1、2018-2019学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（3月份）一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，2，4，B1，3，5，则（UA）B（）A1B3，5C1，6D1，3，5，62（5分）下列函数中与函数y2|x|的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）Aylog3|x|Byx31CDy1x23（5分）设复数z满足z（i）（1+i）2，则|z|（）ABC1D4（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）ABCD5（5分）下列能使cossintan成
2、立的所在区间是（）ABCD6（5分）如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的x2，n2，依次输入a3，4，5，6，7，则输出的s（）A3B10C25D567（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），零件数x个1020304050加工时间y（min）62758189由最小二乘法求得回归直线方程0.68x+54.4由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A67B68.2C68D67.28（5分）已知直线x+y2a与圆x2+y24交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|+|，则实数a的值为（）A2B
3、2或2C1或1D或9（5分）已知yf（x）是可导函数，如图，直线ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，令g（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）（）ABCD10（5分）已知三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BCBD，ABADBD，BC6，则三棱锥ABCD的外接球的表面积（）AB36C100D14411（5分）已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|（）AB3C2D412（5分）已知函数f（x）xlnxaex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）AB（0，e）CD（，e
4、）二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知：x，y满足约束条件，则z2xy的最小值为 14（5分）曲线y与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为 15（5分）设等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2an的最大值为 16（5分）已知直线l：y2x+b被抛物线C：y22px（p0）截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为（3，0），则MN的最小值为 三解答题（共6小题，共70分）17（12分）已知函数（1）若ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角A的大小（2）在（1）的条件下，若ABC的外接圆半径为
5、1，求ABC的面积S的最大值18（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为S，若S312，且a2，a6，a18成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：1Tn219（12分）如图，设ABC是边长为2的正三角形，DC平面ABC，EADC，若EA：AB：DC2：2：1，F是BE的中点（1）证明：FD平面ABE；（2）求CE与平面EAB所成角的正弦值20（12分）已知函数f（x）x2（a2）xalnx（aR）（1）求函数yf（x）的单调区间（2）当a3时，证明：对任意x0，都有f（x）2（1x）成立21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率与双曲线1的
6、离心率互为倒数，且过点P（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0）相切且分别交椭圆于M、N两点求证：直线MN的斜率为定值；求MON面积的最大值（其中O为坐标原点）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos（）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a2018-2019学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一
7、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，2，4，B1，3，5，则（UA）B（）A1B3，5C1，6D1，3，5，6【分析】进行交集、补集的运算即可【解答】解：UA3，5，6；（UA）B3，5故选：B【点评】考查列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算2（5分）下列函数中与函数y2|x|的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）Aylog3|x|Byx31CDy1x2【分析】根据题意，分析函数y2|x|的奇偶性与单调性，据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，y2|x|，有f（x）2|x|2|x|f（
8、x），则y2|x|为偶函数，当x0时，y2|x|（）x，为减函数，据此分析选项：对于A，ylog3|x|，为偶函数，当x0时，ylog3（x），为减函数，符合题意；对于B，yx31，不是偶函数，不符合题意；对于C，y，为奇函数，不符合题意；对于D，y1x2，为偶函数，但在区间（，0）上为增函数，不符合题意；故选：A【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题3（5分）设复数z满足z（i）（1+i）2，则|z|（）ABC1D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解【解答】解：由z（i）（1+i）22i，得z，|z|故选：
9、C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题4（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）ABCD【分析】三棱锥是底面是等腰直角三角形，腰长是1，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度是，根据三棱锥的体积公式写出体积的表示式，得到结果【解答】解：由三视图知，三棱锥是底面是等腰直角三角形，底边上的高是1，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度是，三棱锥的体积是12，故选：B【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，只要主视图和侧视图是三角形，那么这个几何体一定是一个椎体，由俯视图得到底面是几
10、边形，确定是几棱锥5（5分）下列能使cossintan成立的所在区间是（）ABCD【分析】通过选取选项区间的特殊值，代入验证，即可得到正确选项【解答】解：取答案各区间的特点值代入检验所以A不正确；因为，所以B正确；因为，所以C不正确；因为，不满足cossintan，所以D不正确故选：B【点评】本题考查三角函数的值的大小的比较，考查特殊角的三角函数值的应用，考查计算能力，也可以利用三角函数线解答本题6（5分）如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的x2，n2，依次输入a3，4，5，6，7，则输出的s（）A3B10C25D56【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量s的值，模
