：根据题意，直线axy4a20，即y+2a（
23、x4），恒过定点（4，2），设P为（4，2）设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（2，0），分析可得：以点（2，0）为圆心，且与直线axy4a20（aR）相切的所有圆中，半径最大为CP，此时r2|CP|2（42）2+（20）28，则要求圆的方程为（x2）2+y28，故答案为：（x2）2+y28【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，注意分析直线所过的定点，属于基础题16（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM平面A1DE，则动点M的轨迹长度为【分析】设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接EF，则F为
24、B1C1的中点分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE平面ANO，从而得到NO是平面BCC1B1内的直线由此得到F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段ON【解答】解：设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接EF，则F为B1C1的中点分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，则A1FAO，ANDE，A1F，DE平面A1DE，AO，AN平面ANO，A1F平面ANO同理可得DE平面ANO，A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，平面A1DE平面ANO，所以NO平面A1DE，直线NO平面A1DE，M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NOM的轨
25、迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO故答案为：【点评】本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足AM平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、推演步骤)17（10分）（1）求经过直线3x+4y20与直线xy+40的交点P，且垂直于直线x2y10的直线方程；（2）求过点P（1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程【分析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（2）当直线过原点时，直线方程为y3x；当直线不
26、过原点时，设直线方程为x+ya，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求【解答】解：（1）联立，解得，两直线的焦点坐标为（2，2），直线x2y10斜率为，则所求直线的斜率为2直线方程为y22（x+2），即2x+y+20；（2）当直线过原点时，直线方程为y3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+ya，则1+3a，即a2是求直线方程为x+y2所求直线方程为3x+y0或x+y20【点评】本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，B1CBC1E求证：（1）DE平面AA1C1C；（2）BC1
27、平面AB1C【分析】（1）由正方形性质得E为B1C的中点，从而DEAC，由此能证明DE平面AA1C1C（2）由线面垂直得ACCC1，由ACBC，得AC平面BCC1B1，由此能证明BC1平面AB1C【解答】证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1CBC1E，所以E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C（2）因为棱柱ABCA1B1C1是三棱柱，AA1底面ABC所以CC1平面 ABC因为AC平面ABC，所以ACCC1又因为ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BC
28、C1B1又因为BC1平面BCC1B1，所以B1CAC因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面AB1C【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12分）已知一圆经过点A（3，1），B（1，3），且它的圆心在直线3xy20上（1）求此圆的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点
29、得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程【解答】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a2），又由已知得|NA|NB|，从而有，解得：a2于是圆N的圆心N（2，4），半径r所以，圆N的方程为（x2）2+（y4）210（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x2）2+（y4）210上任意一点，可设D（2+cos，4+sin）C（3，0），点M是线段CD的中点，有x，y，消去参数得：（x）2+（y2）2故所求的轨迹方程为：（x）2+（y2）2【点评】本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题20（12分）某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位
30、：千元）的数据如表：年份2012201320142015201620172018年份代号t1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入附：参考公式：，【分析】（1）根据公式计算可得：0.5x+2.3（2）t8代入计算可得【解答】解：（1）4，4.3，0.5，4.30.542.3，y关于t的线性回归方程为：0.5x+2.3（2）2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番当t8时，
31、y0.58+2.36.3千元预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元【点评】本题考查了线性回归方程，属中档题21（12分）如图，四棱锥EABCD中，ADBC，且BC底面ABE，M为棱CE的中点，（）求证：直线DM平面CBE；（）当四面体DABE的体积最大时，求四棱锥EABCD的体积【分析】（）证明ANEB，BCAN，推出AN平面BCE，然后证明DM平面BCE（）求出四面体DABE的体积，求出AEAB时体积最大，然后求解四棱锥EABCD的体积【解答】（）证明：因为AEAB，设N为EB的中点，所以ANEB，又BC平面AEB，AN平面AEB，所以BCAN，又BCBEB，所以AN平面BC
32、E，又DMAN，所以DM平面BCE（）解：AECD，设EAB，ADABAE1，则四面体DABE的体积，当900，即AEAB时体积最大，又BC平面AEB，AE平面AEB，所以AEBC，因为BCABB，所以AE平面ABC【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力22（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线xy+20相切（1）求圆C的方程（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny1与圆O：x2+y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB面积；
33、若不存在，请说明理由【分析】（1）设圆心坐标为（a，0），则2，求出a2，由此能求出圆C的方程（2）假设存在点M（m，n）在圆C上满足题设，则有（m2）2+n24且0m4，原点到直线l：mx+ny1的距离d1，|AB|2，由此能求出存在点M（，），使得直线l：mx+ny1与圆O：x2+y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积取最大值【解答】解：（1）圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线xy+20相切，设圆心坐标为（a，0），则2，由a0，解得a2，圆C的方程为（x2）2+y24（2）假设存在点M（m，n）在圆C上满足题设，则有（m2）2+n24n24（m2）24mm2，且0m4，又原点到直线l：mx+ny1的距离d1，解得，|AB|2，SOAB，当时，SOAB有最大值，最大面积为，此时n存在点M（，），使得直线l：mx+ny1与圆O：x2+y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积取最大值【点评】本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
