1、2019-2020学年云南省玉溪一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）直线x+（m+1）y+20与直线mx+2y10平行，则m（）A2B1或2C1D2或12（5分）下列四个数中，数值最小的是（）A25（10）B54（6）C10110（4）D10111（2）3（5分）已知等比数列an中，a2a3a41，a6a7a864，则a4a5a6（）A8B8C8D164（5分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中填入的条件是（）Ai4？Bi4？Ci3？Di3？5（5分）已知m，n
2、是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A，m，n，则mnBm，mn，则nC，mn，m，则nDm，mn，则n6（5分）下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在区间（，0）上的单调性也相同的是（）Ay1x2Bylog2|x|CDyx317（5分）已知函数的最小正周期为，将yf（x）的图象向右平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（）ABCD8（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（）A侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形B侧面四个三角形都是直角三角形C该四棱锥的体积为D最长的棱长为9（5分）直线ykx+3与圆O：x2+y21相交于
3、A，B两点，则OAB面积的最大值为（）A1BCD10（5分）设an是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A2X+Z3YB4X+Z4YC2X+3Z7YD8X+Z6Y11（5分）定义在R上的奇函数yf（x）为减函数，若m、n满足f（m23m）+f（3nn2）0，则当时，的取值范围为（）ABCD12（5分）平面四边形ABCD中，ABCADC90，BAD60，BC2CD2，则AC（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13（5分）已知x，y满足约束条件，则zx2y的最小值为 14（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图
4、如图所示，据图估计，样本数据在8，10）内的频数为 15（5分）已知实数x0，y0，则x+2y的最小值是 16（5分）已知底面边长为，侧棱长为的正四棱锥SABCD内接于球O1若球O2在球O1内且与平面ABCD相切，则球O2的直径的最大值为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试试验数据分别列于表1和表2统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表停车距离d（米）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60频数24403042表
5、1平均每毫升血液酒精含量x毫克1030507090平均停车距离y米3050607090表2（1）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程；（2）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于无酒状态下（表1）的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”请根据（1）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？附：回归方程中，18（12分）设函数（1）求函数f（x）在区间上的最值；（2）在ABC中，若，a1，bc，求ABC的面积19（12分）已知Sn为等差数列an的前n项和，且S21，2a5+a26，记bnan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.
6、62，44，Tn表示数列bn的前n项（1）求数列an的通项公式；（2）求T5和T2020（12分）已知函数，g（x）f（x）a（1）当a3时，求函数g（x）的零点；（2）若函数g（x）有三个零点，求a的取值范围21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D平面PQB1；（2）若AB2，ACAA1AC14，AA1B160，且平面AA1C1C平面AA1B1B；（i）求三棱柱ABCA1B1C1的体积V；（ii）求二面角QPB1A1的余弦值22（12分）如图，圆M：（x2）2+y21，点P（1，t）为直线l：x1上一动点，过
7、点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B（1）若t1，求切线所在直线方程；（2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值2019-2020学年云南省玉溪一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）直线x+（m+1）y+20与直线mx+2y10平行，则m（）A2B1或2C1D2或1【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值【解答】解：直线x+（m+1）y+20与直线mx+2y10平行，则m1，或m2，故选：B【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于
8、基础题2（5分）下列四个数中，数值最小的是（）A25（10）B54（6）C10110（4）D10111（2）【分析】将数化为十进制，再进行比较【解答】解：54（6）的十进制为：561+46034；10110（4）的十进制为：144+043+142+141+040276；10111（2）的十进制为：124+023+122+121+12023；232534276，故选：D【点评】本题考查进位制，属于基础题3（5分）已知等比数列an中，a2a3a41，a6a7a864，则a4a5a6（）A8B8C8D16【分析】根据等比中项的性质，a2a3a41，a6a7a864，求出a3和a7，进而求出a5，即可
9、得到所求【解答】解：依题意，a2a3a41，即a31，同理a6a7a864，即a74，所以a3a74，又等比数列奇数项符号相同，所以a52，所以a4a5a68故选：C【点评】本题考查了等比中项的性质，考查了等比数列的性质，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题4（5分）一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中填入的条件是（）Ai4？Bi4？Ci3？Di3？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：i1，T0，S0；i1+12，TT+10+11，S；ii+13，T
10、T+11+12，S，正好是输出的结果，循环结束条件是“否”的时候，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5（5分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A，m，n，则mnBm，mn，则nC，mn，m，则nDm，mn，则n【分析】由面面平行的定义可判断A；由线面平行的性质可判断B；由面面垂直的性质和线面位置关系可判断C；由线面垂直的性质可判断D【解答】解：，m，n，则mn，或m，n异面，故A错；m，mn，则n或n，故B错；mn，m，则n，由，可得n或n，故C错；m，mn，则n，故D对故选：D【点评】
