1、2017-2018学年云南省玉溪一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知Ax|x1，Bx|x22x30，则AB（）Ax|x1或x1Bx|1x3Cx|x3Dx|x12（5分）复数（）A1iB1+iC1+iD1i3（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a610，则S9（）A20B35C45D904（5分）设xR，则“”是“x31”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）ABC+D+6（5
2、分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D327（5分）（1x）（1+x）5展开式中x2项的系数是（）A4B5C8D128（5分）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2（1sinA），则A（）ABCD9（5分）甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A210B84C343D33610（5分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB
3、2，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B16C20D2411（5分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，以O为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P，且直线OP的斜率为，则椭圆的离心率为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）ex（3x1）ax+a（a1），若有且仅有两个整数xi（i1，2），使得f（xi）0，则a的取值范围为（）A）B）C0.）D）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为 14（5分）已知x，yR+，且4x+y1，则的最小值是 15（5分）若实数x
4、，y满足条件，则的最大值为 16（5分）函数f（x）sin2x+2cos2x，函数g（x）mcos（2x）2m+3（m0），若对所有的x20，总存在x10，使得f（x1）g（x2）成立，则实数m的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinAsinB）c（sinCsinB）（1）求A（2）若a4，求ABC面积S的最大值18（12分）已知某厂生产的电子产品的使用寿命X（单位：小时）服从
5、正态分布N（1000，2），且P（X800）0.1，P（X1300）0.02（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1200，1300）的概率；（2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在800，1200）的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E（Y）19（12分）如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，CFDE，DE3CF，BE与平面ABCD所成的角为45（1）求证：平面ACE平面BDE；（2）求二面角FBED的余弦值20（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，O
6、Q的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值21（12分）已知函数f（x）xalnx，（aR）（1）当a2时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）设，若不等式f（x）g（x）对任意x1，e恒成立，求a的取值范围二.选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（t为参数）（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值23已知f（x）|
7、xa2|+|x+2a+3|（1）证明：f（x）2；（2）若f（）3，求实数a的取值范围2017-2018学年云南省玉溪一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知Ax|x1，Bx|x22x30，则AB（）Ax|x1或x1Bx|1x3Cx|x3Dx|x1【分析】解不等式得出集合B，根据并集的定义写出AB【解答】解：Ax|x1，Bx|x22x30x|1x3，则ABx|x1故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2（5分）复数（）A1iB1+iC1+iD1i【分析
8、】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a610，则S9（）A20B35C45D90【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a4+a610，S945故选：C【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）设xR，则“”是“x31”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的
9、定义即可求出【解答】解：由可得，解得x1，由x31，解得x1，故“”是“x31”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件的判定，属于基础题5（5分）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）ABC+D+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量【解答】解：在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（+），故选：A【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题6（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D32【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥
10、，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长是4，圆锥的侧面积是248，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是22+22420空间组合体的表面积是28，故选：C【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端7（5分）（1x）（1+x）5
