1、2018-2019学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（3月份）一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，2，4，B1，3，5，则（UA）B（）A1B3，5C1，6D1，3，5，62（5分）下列函数中与函数y2|x|的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）Aylog3|x|Byx31CDy1x23（5分）在极坐标系中，极点关于直线cossin+10对称的点的极坐标为（）ABCD4（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）ABCD5（5分）下列能使c
2、ossintan成立的所在区间是（）ABCD6（5分）如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的x2，n2，依次输入a3，4，5，6，7，则输出的s（）A3B10C25D567（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A甲可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C甲、丁可以知道对方的成绩D甲、丁可以知道自己的成绩8（5分）已知直线x+y2a与圆x2+y24交于A，B两点，O是坐标原点，且，则实数a的值为（）A2B2或2C1或1D
3、或9（5分）已知yf（x）是可导函数，如图，直线ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，令g（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）（）ABCD10（5分）已知函数，其中为常数，且（1，2），若f（x+）f（x），则f（x）的最小正周期为（）A8BCD11（5分）已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|（）AB3C2D412（5分）设函数（e为自然对数的底数），则满足f（x22）f（x）的x的取值范围是（）A（1，2）BCD二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若向量与向量共线，则
4、14（5分）不等式|x+1|2|x1|0的解集为 15（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为 16（5分）设等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2an的最大值为 三解答题（共6小题，共70分）17（12分）已知函数（1）若ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角A的大小（2）在（1）的条件下，若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值18（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为S，若S312，且a2，a6，a18成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前
5、n项和为Tn，求证：1Tn219（12分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，AA12，M是A1C的中点，N是A1B1中点（1）证明：MN平面BCC1B1；（2）若三棱锥NMAB的体积为，求该正三棱柱的底面边长20（12分）已知函数f（x）lnx+ax2+bx（其中a，b为常数）在x1处取得极值（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）当a0时，若f（x）在（0，e上的最大值为1，求a的值21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率与双曲线1的离心率互为倒数，且过点P（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0）相切且分
6、别交椭圆于M、N两点求证：直线MN的斜率为定值；求MON面积的最大值（其中O为坐标原点）22（10分）将圆C1：x2+y24上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得到曲线C2（1）写出C2的参数方程；（2）已知F（4，0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交曲线C2于A，B两点，求|AF|+|BF|2018-2019学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，2，4，B1，3，5，则（UA）B（）A1B3，5C1，6D1，3，5，6【分析】进行交集
7、、补集的运算即可【解答】解：UA3，5，6；（UA）B3，5故选：B【点评】考查列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算2（5分）下列函数中与函数y2|x|的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）Aylog3|x|Byx31CDy1x2【分析】根据题意，分析函数y2|x|的奇偶性与单调性，据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，y2|x|，有f（x）2|x|2|x|f（x），则y2|x|为偶函数，当x0时，y2|x|（）x，为减函数，据此分析选项：对于A，ylog3|x|，为偶函数，当x0时，ylog3（x），为减函数，符合题意；对于B，yx31，不是
8、偶函数，不符合题意；对于C，y，为奇函数，不符合题意；对于D，y1x2，为偶函数，但在区间（，0）上为增函数，不符合题意；故选：A【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题3（5分）在极坐标系中，极点关于直线cossin+10对称的点的极坐标为（）ABCD【分析】极点转化为直角坐标为O（0，0），直线cossin+10的直角坐标方程为xy+10，先求出设点O（0，0）关于直线xy+10对称的点的直角坐标，由此能求出极点关于直线cossin+10对称的点的极坐标【解答】解：极点转化为直角坐标为O（0，0），直线cossin+10的直角坐标方程为xy+10，设
9、点O（0，0）关于直线xy+10对称的点为M（a，b），则，解得a1，b1，M（1，1），tan1，在第二象限，故，极点关于直线cossin+10对称的点的极坐标为（）故选：A【点评】本题考查点的极坐标的求法，考查极坐标、直角坐标的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题4（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）ABCD【分析】三棱锥是底面是等腰直角三角形，腰长是1，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度是，根据三棱锥的体积公式写出体积的表示式，得到结果【解答】解：由三视图知，
10、三棱锥是底面是等腰直角三角形，底边上的高是1，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度是，三棱锥的体积是12，故选：B【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，只要主视图和侧视图是三角形，那么这个几何体一定是一个椎体，由俯视图得到底面是几边形，确定是几棱锥5（5分）下列能使cossintan成立的所在区间是（）ABCD【分析】通过选取选项区间的特殊值，代入验证，即可得到正确选项【解答】解：取答案各区间的特点值代入检验所以A不正确；因为，所以B正确；因为，所以C不正确；因为，不满足cossintan，所以D不正确故选：B【点评】本题考查三角函数的值的大小的比较，考查特殊角的三角
