1、2017-2018学年云南省红河州个旧一中高二（下）第一次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为（）A3B2C1D02（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD3（5分）已知sincos，则sin2（）ABCD4（5分）若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是（）A（，+）B（，2）C（1，）D（
2、1，2）5（5分）已知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D16（5分）设函数f（x）cos（x+），则下列结论错误的是（）Af（x）的一个周期为2Byf（x）的图象关于直线x对称Cf（x+）的一个零点为xDf（x）在（，）单调递减7（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5B4C3D28（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD9（5分）等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）
3、A24B3C3D810（5分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab0相切，则C的离心率为（）ABCD11（5分）已知函数f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a（）ABCD112（5分）在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若+，则+的最大值为（）A3B2CD2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足约束条件，则z3x4y的最小值为 14（5分）设等比数列an满足a1+a21，a1a33，则a4 15（5分）设函数f（x），则满足f（x）+f（x）1
4、的x的取值范围是 16（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA0，a2，b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积18（12分）设数列a
5、n满足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和19（12分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值20（12分）设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程21（12分）已知函数f（x）1nx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性（2）当a0时，证明
6、选修4-5：不等式选讲（10分）22（10分）已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围2017-2018学年云南省红河州个旧一中高二（下）第一次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为（）A3B2C1D0【分析】解不等式组求出元素的个数即可【解答】解：由，解得：或，AB的元素的个数是2个，故选：B【点评】本题考查了集合的运算，是一道基
7、础题2（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S，则对应概率P，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键3（5分）已知sincos，则sin2（）ABCD【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出【解答】解
8、：sincos，（sincos）212sincos1sin2，sin2，故选：A【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题4（5分）若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是（）A（，+）B（，2）C（1，）D（1，2）【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可【解答】解：a1，则双曲线y21的离心率为：（1，）故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5（5分）已知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲
9、线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程【解答】解：椭圆+1的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（3，0），可得c3，双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，可得，即，可得，解得a2，b，所求的双曲线方程为：1故选：B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力6（5分）设函数f（x）cos（x+），则下列结论错误的是（）Af（x）的一个周期为2Byf（x）的图象关于直线x对称Cf（x+）的一个零点为xDf（x）在（，）单调递减【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可【解答】解：A函数的周期为2k，当k1时，周期T2，故A正确，B当x时
10、，cos（x+）cos（+）coscos31为最小值，此时yf（x）的图象关于直线x对称，故B正确，C当x时，f（+）cos（+）cos0，则f（x+）的一个零点为x，故C正确，D当x时，x+，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键7（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5B4C3D2【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论【解答】解：由题可知初始值t1，M100，S0，要使输出S的值小于91，应满足“tN”，则进入循环体，从而S10
11、0，M10，t2，要使输出S的值小于91，应接着满足“tN”，则进入循环体，从而S90，M1，t3，要使输出S的值小于91，应不满足“tN”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选：D【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题8（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r，由此能求出该圆柱的体积【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r，该圆柱的体积：VSh故选：B【点评】本题考查面圆柱的体积的求法
12、，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题9（5分）等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）A24B3C3D8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出an前6项的和【解答】解：等差数列an的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，（a1+2d）2（a1+d）（a1+5d），且a11，d0，解得d2，an前6项的和为24故选：A【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用10（5分）已知椭圆C
13、：1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab0相切，则C的离心率为（）ABCD【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab0相切，可得原点到直线的距离a，化简即可得出【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab0相切，原点到直线的距离a，化为：a23b2椭圆C的离心率e故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）已知函数f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a（）ABCD1【分析】通过转化可知问题等价于函数y1（x
14、1）2的图象与ya（ex1+）的图象只有一个交点求a的值分a0、a0、a0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论【解答】解：因为f（x）x22x+a（ex1+ex+1）1+（x1）2+a（ex1+）0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1（x1）2a（ex1+）有唯一解，等价于函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+）的图象只有一个交点当a0时，f（x）x22x1，此时有两个零点，矛盾；当a0时，由于y1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且ya（ex1+）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+）的图象的最高点为B
15、（1，2a），由于2a01，此时函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+）的图象有两个交点，矛盾；当a0时，由于y1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且ya（ex1+）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a1，即a，符合条件；综上所述，a，故选：C【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题12（5分）在矩形ABCD中，AB1，A
16、D2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若+，则+的最大值为（）A3B2CD2【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cos+1，sin+2），根据+，求出，根据三角函数的性质即可求出最值【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，BC2，CD1，BDBCCDBDr，r，圆的方程为（x1）2+（y2）2，设点P的坐标为（cos+1，sin+2），+，（cos+1