11、展开式中x2项的系数是（）A4B5C8D12【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得（1x）（1+x）5展开式中x2项的系数【解答】解：（1x）（1+x）5（1x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x2项的系数是1055，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8（5分）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2（1sinA），则A（）ABCD【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1cosA1sinA，即sinAcosA，进行求解即可【解答】解：bc，a2b2+c22bccosA2b
12、22b2cosA2b2（1cosA），a22b2（1sinA），1cosA1sinA，则sinAcosA，即tanA1，即A，故选：C【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键9（5分）甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A210B84C343D336【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题需要分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有种；若有一个台阶有2人另一个是
13、1人共有种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种故选：D【点评】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到步骤完整，完成了所有步骤，恰好完成任务10（5分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B16C20D24【分析】求解底面长方形的外接圆，PA平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可【解答】解：由题意，PA平面A
14、BC，PAAB2，平面ABC是直角三角形，补形底面为长方形球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆rR2r2+1，即R球O的表面积S4R212故选：A【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养11（5分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，以O为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P，且直线OP的斜率为，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出【解答】解：在RtPF1F2中，F1PF290，POF260，|PF2|c，|PF1|，又|PF1|+|PF2|2ac+，故选：A【点评
15、】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）ex（3x1）ax+a（a1），若有且仅有两个整数xi（i1，2），使得f（xi）0，则a的取值范围为（）A）B）C0.）D）【分析】设g（x）ex（3x1），h（x）axa，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数xi使得g（xi）在直线h（x）axa的下方，求导数可得函数的极值，解g（1）h（1）0，g（2）h（2）0，求得a的取值范围【解答】解：设g（x）ex（3x1），h（x）axa，则g（x）ex（3x+2），x（，），g（x）0，g（x）单调递减，x（，+），g
16、（x）0，g（x）单调递增，x，取最小值3，g（0）1ah（0），g（1）h（1）2e0，直线h（x）axa恒过定点（1，0）且斜率为a，g（1）h（1）4e1+2a0，a，g（2），h（2）3a，由g（2）h（2）0，解得：a，故选：B【点评】本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为【分析】由，得2x0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“”发生的概率【解答】解：，2x0，在区间3，5上随机取一个实数x，由几何概型概率计算公式得：事
17、件“”发生的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）已知x，yR+，且4x+y1，则的最小值是9【分析】直接将代数式4x+y与相乘，利用基本不等式可求出的最小值【解答】解：由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为9，故答案为：9【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑是解决本题的关键，属于中等题15（5分）若实数x，y满足条件，则的最大值为1【分析】作出平面区域，则表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率求解最大值即可【解答】解：作出实数x，y满足条件的平面区
18、域如图所示：由平面区域可知当直线过A点时，斜率最大解方程组得A（1，2）z的最大值为1故答案为：1【点评】本题考查了简单的线性规划，作出平面区域，找到目标函数的几何意义是关键，属于中档题16（5分）函数f（x）sin2x+2cos2x，函数g（x）mcos（2x）2m+3（m0），若对所有的x20，总存在x10，使得f（x1）g（x2）成立，则实数m的取值范围是1，【分析】分别求得f（x）、g（x）在0，上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m的取值范围【解答】解：f（x）sin2x+（2cos2x1）sin2x+cos2x2sin（2x+），当x0，2x+，sin（2x+
19、），1，f（x）1，2对于g（x）mcos（2x）2m+3（m0），2x，mcos（2x），m，g（x）+3，3m由于对所有的x20，总存在x10，使得f（x1）g（x2）成立，可得+3，3m1，2，故有 3m2，+31，解得实数m的取值范围是1，故答案为：【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x20，总存在x10，使得f（x1）g（x2）成立”的含义，属于难题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共
20、60分17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinAsinB）c（sinCsinB）（1）求A（2）若a4，求ABC面积S的最大值【分析】（1）由已知根据正弦定理得a2b2c2bc，利用余弦定理可求cosA的值，结合范围0A，可求A的值（2）根据余弦定理及基本不等式可求bc16，进而利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据正弦定理得（a+b）（ab）c（cb），即a2b2c2bc，则，即，由于0A，所以（6分）（2）根据余弦定理，由于a22bcbcbc，即bc16，所以ABC面积，当且仅当bc4时等号成立故ABC面积S的最大值为
21、（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知某厂生产的电子产品的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布N（1000，2），且P（X800）0.1，P（X1300）0.02（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1200，1300）的概率；（2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在800，1200）的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E（Y）【分析】（1）X正态分布N（1000，2），且P（X800）0.1，P（X1300）0.02可得P（1200X1300）+P（X13