11、函数值的应用，考查计算能力，也可以利用三角函数线解答本题6（5分）如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的x2，n2，依次输入a3，4，5，6，7，则输出的s（）A3B10C25D56【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，输出a3，则s3，k1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，输出a4，则s10，k2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体，输出a5，则s25，k3，满足退出循环的条件；故输出的s值为25，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的
12、办法解答7（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A甲可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C甲、丁可以知道对方的成绩D甲、丁可以知道自己的成绩【分析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而乙知道甲、丙的成绩后仍无法得知自己的成绩，故甲和丙只能一个是优秀，一个是良好；然后进行推理即可【解答】解：由乙不知道自己的成绩可知：甲和丙只能一个是优秀，一个是良好；乙和丁也是一个优秀一个良好，当甲知道丙的成绩后，就
13、可以知道自己的成绩，但是甲不知道乙丁的成绩，丁知道乙的成绩后，能够知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丙的成绩但是丁不知道甲丙的成绩，综上所述，甲，丁可以知道自己的成绩故选：D【点评】本题考查了简单的合情推理，属于基础题8（5分）已知直线x+y2a与圆x2+y24交于A，B两点，O是坐标原点，且，则实数a的值为（）A2B2或2C1或1D或【分析】根据题意，由向量数量积的性质分析可得OAOB，则AOB为直角三角形，进而分析可得圆心O到直线AB的距离dr，由点到直线的距离公式可得，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，若，即OAOB，则AOB为直角三角形，又由圆x2+y24，则|OA|OB|2
14、，则圆心O到直线AB的距离dr，则有，解可得a1；故选：C【点评】本题考查直线与圆方程的应用，注意由分析圆心O到直线的距离，属于基础题9（5分）已知yf（x）是可导函数，如图，直线ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，令g（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）（）ABCD【分析】由题意可得f（3）3k+21，f（3）k，求得k，求出g（x）的导数，计算可得所求值【解答】解：直线ykx+2是曲线yf（x）在x3处的切线，可得f（3）3k+21，f（3）k，即有k，f（3），g（x），可得g（x），则g（3），故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想和运算能
15、力，属于基础题10（5分）已知函数，其中为常数，且（1，2），若f（x+）f（x），则f（x）的最小正周期为（）A8BCD【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性求得，再利用正弦函数的周期性求得它的最小正周期【解答】解：函数，其中为常数，且（1，2），若f（x+）f（x），f（x）的图象关于直线x对称，k，kZ，则f（x）的最小正周期为，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性和最小正周期，属于基础题11（5分）已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|（）AB3C2D4【分析】求出双曲线的渐近线方
16、程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|【解答】解：双曲线C：y21的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60，不妨设过F（2，0）的直线为：y，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|3故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力12（5分）设函数（e为自然对数的底数），则满足f（x22）f（x）的x的取值范围是（）A（1，2）BCD【分析】根据分段函数的单调性，结合题意可得，解得即可【解答】解：当x0时，f（x）exex+e为减函数，且f（0）e，当x0时，f（x）e，f（x22）f（x），解得1x，故选：B【点评】本题考查了分段函数的单调性和不等式的解法，考查可
17、转化能力和运算能力，属于中档题二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若向量与向量共线，则【分析】根据向量共线计算k的值，再计算向量的数量积【解答】解：与共线，2k14k0，解得k，（2，），（2）4+（）1故答案为：【点评】本题考查了平面向量共线的坐标表示，平面向量的数量积运算，属于中档题14（5分）不等式|x+1|2|x1|0的解集为x|x3【分析】移项，两边平方，去掉绝对值，求出不等式的解集即可【解答】解：|x+1|2|x1|0，|x+1|2|x1|，（x+1）24（x1）2，解得：x3，故不等式的解集是【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道基础题15（
18、5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为【分析】由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，利用公式2R求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，球O的半径为R，则l2r，得r，圆锥的高为h，球O的直径为2R，R2因此，球O的体积为V故答案为：【点评】本题考查球体的体积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题16（5分）设等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2an的最大值为
19、64【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2an，然后求解最值【解答】解：等比数列an满足a1+a310，a2+a45，可得q（a1+a3）5，解得qa1+q2a110，解得a18则a1a2ana1nq1+2+3+（n1）8n，当n3或4时，表达式取得最大值：2664故答案为：64【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力三解答题（共6小题，共70分）17（12分）已知函数（1）若ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角A的大小（2）在（1）的条件下，若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值【分析】（1）利用三角函数的