17、，sin+2）（1，0）+（0，2）（，2），cos+1，sin+22，+cos+sin+2sin（+）+2，其中tan2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值为3，故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足约束条件，则z3x4y的最小值为1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z3x4y的最小值【解答】解：由z3x4y，得yx，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线yx，由平移可知当直线yx，经
18、过点B（1，1）时，直线yx的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z3x4y341，即目标函数z3x4y的最小值为1故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14（5分）设等比数列an满足a1+a21，a1a33，则a48【分析】设等比数列an的公比为q，由a1+a21，a1a33，可得：a1（1+q）1，a1（1q2）3，解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a1+a21，a1a33，a1（1+q）1，a1（1q2）3，解得a11，q2则a4（2）38故答案为：8【点评】本题考查了等比数列的通项公式
19、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）设函数f（x），则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是（，+）【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可【解答】解：若x0，则x，则f（x）+f（x）1等价为x+1+x+11，即2x，则x，此时x0，当x0时，f（x）2x1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）1恒成立，当0x，即x0时，f（x）x+1x+，此时f（x）+f（x）1恒成立，综上x，故答案为：（，+）【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键16（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰
20、直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60；其中正确的是（填写所有正确结论的编号）【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：由题意知，a、
21、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），|1，直线b的方向单位向量（1，0，0），|1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B（cos，sin，0），其中为BC与CD的夹角，0，2），AB在运动过程中的向量，（cos，sin，1），|，设与所成夹角为0，则cos|sin|0，正确，错误设与所成夹角为0，cos|c
22、os|，当与夹角为60时，即，|sin|，cos2+sin21，cos|cos|，0，此时与的夹角为60，正确，错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA0，a2，b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（2）先根据夹
23、角求出cosC，求出CD的长，得到SABDSABC【解答】解：（1）sinA+cosA0，tanA，0A，A，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA，即284+c222c（），即c2+2c240，解得c6（舍去）或c4，故c4（2）c2b2+a22abcosC，1628+4222cosC，cosC，CDCDBCSABCABACsinBAC422，SABDSABC【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题18（12分）设数列an满足a1+3a2+（2n1）an2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和【分析】（1）利用数列递推关系即可得出（2）利用裂
24、项求和方法即可得出【解答】解：（1）数列an满足a1+3a2+（2n1）an2nn2时，a1+3a2+（2n3）an12（n1）（2n1）an2an当n1时，a12，上式也成立an（2）数列的前n项和+1【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，ODABC是等边三角形，可
25、得OBAC由已知可得：ABDCBD，ADCDACD是直角三角形，可得AC是斜边，ADC90可得DOAC利用DO2+BO2AB2BD2可得OBOD利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（2）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE则根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得1，即点E是BD的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取AB2利用法向量的夹角公式即可得出【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，ODABC是等边三角形，OBACABD与CBD中，ABBDBC，ABDCBD，ABDCBD，ADCDACD是直角三角形，AC是斜边，ADC90DOACDO2+BO
26、2AB2BD2BOD90OBOD又DOACO，OB平面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE则平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，1点E是BD的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取AB2则O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），E（1，0，1），（2，0，0）设平面ADE的法向量为（x，y，z），则，即，取同理可得：平面ACE的法向量为（0，1，）cos二面角DAEC的余弦值为【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力
27、，属于中档题20（12分）设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【分析】（1）设A（x1，），B（x2，），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；（2）设M（m，），求出y的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得x1，x2的关系式，再由直线AB：yx+t与y联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y上两点，则直
28、线AB的斜率为k（x1+x2）41；（2）设直线AB的方程为yx+t，代入曲线C：y，可得x24x4t0，即有x1+x24，x1x24t，再由y的导数为yx，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m1，解得m2，即M（2，1），由AMBM可得，kAMkBM1，即为1，化为x1x2+2（x1+x2）+200，即为4t+8+200，解得t7则直线AB的方程为yx+7【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）1nx+ax2+（2a+
29、1）x（1）讨论f（x）的单调性（2）当a0时，证明【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）求出函数的最大值，令t，则t0，问题转化为证明t+lnt1+ln2，令g（t）t+lnt，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x）1nx+ax2+（2a+1）x，f（x）+2ax+2a+1，x0，当a0时，f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，令f（x）0，解得x，当x（0，） 时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当x（，+） 时，f（x）0，函数f（x）单调递减，综上所述当a0时，函数f（x）在（0，+）上单调递
30、增，当a0时，函数f（x）在（0，） 上单调递增，在（，+）上 单调递减；证明：（2）由（1）可知，当a0时，函数f（x）在（0，） 上单调递增，在（，+）上 单调递减，f（x）maxf（）1ln2ln（a），从而要证，只要证1ln2ln（a）2，令t，则t0，问题转化为证明t+lnt1+ln2，令g（t）t+lnt，则g（t）+，当0t2时，g（t）0，函数g（t）单调递增，当t2时，g（t）0，函数g（t）单调递减，g（t）g（2）1+ln2，即t+lnt1+ln2成立，当a0时，成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一
31、道综合题选修4-5：不等式选讲（10分）22（10分）已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，解不等式f（x）1可分1x2与x2两类讨论即可解得不等式f（x）1的解集；（2）依题意可得mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三类讨论，可求得g（x）max，从而可得m的取值范围【解答】解：（1）f（x）|x+1|x2|，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）x2+x由（1）知，g（x），当x1时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x1，g（x）g（1）1135；当1x2时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x（1，2），g（x）g（）+1；当x2时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，g（x）g（2）4+2+31；综上，g（x）max，m的取值范围为（，【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用
