1、2017-2018学年云南省红河州个旧一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有唯一正确答案）1（5分）已知N是自然数集，设集合Ax|N，B0，1，2，3，4，则AB（）A0，2B0，1，2C2，3D0，2，42（5分）下面给出的是某校高三（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（）A成绩是50分或100分的人数是0B成绩为75分的人数为20C成绩为60分的频率为0.18D成绩落在6080分的人数为293（5分）如果命题“pq”是假命题，“p”也是假命题，则（）A命题“pq”是假命题B命题“p
2、q”是假命题C命题“pq”是真命题D命题“pq”是真命题4（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）ABCD5（5分）在下列向量中，可以把向量表示出来的是（）A，B，C，D，6（5分）mx2+ny21表示的曲线一定不是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线7（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8现采用随机模拟的方法计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数
3、为一组，代表射击4次的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A0.85B0.8192C0.8D0.758（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A0B1C2D39（5分）已知a，b都是实数，p：直线x+y0与圆（xa）2+（yb）22相切；q：a+b2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
4、件D既不充分也不必要条件10（5分）若焦点在y轴上的椭圆+1（m0）的离心率e（，1）则实数m的取值范围为（）A（，+）B（3，4）C（2，）D（0，3）11（5分）已知ab0，椭圆C1的方程为+1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy012（5分）设奇函数f（x）定义在（，0）（0，+）上，f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）13（5分）已知yf（x）是定义在R上的减
5、函数，若f（m1）f（12m），则实数m的取值范围是 14（5分）若实数x，y满足则zlog2（x+2y）的最大值是 15（5分）已知函数的最小正周期为，则当x0，时函数f（x）的一个零点是 16（5分）中国古代数学经典九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑若三棱锥PABC为鐅臑，且PA平面ABC，PA2，AB3，BC4，ABBC，则该鐅臑的外接球的表面积为 三、解答题（6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知f（x）|2x1|x+1|（1）将f（x）的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象（2）若a+b1，对a，b（0，+），恒成立，求x的
6、取值范围18（12分）如图，a，b，c分别是锐角ABC的三个内角A，B，C的对边，bsinA+acosB，sin（1）求sinC的值；（2）若点D在边BC上且BD3CD，ABC的面积为14，求AD的长度19（12分）在等差数列an中，已知公差d0，a110，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求数列an的通项公式an；（）求|a1|+|a2|+|a20|20（12分）如图，在三棱锥ABCD中，ADDC2，ADDC，ACCB，AB4，平面ADC平面ABC，M为AB的中点（）求证：BC平面ADC；（）求直线AD与平面DMC所成角的正弦值21（12分）如图所示，斜率为1的直线过抛物线y22px（
7、p0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点（1）若|AB|8，求抛物线的方程；（2）求SABM的最大值22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是8+2（）求椭圆C的方程；（）设圆T：（x2）2+y2，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率2017-2018学年云南省红河州个旧一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有唯一正确答案）1（5分）已知N是自然数集，设集合Ax|N，B0，1，2，3，4，则A
8、B（）A0，2B0，1，2C2，3D0，2，4【分析】由元素与集合的关系及自然数集的概念得：A，又B0，1，2，3，4，所以AB【解答】解：因为N，所以x0，1，2，5，即A，又B0，1，2，3，4，所以AB，故选：B【点评】本题考查了自然数的概念、交集及其运算2（5分）下面给出的是某校高三（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（）A成绩是50分或100分的人数是0B成绩为75分的人数为20C成绩为60分的频率为0.18D成绩落在6080分的人数为29【分析】由折线图得：数学成绩的频率分布直方图的组距为10，进而分析各个结论的真假，可得答案
9、【解答】解：由折线图得：数学成绩的频率分布直方图的组距为10，在A中，成绩是50分的人数，和分数为100分的人数不一定是0，故A错误；在B中，成绩落在7080分的人数为500.0401020，但成绩为75的人数不一定为20，故B错误；在C中，成绩落在6070分的频率为0.018100.18，但成绩为60分的频率不一定为0.18，故C错误；在D中，成绩落在6070分的人数为500.189，故成绩落在6080分的人数为29，故D正确；故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查图形的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题3（5分）如果命题“pq”
10、是假命题，“p”也是假命题，则（）A命题“pq”是假命题B命题“pq”是假命题C命题“pq”是真命题D命题“pq”是真命题【分析】根据已知条件判断p，q的真假，再逐一判断选项得答案【解答】解：命题“pq”是假命题，“p”也是假命题，可得p为真，q为假，pq，pq，pq均为假命题正确的是“pq”是假命题故选：A【点评】本题考查了复合命题的真假判断，是基础题4（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）ABCD【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可【解答】解：要使中奖率增加，则对
11、应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A概率P，B概率P，C概率P，D概率P，则概率最大的为，故选：A【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，比较基础5（5分）在下列向量中，可以把向量表示出来的是（）A，B，C，D，【分析】根据平面向量基底的特点作出判断【解答】解：根据平面向量的基本定理可知，作为平面向量基底的一组向量必须为非零不共线向量，而A中的为零向量，不符合条件；C，D中的两组向量均为共线向量，不符合条件；故选：B【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题6（5分）mx2+ny21表示的曲线一定不是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线【分析】通过m，n的特殊值的取值，判断曲线