11、拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，输出a3，则s3，k1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，输出a4，则s10，k2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体，输出a5，则s25，k3，满足退出循环的条件；故输出的s值为25，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答7（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），零件数x个1020304050加工时间y（min）62758189由最小二乘法求得回归直线方程0.68x+54.4由于后期没有保存好，导致
12、表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A67B68.2C68D67.2【分析】根据表中所给的数据，求出横标和纵标的平均数，得样本中心点，把样本中心点坐标代入线性回归方程求出该数据的值【解答】解：设表中模糊看不清的数据为m，由表中数据得：（10+20+30+40+50）30，（62+m+75+81+89）61+，由于由最小二乘法求得回归方程0.68x+54.4，将30，61+代入回归直线方程，解得m67故选：A【点评】本题考查了数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是解题的关键8（5分）已知直线x+y2a与圆x2+y24交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|+|，则实
13、数a的值为（）A2B2或2C1或1D或【分析】根据|+|，得即，如图所示故圆心到直线的距离d，可求得a1【解答】解：|+|，两边平方，得0，即，如图所示故圆心（0，0）到直线x+y2a0的距离d，求得a1故选：C【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，熟练正确运用已知条件以及点到直线的距离是解决此问题的关键9（5分）已知yf（x）是可导函数，如图，直线ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，令g（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）（）ABCD【分析】由题意可得f（3）3k+21，f（3）k，求得k，求出g（x）的导数，计算可得所求值【解答】解：直线ykx+2是曲线yf（x）在x3处的
14、切线，可得f（3）3k+21，f（3）k，即有k，f（3），g（x），可得g（x），则g（3），故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题10（5分）已知三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BCBD，ABADBD，BC6，则三棱锥ABCD的外接球的表面积（）AB36C100D144【分析】先利用平面与平面垂直的性质定理得出BC平面ABD，并利用正弦定理计算出ABD的外接圆直径2r，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出答案【解答】解：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BCBD，BC平面BCD，BC平面AB
15、D，则ABD是边长为的等边三角形，由正弦定理可得，ABD的外接圆直径为所以，三棱锥ABCD的外接球直径为，R5因此，该球的表面积为4R2100故选：C【点评】本题考查球体表面积的计算，考查平面与平面垂直的性质定理，解决本题的关键在于找出线面垂直，并利用合适的模型求出球体的半径，同时也考查了计算能力，属于中等题11（5分）已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|（）AB3C2D4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|【解答】解：双曲线C：y21的渐近线方程为：y，渐近线
16、的夹角为：60，不妨设过F（2，0）的直线为：y，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|3故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力12（5分）已知函数f（x）xlnxaex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）AB（0，e）CD（，e）【分析】求出函数的导数，问题转化为ya和g（x）在（0，+）2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可【解答】解：f（x）lnxaex+1，若函数f（x）xlnxaex有两个极值点，则ya和g（x）在（0，+）有2个交点，g（x），（x0），令h（x）lnx1，则h（x）0，h（x）在（0，+
17、）递减，而h（1）0，故x（0，1）时，h（x）0，即g（x）0，g（x）递增，x（1，+）时，h（x）0，即g（x）0，g（x）递减，故g（x）maxg（1），而x0时，g（x），x+时，g（x）0，若ya和g（x）在（0，+）有2个交点，只需0a，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知：x，y满足约束条件，则z2xy的最小值为【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】解：x，y满足约束条件
18、，目标函数画出图形：z2xy点A（，），z在点A处有最小值：z2，故答案为：；【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法14（5分）曲线y与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为【分析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：由曲线y与直线y2x1构成方程组，解得，由直线y2x1与y0构成方程组，解得；曲线y与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为：Sdx（2x1）dx（x2x）故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算问题，关键是求出积分的上下限，是基础题15（5分）设等
19、比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2an的最大值为64【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2an，然后求解最值【解答】解：等比数列an满足a1+a310，a2+a45，可得q（a1+a3）5，解得qa1+q2a110，解得a18则a1a2ana1nq1+2+3+（n1）8n，当n3或4时，表达式取得最大值：2664故答案为：64【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力16（5分）已知直线l：y2x+b被抛物线C：y22px（p0）截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为（3，0），则MN的最小值为【分析】
20、先根据直线l经过抛物线C：y22px（p0）的焦点，可得bp，再与抛物线联立，根据韦达定理和弦长公式求出p的值，设M（m2，m），根据点到点的距离公式和二次函数的性质即可求出【解答】解：y2x+b，即为y2（x+），直线l经过抛物线C：y22px（p0）的焦点，bp，直线方程为y2xp，联立方程组得，消y整理可得4x26px+p20，x1+x2，x1+x2+pp5，即p2，抛物线C：y24x，设M（m2，m），N的坐标为（3，0），|MN|2（3m2）2+m2m4m2+9（m24）2+88，|MN|2，故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的性质和弦长公式，二次函数的性质，属于中档题三解答题（共
21、6小题，共70分）17（12分）已知函数（1）若ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角A的大小（2）在（1）的条件下，若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后代入求值即可（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：（1），又A为锐角，（2）ABC的外接圆半径为1，由正弦定理得2R2，得a2sinA2sin2，所以a2b2+c22bccos，即3b2+c2bc2bcbcbc，即bc3则三角形的面积SbcsinA3，（bc时取等号）故三角形面积