11、本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题6（5分）下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在区间（，0）上的单调性也相同的是（）Ay1x2Bylog2|x|CDyx31【分析】根据题意，分析函数y3|x|的奇偶性以及在区间（，0）上的单调性，进而分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，y3|x|，即函数f（x）为偶函数，且在区间（，0）上为减函数；据此分析选项：对于A，y1x2为偶函数，但在（，0）上为增函数，不符合题意；对于B，ylog2|x|，为偶函数，且在区间（，0）上为减函数，符合题意；对于C，y，
12、为奇函数，不符合题意；对于D，yx31，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题7（5分）已知函数的最小正周期为，将yf（x）的图象向右平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（）ABCD【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：已知函数的最小正周期为，所以，所以，将yf（x）的图象向右平移|个单位长度，得到，由于所得图象关于y轴对称，所以（kZ），整理得，当k1时，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能
13、力及思维能力，属于基础题型8（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（）A侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形B侧面四个三角形都是直角三角形C该四棱锥的体积为D最长的棱长为【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA底面ABCD，PA2，底面是一个直角梯形，判断侧面三角形的形状，求出棱长，与体积，即可判断选项的正误【解答】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA底面ABCD，PA2，底面是一个直角梯形，其中BCAD，ABAD，BC1，AB，AD2PA2，CD2，PC2，PD2，可得PAD，PAB，PBC是直角三角形PAD，PCD是等腰三角形；所以D不正确；B不正确；A
14、不正确；几何体的体积为：2，所以C正确；故选：C【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三视图判断几何体的形状，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9（5分）直线ykx+3与圆O：x2+y21相交于A，B两点，则OAB面积的最大值为（）A1BCD【分析】由题意可得，OAB的面积为sinAOB，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值【解答】解：由题意可得OAOB1，所以OAB的面积为OAOBsinAOBsinAOB，故OAB的面积最大值为故选：B【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，正弦函数的值域，属于基础题10（5分）设an是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，
15、Z，则下列等式中恒成立的是（）A2X+Z3YB4X+Z4YC2X+3Z7YD8X+Z6Y【分析】设等差数列an的前n项和为Sn，SnAn2+Bn，可得XAn2+Bn，Y4An2+2Bn，Z16An2+4Bn，代入验证即可得出【解答】解：设等差数列an的前n项和为Sn，SnAn2+Bn，则XAn2+Bn，Y4An2+2Bn，Z16An2+4Bn，于是8X+Z6Y8（An2+Bn）+16An2+4Bn6（4An2+2Bn）0，8X+Z6Y，因此D正确经过代入验证可得：2X+Z3Y，4X+Z4Y，2X+3Z7Y，故选：D【点评】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档
16、题11（5分）定义在R上的奇函数yf（x）为减函数，若m、n满足f（m23m）+f（3nn2）0，则当时，的取值范围为（）ABCD【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（m23m）+f（3nn2）0m23mn23n，进而变形（mn）（m+n3）0，结合线性规划的知识分析可得答案【解答】解：根据题意，函数yf（x）为奇函数且在R上为减函数，则f（m23m）+f（3nn2）0f（m23m）f（3nn2）f（m23m）f（n23n）m23mn23n，变形可得：（mn）（m+n3）0，设k，其几何意义为平面区域中的点（n，m）与坐标原点（0，0）连线的斜率，分析可得：k1，即的取值范围为，
17、1；故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用线性规划以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键，属于综合题12（5分）平面四边形ABCD中，ABCADC90，BAD60，BC2CD2，则AC（）ABCD【分析】连接AC、BD，BCD中求得BD和cosBDC，从而得出sinADB；在ABD中求得AB，利用RtABC求得AC的值【解答】解：连接AC、BD，如图所示，BCD中，BD2BC2+CD22BCCDcosBCD22+12221cos1207，解得BD，cosBDC，sinADBcosBDC；在ABD中，解得AB；在RtABC中，AC2AB2+BC2+4，所以AC故选：A【点评】
18、本题考查了解三角形的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是基础题二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13（5分）已知x，y满足约束条件，则zx2y的最小值为2【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的可行域，由图可知，当直线yx，过A点（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为0212故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本
19、数据在8，10）内的频数为76【分析】根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，进行解答即可【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本数据不在8，10）内的频率为（0.02+0.05+0.09+0.15）20.62；样本数据在8，10）内的频率为10.620.38；样本数据在8，10）内的频数为0.3820076故答案为：76【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率进行解答，是基础题15（5分）已知实数x0，y0，则x+2y的最小值是3【分析】由已知结合基本不等式可得，解不等式可求【解答】解：x0，y0，整理可得，（x+2y）2+4（x+2y）210，解不等式可得，
