1、2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知Ax|x1，Bx|x22x30，则AB（）Ax|x1或x1Bx|1x3Cx|x3Dx|x12（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a610，则S9（）A20B35C45D903（5分）“x2”是“ln（x1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行
2、于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面5（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）AB3cm3CD6cm36（5分）已知函数f（x）log2x+，若x1（1，2），x2（2，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）07（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定8（5分）设变量x，y满足约束条件，则zxy的最大值为（）A2B4C6D89（5分）阅读如图的
3、程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A15B105C245D94510（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2（ab）2+6，C，则ABC的面积为（）A3BCD311（5分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B16C20D2412（5分）已知点A（0，2），抛物线C：y2ax（a0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|1：，则a
4、的值等于（）ABC1D4二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为 14（5分）设向量，不平行，向量+与+2平行，则实数 15（5分）已知F1、F2是双曲线1（a0，b0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e 16（5分）设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意p、qN*，都有ap+qap+aq，则f（n）（nN*）的最小值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225，（
5、）求数列an的通项an；（）设，求数列bn的前n项和Tn18（12分）已知函数f（x）cosxsin（x+）cos2x+，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60（1）证明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正切值大小20（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；
6、（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，21（12分）如果函数f （x）在其定义域内存在x0，使得f （x0+1）f （x0 ）+f （1）成立，则称函数 f （ x） 为“可分拆函数”（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围22（12分）已知点A（0，2），椭圆E：+1（a0，b0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O
7、是坐标原点（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知Ax|x1，Bx|x22x30，则AB（）Ax|x1或x1Bx|1x3Cx|x3Dx|x1【分析】解不等式得出集合B，根据并集的定义写出AB【解答】解：Ax|x1，Bx|x22x30x|1x3，则ABx|x1故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2（5分）设等差数列
8、an的前n项和为Sn，若a4+a610，则S9（）A20B35C45D90【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a4+a610，S945故选：C【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）“x2”是“ln（x1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由ln（x1）0，得：0x11，解得：1x2，故x2是1x2的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了乘法不
9、要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题4（5分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解：对于A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故B错误；对于C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
10、；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理5（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）AB3cm3CD6cm3【分析】根据已知的三视图，可判断出该几何体下部是一个圆柱，上部是一个半球，并可以得到圆柱的底面直径（即半球的直径），圆柱的高等几何量，代入球的体积公式和圆柱体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可判断出该几何体是一个组合体下部是一个高为2，底面直径也为2的圆柱其体积V1（）222cm3上部是一个直径为2的半球其体积V2（）3cm3故几何体的总体积VV1
11、+V2故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中从三视图中分析出几何体的形状及半径，高等几何量是解答的关键6（5分）已知函数f（x）log2x+，若x1（1，2），x2（2，+），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0【分析】根据函数f（x）log2x+利以及复合函数的单调性的判定方法可知，该函数在（1，+）是增函数，并且可以求得f（2）0，利用单调性可以得到答案【解答】解：函数f（x）log2x+在（1，+）是增函数，（根据复合函数的单调性）而f（2）0，x1（1，2），x2（2，+），f（x1）0，
12、f（x2）0，故选：B【点评】此题是基础题考查函数的零点与方程根 的关系，解决此题的关键是根据函数的解析式判断函数的单调性，考查了学生分析解决问题的能力和计算能力7（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】解：M（a，b）在圆x2+y21外，a2+b21，圆O（0，0）到直线ax+by1的距离d1r，则直线与圆的位置关系是相交故选：B【点
13、评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键8（5分）设变量x，y满足约束条件，则zxy的最大值为（）A2B4C6D8【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数zxy为yxz由图可知，当直线yxz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题9
14、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A15B105C245D945【分析】算法的功能是求S135（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S135（2i+1）的值，跳出循环的i值为4，输出S1357105故选：B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键10（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2（ab）2+6，C，则ABC的面积为（）A3BCD3【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：c2（ab）2+6，c2a2
15、2ab+b2+6，即a2+b2c22ab6，C，cos，解得ab6，则三角形的面积SabsinC，故选：C【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab6是解决本题的关键11（5分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A12B16C20D24【分析】求解底面长方形的外接圆，PA平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可【解答】解：由题意，PA平面ABC，PAAB2，平面
16、ABC是直角三角形，补形底面为长方形球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆rR2r2+1，即R球O的表面积S4R212故选：A【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养12（5分）已知点A（0，2），抛物线C：y2ax（a0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|1：，则a的值等于（）ABC1D4【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|MK|，|KM|：|MN|1：
17、，则|KN|：|KM|2：1，kFN，kFN22，求得a4，故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为【分析】由，得2x0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“”发生的概率【解答】解：，2x0，在区间3，5上随机取一个实数x，由几何概型概率计算公式得：事件“”发生的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）设向量，