22、最大值为【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，以及利用正弦定理余弦定理结合三角形的面积公式基本不等式的性质是解决本题的关键18（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为S，若S312，且a2，a6，a18成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：1Tn2【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项性质，可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求通项公式；（2）求得2（），由数列的裂项相消求和，化简可得所求和，由数列的单调性即可得证【解答】解：（1）S312，即3a1+3d12，a2，a6，a18成等比数列，
23、可得a62a2a18，即有（a1+5d）2（a1+d）（a1+17d），由解得a1d2，则an2n：（2）证明：2（），则前n项和为Tn2（1+）2（1），由Tn为递增数列，可得TnT11，Tn2，即有1Tn2【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列中项性质，以及数列的裂项相消求和，数列的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）如图，设ABC是边长为2的正三角形，DC平面ABC，EADC，若EA：AB：DC2：2：1，F是BE的中点（1）证明：FD平面ABE；（2）求CE与平面EAB所成角的正弦值【分析】（1）取AB中点M，连结MC，推导出FMEA，从而FMD
24、C，且FMDC，进而四边形FMCD是平行四边形，FDMC，由CD平面ABC，得CDCM，从而AECM，求出DFAE，DFAB，由此能证明FD平面ABE（2）连结EM，由MC平面ABE，得CEM是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值【解答】证明：（1）取AB中点M，连结MC，ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，FMEA，FMEA1DC，又EADC，FMDC，且FMDC，四边形FMCD是平行四边形，FDMC，CD平面ABC，CDCM，又AECD，AECM，CMAB，DFAE，DFAB，AEABA，FD平面ABE解：（2）连结EM，MC平面ABE，CEM是CE与平
25、面EAB所成角，ABC是边长为2的正三角形，DC平面ABC，EADC，EA：AB：DC2：2：1，CM，CM2，sinCEMCE与平面EAB所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）已知函数f（x）x2（a2）xalnx（aR）（1）求函数yf（x）的单调区间（2）当a3时，证明：对任意x0，都有f（x）2（1x）成立【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）f（x）2（1x）x2+x3lnx2，求出函数的导数
26、，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）2x（a2），当a0时，f（x）0对任意x（0，+）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+）单调递增；当a0时，由f（x）0得x，由f（x）0，得0x，所以，函数在区间（，+）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（2）a3时，令g（x）f（x）2（1x）x2+x3lnx2，则g（x）2x+1，x0，x（0，1）时，g（x）0，g（x）递减，x（1，+）时，g（x）0，g（x）递增，故g（x）ming（1）0，故g（x）0，即f（x）2（1x）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类
27、讨论思想，转化思想，是一道综合题21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率与双曲线1的离心率互为倒数，且过点P（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0）相切且分别交椭圆于M、N两点求证：直线MN的斜率为定值；求MON面积的最大值（其中O为坐标原点）【分析】（1）求得双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，由离心率公式和P满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）运用直线和圆相切的条件：dr，同时联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得定值；设直线MN的方程为yx+m，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以
28、及点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值【解答】解：（1）双曲线1的离心率为2，可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，所以a2c，因为C过点P，所以+1，又c2a2b2，解得a2，b，c1，所以椭圆方程为+1；（2）证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），由于直线l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0）相切，则有k1k2，直线l1的方程为yk1（x1），联立椭圆方程3x2+4y212，消去y，得x2（3+4k12）+k1（128k1）x+（32k1）2120，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1+1，同
29、理，当l2与椭圆相交时，x2+1，所以x1x2，而y1y2k1（x1+x2）2k1，所以直线MN的斜率k；设直线MN的方程为yx+m，联立椭圆方程3x2+4y212，消去y得x2+mx+m230，所以|MN|，原点O到直线的距离d，OMN的面积为S，当且仅当m22时取得等号经检验，存在r（0r），使得过点P（1，）的两条直线与圆（x1）2+y2r2相切，且与椭圆有两个交点M，N所以MNO面积的最大值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的面积的最值求法，注意运用基本不等式，考查
30、化简整理的运算能力，属于中档题22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos（）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a【分析】（）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y22，ysin化为极坐标方程；（）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知yx为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直
31、线方程为y2x可得1a20，则a值可求【解答】解：（）由，得，两式平方相加得，x2+（y1）2a2C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆化为一般式：x2+y22y+1a20由x2+y22，ysin，得22sin+1a20；（）C2：4cos，两边同时乘得24cos，x2+y24x，即（x2）2+y24由C3：0，其中0满足tan02，得y2x，曲线C1与C2的公共点都在C3上，y2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，得：4x2y+1a20，即为C3，1a20，a1（a0）【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题
