1、2019-2020学年云南省玉溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x32（5分）抛物线y8x2的准线方程是（）AyBy2CxDy23（5分）庄子天下篇中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”如果经过n天，该木锤剩余的长度为an（尺），则an与n的关系为（）AanBan1CanDan14（5分）已知平面向量，与垂直，则实数的值为（）A1B1C2D25（5分）已知命题p：x0，ex
2、1或sinx1，则p为（）Ax0，ex1且sinx1Bx0，ex1或sinx1Cx0，ex1或sinx1Dx0，ex1且sinx16（5分）”mn0”是”方程mx2+ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D328（5分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在35g/m375g/m3之间空气质量为二级，在75g/m3以上空气质量为超标如图
3、是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低B这10天的PM2.5日均值的中位数是45C这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3D从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是9（5分）新定义运算，若f（x），当x（0，）时，f（x）的值域为（）A（0，）B0，）C（）D0，10（5分）已知双曲线C过点（3，）且渐近线为yx，则下列结论正确的个数为（）C的实轴长为2C的离心率为曲线yex21经过C的一个焦点 直线x与C有两个公共点A1个B2个C3个D4个11（5分）已知
4、四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为（）A64B8C24D612（5分）已知双曲线的两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为（）ABCD+1二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）狄利克雷函数（Dirichlet）是数学分析中病态函数的典型例子，在高等数学中是一个研究导数存在性，连续性的重要函数，是完全建立在主观意义上的函数，值得我们细细研究已知狄利克雷函数D（x），则D
5、（D（x） 14（5分）设x，y满足，则x2y的最大值为 15（5分）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为 16（5分）ABC中，B60，AC4，AC边上的高为2，则ABC的内切圆半径为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）设函数f（x）sinx，xR（1）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（2）设，求g（x）的单调递减区间18（12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了
6、频数与频率的统计表和频率分布直方图：分组频数频率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，30）20.05合计M1（1）求出表中M、p、m、n的值；（2）补全频率分布直方图；若该校高一学生有360人，估计他们参加社区服务的次数在区间15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率19（12分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S24a1，a2是a1+1与的等差中项（1）求an与Sn；（2）若数列bn满足bn，设数列bn的前n项和为Tn，求证：n20（12分）如图，三棱锥PAB
7、C中，PA平面ABC，PAAC2，BAC60，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，（1）证明：平面PAB平面PBC；（2）证明：EF平面ABC；（3）求二面角BCDA的正弦值；21（12分）已知f（x）logax，g（x）2loga（2x+t2），（a0，a1，tR）（1）若f（1）g（2），求t的值；（2）当t4，x1，2，且F（x）g（x）f（x）有最小值2时，求a的值；（3）当0a1，x1，2时，有f（x）g（x）恒成立，求实数t的取值范围22（12分）在平面直角坐标系中，动点M分别与两个定点A（2，0），B（2，0）的连线的斜率之积为（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设过点
8、（1，0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，判断直线x与以线段PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由2019-2020学年云南省玉溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出【解答】解：Mx|4x2，Nx|x2x60x|2x3，MNx|2x2故选：C【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题2（5分）抛物
9、线y8x2的准线方程是（）AyBy2CxDy2【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程【解答】解：整理抛物线方程得x2y，p抛物线方程开口向下，准线方程是y，故选：A【点评】本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置3（5分）庄子天下篇中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”如果经过n天，该木锤剩余的长度为an（尺），则an与n的关系为（）AanBan1CanDan1【分析】根据木锤前几天的剩余量，得到数列an满足的关系，由此即可解决问题【解答】解：依题意，解：由题意可得：第一次剩下尺，第二次剩下尺，第三次剩下尺，则第n天
10、后“一尺之棰”剩余的长度为：尺，故选：A【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题本题属于基础题4（5分）已知平面向量，与垂直，则实数的值为（）A1B1C2D2【分析】先求出（）的坐标，由题意可得 （）+4+9+60，解方程求得 的值【解答】解：（）（+4，32），由题意可得 （）（+4，32）（1，3）+4+9+60，1，故选A【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，得到 +4+9+60，是解题的难点5（5分）已知命题p：x0，ex1或sinx1，则p为（）Ax0，ex1且sinx1Bx0，ex1或sinx1Cx0
11、，ex1或sinx1Dx0，ex1且sinx1【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题p：x0，ex1或sinx1，则p为：x0，ex1且sinx1，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础6（5分）”mn0”是”方程mx2+ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】将方程mx2+ny21转化为，然后根据椭圆的定义判断【解答】解：将方程mx2+ny21转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即mn0反之，当mn0，可得出0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证