22、00）P（X1200）P（X800）即可得出P（1200X1300）（2）P（800X1200）12P（X800）可得YBP（Yk），（k0，1，2，3）即可得出【解答】解：（1）X正态分布N（1000，2），且P（X800）0.1，P（X1300）0.02P（1200X1300）+P（X1300）P（X1200）P（X800）0.1P（1200X1300）0.10.020.08即使用寿命在1200，1300）的概率为0.08（2）P（800X1200）12P（X800）120.10.8YBP（Yk），（k0，1，2，3）P（Y0），P（Y1），同理可得：P（Y2），P（Y3）所以Y分布列：
23、Y 0 1 2 3 P（Y） EY【点评】本题考查了正态分布的性质及其应用、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，CFDE，DE3CF，BE与平面ABCD所成的角为45（1）求证：平面ACE平面BDE；（2）求二面角FBED的余弦值【分析】（1）根据ACBD，ACDE可得AC平面BDE，故而平面ACE平面BDE；（2）建立空间坐标系，求出平面BDE和平面BEF的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小【解答】（1）证明：DE平面ABCD，AC平面ABCDDEAC又底面ABCD是正方形，ACBD，又BDD
24、ED，AC平面BDE，又AC平面ACE，平面ACE平面BDE（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，BE与平面ABCD所成的角为45，即EBD45，DEBDAD3，CFDEA（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，3），F（0，3，），（3，0，），（0，3，2）， 设平面BEF的一个法向量为（x，y，z），则，即，令z3，则（2，4，3）又AC平面BDE，（3，3，0）为平面BDE的一个法向量cos二面角FBED为锐角，二面角FBED的余弦值为【点评】本题考查了面面垂直的性质，空间向量的应用，属于中档题20（12分）
25、已知椭圆的离心率为，且C过点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值【分析】（1）由题意可得，解得即可；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：ykx+t（t0）与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+8ktx+4t240由0，可得1+4k2t2得到根与系数的关系可得k2，直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，化为4k21，即可证明【解答】解：（1）由题意可得，解得a2，b1，c，故椭圆C的方程为+y21，证明：（2）：设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可
26、设直线l的方程为：ykx+t（t0）联立，化为（1+4k2）x2+8ktx+4t24064k2t24（4t24）（1+4k2）0，化为1+4k2t2x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+t）（kx2+t）k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，k2，即k2x1x2+kt（x1+x2）+t2kx1x2，+t20，t0，4k21，结合图形可知k，直线l的斜率为定值为【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）xalnx，（aR）（1）当a2时，求曲线yf
27、（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）设，若不等式f（x）g（x）对任意x1，e恒成立，求a的取值范围【分析】（1）当a2时，求解函数的导数，求出切点坐标，球心的斜率，然后求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）设，设h（x）f（x）g（x），利用函数的导数，判断函数的单调性，通过ae1时，a0时，0ae1时，判断函数的单调性求解函数的最小值，然后求解a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）x2lnx，f（1）1，切点为（1，1），kf（1）121，曲线yf（x）在点（1，1）处的切线方程为：y1（x1），即x+y20（4分）（2）设h（x）f（x）g（x），（6分
28、）不等式f（x）g（x）对任意x1，e恒成立，即函数在1，e上的最小值大于零当1+ae，即ae1时，h（x）在1，e上单调递减，h（x）的最小值为h（e），由可得，（8分）当1+a1，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，h（x）最小值为h（1），由h（1）1+1+a0可得a2，即2a0（10分）当11+ae，即0ae1时，可得h（x）最小值为h（1+a），0ln（1+a）1，0aln（1+a）a，故h（1+a）2+aaln（1+a）2即0ae1，综上可得，a的取值范围是（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，切线方程的求法，考查分类讨论思想的应用二.选考题：共10分请考
29、生在第22，23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（t为参数）（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值【分析】（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值【解答
30、】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x2）2+y22，代入圆C得：（cos2）2+2sin22化简得圆C的极坐标方程：24cos+20（3分）由得x+y1，l的极坐标方程为cos+sin1（5分）（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），直线l的参数的标准方程可写成（6分）代入圆C得：化简得：，t10，t20（8分）（10分）【点评】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题23已知f（x）|xa2|+|x+2a+3|（1）证明：f（x）2；（2）若f（）3，求实数a的取值范围【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】（1）证明：f（x）|xa2|+|x+2a+3|xa2x2a3|a2+2a+3|（a+1）2+22；（2）解：若f（）3，则|a2|+|+2a+3|3，故a2+|2a+|3，故或，解得：1a0【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明以及分类讨论思想，是一道中档题