18、不平行，向量+与+2平行，则实数【分析】利用向量平行的条件直接求解【解答】解：向量，不平行，向量+与+2平行，+t（+2），解得实数故答案为：【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题15（5分）已知F1、F2是双曲线1（a0，b0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e【分析】首先判断P在y轴上，设|F1F2|2c，则M（0，c），求出边MF1的中点，代入双曲线方程，再由离心率公式和ab，c的关系，得到e的方程，注意e1，解得即可【解答】解：以线段
19、F1F2为边作正MF1F2，则M在y轴上，可设|F1F2|2c，则M（0，c），又F1（c，0），则边MF1的中点为（，c），代入双曲线方程，可得，1，由于b2c2a2，e，则有e24，即有e48e2+40，解得，e24，由于e1，即有e1故答案为：1【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题16（5分）设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意p、qN*，都有ap+qap+aq，则f（n）（nN*）的最小值为【分析】对任意p、qN*，都有ap+qap+aq，令pn，q1，可得an+1an+a1，则an2，利用等差数列的求和公式可得Snf（n）n+1+1
20、，令g（x）x+（x1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：对任意p、qN*，都有ap+qap+aq，令pn，q1，可得an+1an+a1，则an2，数列an是等差数列，公差为2Sn2n+n+n2则f（n）n+1+1，令g（x）x+（x1），则g（x）1，可得x1，时，函数g（x）单调递减；x时，函数g（x）单调递增又f（7）14+，f（8）14+f（7）f（8）f（n）（nN*）的最小值为故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
21、步骤.17（10分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225，（）求数列an的通项an；（）设，求数列bn的前n项和Tn【分析】（I）设等差数列an的公差为d，由a35，S15225，可得a1+2d5，15a1+d225，即可得出（II）22n1+2n+2n，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，a35，S15225，a1+2d5，15a1+d225，a11，d2an1+2（n1）2n1（II）22n1+2n+2n，数列bn的前n项和Tn+2+n+n2【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力
22、，属于中档题18（12分）已知函数f（x）cosxsin（x+）cos2x+，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用可得f（x）sin（2x），利用正弦函数的周期性可求最小正周期T（2）由（1）及正弦函数的性质可得f（x）在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，进而可求最值【解答】解：（1）由已知，有f（x）cos x（sinx+cosx）cos2x+sin xcos xcos2x+sin 2x（1+cos 2x）+sin 2xcos 2xsin（2x），所以f（x）的最小正周期T（2）由（1）及正弦函数的性质可得f（
23、x）在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f（），f（），f（），所以函数f（x）在区间，上的最大值为，最小值为【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期性及单调性的应用，考查了转化思想，属于基础题19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60（1）证明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正切值大小【分析】方法一：（1）根据已知条件，利用正弦定理能求出ACB30，从而得到AB平面ACC1A1由此能证明ABA1C（2）作ADA1C交A1C于D点，连接BD由已知条件推导出ADB为二面角AA1CB的平面角由此能求出二面角AA1CB的正切值法
24、二：（1）根据已知条件，由正弦定理得ACB30，从而得到ABAC，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明ABA1C（2）分别求出平面AA1C1C的法向量和平面A1BC的法向量，利用向量法能求出二面角AA1CB的正切值【解答】解法一：（1）三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1在ABC中，AB1，AC，ABC60由正弦定理得，sinACB，ACB30，BAC90，即ABAC，AB平面ACC1A1又A1C平面ACC1A1，ABA1C（2）如图，作ADA1C交A1C于D点，连接BD又ABA1C，A1C平面ABD，BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD在RtBAD
25、中，tanADB，二面角AA1CB的正切值为解法二：（1）三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1AB，AA1AC在ABC中，AB1，AC，ABC60由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，0），A1（0，0，），（1，0，0），（0，）10+0+0（）0，ABA1C（2）取（1，0，0）为平面AA1C1C的法向量设平面A1BC的法向量（x，y，z），则，xy，yz令y1，则（，1，1），cos，sin，tanm，n，二面角AA1CB的正切值为【点评】本题考查异面直线的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审
26、题，注意向量法的合理运用20（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【分析】（）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出
27、a的值，写出线性回归方程（）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值【解答】解：（）由题意，（1+2+3+4+5+6+7）4，（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）4.3，0.5，4.30.542.3y关于t的线性回归方程为0.5t+2.3；（）由（）知，b0.50，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元将2015年的年份代号t9代入0.5t+2.3，得：0.59+2.36.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元【点评】本题考查线性回归分析的
28、应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题21（12分）如果函数f （x）在其定义域内存在x0，使得f （x0+1）f （x0 ）+f （1）成立，则称函数 f （ x） 为“可分拆函数”（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围【分析】（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得+1，即+x0+10，判断此函数是否有解即可得出（2）令h（x）f（x+1）f（x）f（1），则h（x）2x+1+（x+1）22xx
29、2212（2x1+x1），又h（0）1，h（1）2，故h（0）h（1）0，所以h（x）0在上有实数解x0，也即存在实数x0，使得f（x0+1）f（x0）+f（1）成立，即可证明（3）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得+lg，进而得到实数a的取值范围【解答】解：（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得+1（1分）即+x0+10，而此方程的判别式1430，方程无实数解，所以f（x）不是“可分拆函数” （3分）（2）证明：令h（x）f（x+1）f（x）f（1），则h（x）2x+1+（x+1）22xx2212（2x1+x1），又h（0）1，h（1）2，故h（0）h（1）0，所
30、以h（x）f（x+1）f（x）f（1）0在上有实数解x0，也即存在实数x0，使得f（x0+1）f（x0）+f（1）成立，所以，f（x）2x+x2是“可分拆函数” （7分）（3）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得+lg，即且a0，所以，a，令t2x0，则t0，所以，a+，由t0得a3，即a的取值范围是（ ，3） （12分）【点评】本题考查了抽象函数的单调性、不等式与方程的解法、新定义、函数零点判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）已知点A（0，2），椭圆E：+1（a0，b0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点（1）求E的方程；（2）
31、设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程【分析】（1）设F（c，0），由已知得，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，当lx轴时，不合题意，设l：ykx2，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当OPQ的面积最大时直线l的方程【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知，得，又，a2，b2a2c21，故E的方程为：；（2）当lx轴时，不合题意，故设l：ykx2，p（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+4k2）x216kx+120当16（4k23）0，即时，从而又点O到直线PQ的距离OPQ的面积为，设，则，当且仅当，即t2时取“”，即时等号成立，且满足0，当OPQ的面积最大时，l的方程为或【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属中档题