12、的轨迹，推出结论【解答】解：当m0，n0时表示直线，mn0时表示椭圆，mn0时表示双曲线，故选：A【点评】本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查7（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8现采用随机模拟的方法计该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616
13、 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A0.85B0.8192C0.8D0.75【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424
14、 4281共15组随机数，所求概率为0.75故选：D【点评】本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用8（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A0B1C2D3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可【解答】解：第一次N24，能被3整除，N3不成立，第二次N8，8不能被3整除，N817，N73不成立，第三次N7，不能被3整除，N716，N23成立，输出N2，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键9（5分）已知a，b都是实数，p：
15、直线x+y0与圆（xa）2+（yb）22相切；q：a+b2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线和圆相切的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若直线x+y0与圆（xa）2+（yb）22相切，则圆心（a，b）到直线的距离d，即|a+b|2，则a+b2或a+b2，即p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键10（5分）若焦点在y轴上的椭圆+1（m0）的离心率e（，1）则实数m的取值范围为（）A（，+）B（3，4）C（2，）D（0，3）【分
16、析】通过椭圆的离心率列出不等式，转化求解即可【解答】解：焦点在y轴上的椭圆+1（m0）的离心率e（，1）可得：，解得m（0，3）故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查11（5分）已知ab0，椭圆C1的方程为+1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程【解答】解：ab0，椭圆C1的方程为+1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为1，C2的离心率为：，C1与C2的离心率之积为，C2的渐近线方程为：y，即xy0故选：A【点评】本题
17、考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查12（5分）设奇函数f（x）定义在（，0）（0，+）上，f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）【分析】根据已给的函数性质，结合奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象，注意过点（1，0）和（1，0），且在（，0）和（0，+）上有相同的单调性，再将要解的不等式据函数性质化简为xf（x）0，据图可得不等式的解集【解答】解：奇函数f（x）定义在（，0）（0，+）上，在（0，+）上为增函数，且f（1）0，函数f（x）的关于
18、原点对称，且在（，0）上也是增函数，过点（1，0），所以可将函数f（x）的图象画出，大致如下f（x）f（x），不等式0可化为，即xf（x）0，不等式的解集即为自变量与函数值异号的x的范围，据图象可知x（1，0）（0，1）故选：D【点评】此题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，解题抓住两点：抽象函数直观化，即借助于图象表现其性质，借助于图象求解；函数的奇偶性与单调性的关系，奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数的单调性则相反二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）13（5分）已知yf（x）是定义在R上的减函数，若f（m1）f（12m），则实数m的取值范围是（，）【分析】根据题意，由函
19、数单调性的性质可得若f（m1）f（12m），则有m112m，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，yf（x）是定义在R上的减函数，若f（m1）f（12m），则有m112m，解得，即m的取值范围是（，）；故答案为：（，）【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，关键是理解函数单调性的定义14（5分）若实数x，y满足则zlog2（x+2y）的最大值是1【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数zx+2y的最大值【解答】解：由实数x，y满足得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（0，1），B（，），O（0，0）将三
20、个代入得x+2y的值分别为2，0，直线ux+2y过点 A（0，1）时，z取得最大值为log221；故答案为：1【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解15（5分）已知函数的最小正周期为，则当x0，时函数f（x）的一个零点是【分析】利用辅助角公式化积，再由已知求得，进一步求出函数的零点得答案【解答】解：f（x），且f（x）的最小正周期为，得2，f（x）2sin（2x+），由f（x）0，得2sin（2x+）0，即2x+k，kZ，x，kZx0，x当x0，时函数f（x）的一个零点是故答案为：【点评】本题
21、考查三角函数中的恒等变换应用，考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，是基础题16（5分）中国古代数学经典九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑若三棱锥PABC为鐅臑，且PA平面ABC，PA2，AB3，BC4，ABBC，则该鐅臑的外接球的表面积为29【分析】先计算出直角三角形ABC的外接圆直径AC，然后利用公式得出该鐅臑的外接球的半径R，最后利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解：ABBC，所以，直角三角形ABC的外接圆直径为，由于PA平面ABC，则该鐅臑的外接球的直径为，因此，该鐅臑的外接球的表面积为4R2（2R）229故答案为：29【点评】本题考查球体的表面积的计算，解决