20、倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后代入求值即可（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：（1），又A为锐角，（2）ABC的外接圆半径为1，由正弦定理得2R2，得a2sinA2sin2，所以a2b2+c22bccos，即3b2+c2bc2bcbcbc，即bc3则三角形的面积SbcsinA3，（bc时取等号）故三角形面积最大值为【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，以及利用正弦定理余弦定理结合三角形的面积公式基本不等式的性质是解决本题的关键18（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为S，若S312，且a2
21、，a6，a18成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：1Tn2【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项性质，可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求通项公式；（2）求得2（），由数列的裂项相消求和，化简可得所求和，由数列的单调性即可得证【解答】解：（1）S312，即3a1+3d12，a2，a6，a18成等比数列，可得a62a2a18，即有（a1+5d）2（a1+d）（a1+17d），由解得a1d2，则an2n：（2）证明：2（），则前n项和为Tn2（1+）2（1），由Tn为递增数列，可得TnT11，Tn2，即有1Tn2【点评】本题考查
22、等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列中项性质，以及数列的裂项相消求和，数列的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，AA12，M是A1C的中点，N是A1B1中点（1）证明：MN平面BCC1B1；（2）若三棱锥NMAB的体积为，求该正三棱柱的底面边长【分析】（1）连接B1C，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；（2）设底面边长为a，转化三棱锥的顶点为M，利用体积不难列出方程求得a值【解答】解：（1）证明：如图，连接B1 C，M是A1C的中点，又N是A1B1的中点，MNB1 C，又MN平面BCC1B1，B1 C平面
23、BCC1B1，MN平面BCC1B1（2）解：VNMABVMABN，M是A1C的中点，M到平面ABB1A1的距离是C到平面ABB1A1的距离的一半，如图，作CPAB交AB于P，由正三棱柱的性质，易证CP平面ABB1A1，设底面正三角形边长为a，则三棱锥MABN的高，解得故该正三棱柱的底面边长为【点评】此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中20（12分）已知函数f（x）lnx+ax2+bx（其中a，b为常数）在x1处取得极值（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）当a0时，若f（x）在（0，e上的最大值为1，求a的值【分析】（1）求函数的导数，结合函数极值的性质得到f（1）0，根据函数单
24、调性和导数之间的关系进行求解即可（2）根据函数函数的单调性和最值之间的关系进行求解即可【解答】解：（1）因为f（x）lnx+ax2+bx所以f（x）+2ax+b，因为函数f（x）lnx+ax2+bx在x1处取得极值，则f（1）1+2a+b0，当a1时，b3，则f（x）+2ax+b+2x3，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，） （，1） 1（1，+） f（x） +00+ f（x） 极大值 极小值所以f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+），单调递减区间为（，1）（2）因为f（x），令f（x）0，得x1或x，因为f（x）在x1取得极值，且a0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，
25、在（1，e上单调递减，所以f（x）在区间（0，e上的最大值为f（1），由（1）知，f（1）1+2a+b0得b12a，则f（x）lnx+ax2+（12a）x，令f（1）1，解得ln1+a12a1a1，得a2【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，进行讨论求解是解决本题的关键综合性较强，运算量较大21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率与双曲线1的离心率互为倒数，且过点P（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0）相切且分别交椭圆于M、N两点求证：直线MN的斜率为定值；求MON面积的最大值（其中O为坐标原
26、点）【分析】（1）求得双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，由离心率公式和P满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）运用直线和圆相切的条件：dr，同时联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得定值；设直线MN的方程为yx+m，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值【解答】解：（1）双曲线1的离心率为2，可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，所以a2c，因为C过点P，所以+1，又c2a2b2，解得a2，b，c1，所以椭圆方程为+1；（2）证明：显然两直线l1，l2的斜率存在，设为
27、k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），由于直线l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0）相切，则有k1k2，直线l1的方程为yk1（x1），联立椭圆方程3x2+4y212，消去y，得x2（3+4k12）+k1（128k1）x+（32k1）2120，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以x1+1，同理，当l2与椭圆相交时，x2+1，所以x1x2，而y1y2k1（x1+x2）2k1，所以直线MN的斜率k；设直线MN的方程为yx+m，联立椭圆方程3x2+4y212，消去y得x2+mx+m230，所以|MN|，原点O到直线的距离d，OMN的面积为S，当且仅当m22时取得等号经检验，存在r（0r），
28、使得过点P（1，）的两条直线与圆（x1）2+y2r2相切，且与椭圆有两个交点M，N所以MNO面积的最大值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的面积的最值求法，注意运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题22（10分）将圆C1：x2+y24上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得到曲线C2（1）写出C2的参数方程；（2）已知F（4，0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交曲线C2于A，B两点，求|AF|+|BF|【分析】（1）求出曲线C2的普通方程，即可写出C2的参数方程；（2）将直线的参数方程变为（t为参数）代入x2+5y220，化简得，利用参数的几何意义，即可求|AF|+|BF|【解答】解：（1）设圆C1上任意一点P（x，y），曲线C2上任意一点P（x，y），则由题意得，代入C1方程x2+y24，可得，即曲线C2的参数方程为（2）将直线的参数方程变为（t为参数）代入x2+5y220，化简得，设方程的两个实根为t1，t2，t1+t2，t1t2，则|AF|+|BF|t1t2|【点评】本题考查参数方程，考查参数的几何意义的运用，属于中档题