20、x+2y3或x+2y7，故答案为：3，则x+2y的最小值是3故答案为：3【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题16（5分）已知底面边长为，侧棱长为的正四棱锥SABCD内接于球O1若球O2在球O1内且与平面ABCD相切，则球O2的直径的最大值为8【分析】由题意画出图形，结合已知求出四棱锥的高及外接球的直径，则球O2的直径的最大值可求【解答】解：如图，连接AC，取AC中点G，连接SE并延长交球O1于E，由ABCD为正方形，且AB，可得AG，则SA2SGSE，可得SE球O2的直径的最大值为EGSESG1028故答案为：8【点评】本题考查四棱锥的内切球的求法，考查空间中线线、线面、
21、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试试验数据分别列于表1和表2统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表停车距离d（米）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60频数24403042表1平均每毫升血液酒精含量x毫克1030507090平均停车距离y米3050607090表2（1）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程；（2）该测试团队认
22、为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于无酒状态下（表1）的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”请根据（1）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？附：回归方程中，【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）求出停车距离的平均数，再由0.7x+2581求解x值，可知当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”【解答】解：（1）依题意，可知，17800，则线性回归直线方程为（2）停车距离的平均数为27，当y327，即y81时认定驾驶员是“醉驾”，令，得0.7x+2581，解得x80，当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”【
23、点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题18（12分）设函数（1）求函数f（x）在区间上的最值；（2）在ABC中，若，a1，bc，求ABC的面积【分析】（1）化简，换元法，求最值即可；（2）求出A，分两种情况讨论，求出面积【解答】（1）由题意知令t2x，则，g（t），所以g（t）的最大值为，最小值为；所以f（x）的最大值为，最小值为；（2）由，得，A（0，），或，当时，a2b2+c22bccosA，bc得，；当时，a2b2+c22bccosA，bc得，【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力19（12分）已知Sn为等差数列an的前n项和，且S21，
24、2a5+a26，记bnan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62，44，Tn表示数列bn的前n项（1）求数列an的通项公式；（2）求T5和T20【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式（2）列出数列的前5项求解数列的和，结合数列的递推关系式推出bk+5bk+3，然后求解T20【解答】解：（1）有，可得，解得，所以（2）b10，b20，b31，b42，b52，所以T55因为，所以bk+5bk+3，所以T20（b1+b2+b5）+（b6+b7+b10）+（b11+b12+b15）+（b16+b17+b20）110【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列的通项公
25、式的求法，数列求和，考查计算能力，是中档题20（12分）已知函数，g（x）f（x）a（1）当a3时，求函数g（x）的零点；（2）若函数g（x）有三个零点，求a的取值范围【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数零点的定义，令f（x）0，分析可得答案；（2）根据题意，作出函数f（x）的图象，若函数g（x）有三个零点，即函数yf（x）与ya有3个不同的交点，结合函数的图象分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数，若a3，则g（x）f（x）3，当x0时，|lnx|3，解可得xe3或；x0时，x2+4x+13，得或（舍），所以f（x）的零点有三个，分别为e3，（2）根据题意，函数，其图象如图：
26、若函数g（x）有三个零点，即函数yf（x）与ya有3个不同的交点，可由图象得a（1，+）0【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的零点和函数与方程的关系21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D平面PQB1；（2）若AB2，ACAA1AC14，AA1B160，且平面AA1C1C平面AA1B1B；（i）求三棱柱ABCA1B1C1的体积V；（ii）求二面角QPB1A1的余弦值【分析】（1）连接AD，证明APDB1，ADPB1AC1PQ，得到平面AC1D平面PQB1然后证明C1D平面PQB1（2）（i）求出，
27、通过，求解即可（ii）在面AA1C1C内作QMAA1于点M在面AA1B1B内作MNPB1于点N，连接QN说明QNM是二面角QPB1A1的平面角，在RtQMN中，求解即可【解答】（1）证明：连接AD，D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知APDB1，且APDB1；四边形ADB1P是平行四边形，ADPB1P，Q分别是AA1、A1C1的中点，AC1PQ，平面AC1D平面PQB1，C1D平面AC1D，C1D平面PQB1（2）（i），平面AA1C1C平面AA1B1B且C1PAA1，C1P平面ABB1A1，（ii）在面AA1C1C内作QMAA1于点M在面AA1B1B内作MNPB1于点N，连接
28、QN平面AA1C1C平面AA1B1B，QM平面AA1B1B，QNM是二面角QPB1A1的平面角，在RtQMN中，设二面角QPB1A1的大小为，则，【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题22（12分）如图，圆M：（x2）2+y21，点P（1，t）为直线l：x1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B（1）若t1，求切线所在直线方程；（2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）利用（1）的方法，得到k的二次方程，结合根与系数关系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y+1k（x+1），即kxy+k10，则圆心M到切线的距离，解得k0或，故所求切线方程为y1，3x4y10；（2）设切线方程为ytk（x+1），即kxy+k+t0，PA，PB的斜率为k1，k2，故圆心M到切线的距离，得8k26kt+t210，在切线方程中令x0可得yk+t，故|ST|（k1+t）（k2+t）|k1k2|，此时t0，故|ST|的最小值为【点评】此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，有一定的难度