22、本题的关键在于找准合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题三、解答题（6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知f（x）|2x1|x+1|（1）将f（x）的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象（2）若a+b1，对a，b（0，+），恒成立，求x的取值范围【分析】（1）讨论x的范围：x1，1x，x，去绝对值，可得f（x）的分段函数的解析式，由分段函数图象画法可得其图象；（2）运用乘1法和基本不等式，可得+的最小值，由题意可得|2x1|x+1|3，结合图象即可得到所求x的范围【解答】解：（1）由f（x）|2x1|x+1|得，函数f（x）的图象如图所示（
23、2）因为a，b（0，+），且a+b1，所以，当且仅当，即，时等号成立因为恒成立，所以|2x1|x+1|3，结合图象知1x5，所以x的取值范围是1，5【点评】本题考查分段函数的解析式的求法和图象的画法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用基本不等式，考查不等式的解法，注意运用数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题18（12分）如图，a，b，c分别是锐角ABC的三个内角A，B，C的对边，bsinA+acosB，sin（1）求sinC的值；（2）若点D在边BC上且BD3CD，ABC的面积为14，求AD的长度【分析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B的大小，利用两角和的正弦函数求解C的正弦函
24、数值即可（2）利用正弦定理求出BD，然后利用余弦定理求解AD即可【解答】解：（1）由题知，则，因B为锐角，所以（3分），由，所以sinCsin（B+BAC）sinBcosBAC+cosBsinBAC（6分）（2）由正弦定理又，（8分）解得（9分）所以，由余弦定理，AD2AB2+BD22ABBDcosB，解得AD5（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力19（12分）在等差数列an中，已知公差d0，a110，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（）求数列an的通项公式an；（）求|a1|+|a2|+|a20|【分析】（）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可
25、得公差，即可得到所求通项公式；（）去绝对值分组，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（）等差数列an的公差d0，a110，a1，2a2+2，5a3成等比数列，可得（2a2+2）25a1a3，即为（22+2d）250（10+2d），解得d1（4舍去），可得数列an的通项公式an10（n1）11n；（）|a1|+|a2|+|a20|（10+9+8+1+0）+（1+2+3+9）1011+910100【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题20（12分）如图，在三棱锥ABCD中，ADDC2，ADDC，ACCB，AB4，
26、平面ADC平面ABC，M为AB的中点（）求证：BC平面ADC；（）求直线AD与平面DMC所成角的正弦值【分析】（）证明BCAC，利用平面ABC平面ADC，即可证明：BC平面ADC；（）取AC中点N，连MN，DN由VADMCVDAMC得点A到平面DMC的距离，即可求直线AD与平面DMC所成角的正弦值【解答】（）证明：ADDC2且ADDC，又AB4，满足AC2+BC2AB2，BCAC（4分）平面ABC平面ADC，BC平面ABC，平面ABC平面ADCAC，BC平面ADC（6分）（）解：取AC中点N，连MN，DN在RtADC中，DNAC且，又平面ABC平面ADC，DN平面ABC，在ABC中，MNBC且
27、由（）知BC平面ADC，则MN平面ADC，又DN平面ADC，MNDN，即，（8分）在ABC中，（10分）设点A到平面DMC的距离为h，则由VADMCVDAMC得解得，设AD与平面DMC所成角为，则，直线AD与平面DMC所成角正弦值为（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查面面垂直的性质，考查线面角，考查体积的计算，属于中档题21（12分）如图所示，斜率为1的直线过抛物线y22px（p0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点（1）若|AB|8，求抛物线的方程；（2）求SABM的最大值【分析】（1）根据题意，分析易得直线AB的方程，将其与y22px联立，得x23px+p
28、20，由根与系数的关系可得x1+x23p，结合抛物线的定义可得|AB|x1+x2+p4p8，解可得p的值，即可得抛物线的方程；（2）设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yx+m，代入抛物线方程，得x2+2（mp）x+m20，进而可得与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案【解答】解（1）由条件知lAB：yx，与y22px联立，消去y，得x23px+p20，则x1+x23p由抛物线定义得|AB|x1+x2+p4p又因为|AB|8，即p2，则抛物线的方程为y24x；（2）由（1）知|AB|4p，且lAB：yx，设与直线AB平行且与抛物线相
29、切的直线方程为yx+m，代入抛物线方程，得x2+2（mp）x+m20由4（mp）24m20，得m与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为yx+，两直线间的距离为dp，故SABM的最大值为4ppp2【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质22（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是8+2（）求椭圆C的方程；（）设圆T：（x2）2+y2，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，求直线EF的斜率【分析】（1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由PF1F2的周长，得a，c的另一关系，联立求得a
30、，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为ykx+1，由直线ykx+1与圆T相切可知，即32k2+36k+50，由根与系数关系得到k1+k2，k1k2，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，利用斜率公式得到kEF【解答】解：（）由题意，e，可知a4b，cb，PF1F2的周长是8+2，2a+2c8+2，a4，b1，所求椭圆方程为+y21 （4分）（）椭圆的上顶点为M（0，1），由题知过点M与圆T相切的直线有斜率，则设其方程为l：ykx+1，由直线ykx+1与圆T相切可知，即32k2+36k+50，k1+k2，k1k2，（6分）由得（1+16k12）x2+32k1x0，xE 同理xF （9分）kEF故直线EF的斜率为（12分）【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，直线与圆相切的条件，是中档题