12、之，”mn0”是”方程mx2+ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：C【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导7（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D32【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长是4，圆锥的侧面积是24
13、8，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是22+22420空间组合体的表面积是28，故选：C【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端8（5分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35g/m3以下空气质量为一级，在35g/m375g/m3之间空气质量为二级，在75g/m3以上空气质量为超标如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A从5日到9日，PM2.5日均值
14、逐渐降低B这10天的PM2.5日均值的中位数是45C这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3D从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是【分析】先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解【解答】解：由图表可知，选项A，C，D正确，对于选项B，这10天的PM2.5日均值的中位数是47，故B错误，故选：B【点评】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属中档题9（5分）新定义运算，若f（x），当x（0，）时，f（x）的值域为（）A（0，）B0，）C（）D0，【分析】根据定义先求出函数f（x）的解析式，结合一元二次函数的最值性质进行求解
15、即可【解答】解：由题意得f（x），即f（x），x（0，），f（x）的最大值为f（），最小值为f（3）0，函数f（x）的值域为0，故选：D【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合新定义求出函数的解析式以及利用一元二次函数的性质是解决本题的关键10（5分）已知双曲线C过点（3，）且渐近线为yx，则下列结论正确的个数为（）C的实轴长为2C的离心率为曲线yex21经过C的一个焦点 直线x与C有两个公共点A1个B2个C3个D4个【分析】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程，直线与圆锥曲线相交【解答】解：渐近线为，可令双曲线方程为，0，且双曲线经过点，代入双曲线方程，得，1，实轴长为，正确，离心率，正确，焦
16、点坐标（2，0），（2，0），将点（2，0）代入函数yex21，符合，可知该曲线经过焦点（2，0），正确，将直线与双曲线方程联立后，解得，可知该直线与双曲线相切，错误，综上所述，本题正确，错误，故选：C【点评】本题考查双曲线和方程和性质，考查“共渐近线”的双曲线方程求解，考查直线与圆锥曲线交点个数的判断，考查计算能力，属于基础题11（5分）已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为（）A64B8C24D6【分析】把四棱锥PABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球
17、的体积【解答】解：由题意，四棱锥PABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为V四棱锥PABCD22PA，解得PA4；2R2，解得R；外接球的体积为V外接球8故选：B【点评】本题考查了四棱锥的结构特征与其外接球的应用问题，是基础题12（5分）已知双曲线的两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为（）ABCD+1【分析】由题意画出图形，设AOF，则tan，在RtOAB中，由|OA|，|AB|，|OB|成等差数列及勾股定理可得|OA|与|AB|的关系，求
18、得tanAOB，再由角的关系结合二倍角的正切可得tan，即的值，与隐含条件联立求得双曲线的离心率【解答】解：如图，设AOF，则tan，在RtOAB中，由|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，设|OA|md，|AB|m，|OB|m+d，则（md）2+m2（m+d）2，整理，得d，tanAOB，而tanAOBtan（2）tan2，解得tan2或tan（舍）即，得b2a，b2c2a24a2，解得e故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）狄利克雷函数（Dirichlet）是数学分析中
19、病态函数的典型例子，在高等数学中是一个研究导数存在性，连续性的重要函数，是完全建立在主观意义上的函数，值得我们细细研究已知狄利克雷函数D（x），则D（D（x）1【分析】由D（x），可以得知当x为有理数时，D（x）1；当x为无理数时，D（x）0；由此即可求解【解答】解：D（x），即当x为有理数时，D（x）1；当x为无理数时，D（x）0；1Q，0Q；D（D（x）1故答案为：1【点评】本题考查了元素与集合的关系及逻辑推理，考查了学生的分析能力，属于基础题14（5分）设x，y满足，则x2y的最大值为5【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数zx2y为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最小时z最
20、大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z的最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设zx2y，得yxz，由图可知，当直线过可行域内点C时直线在y轴上的截距最小，z最大联立，解得即C（3，1）x2y的最大值为32（1）5故答案为：5【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法15（5分）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为yx【分析】设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而
21、利用点斜式求得直线的方程【解答】解：抛物线的方程为y24x，A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2，两式相减得，y12y224（x1x2），直线l的方程为y2x2，即yx故答案为：yx【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化16（5分）ABC中，B60，AC4，AC边上的高为2，则ABC的内切圆半径为2（）【分析】根据已知可先ABC的面积s，然后根据ssinB可求ac，再由余弦定理，cosB可求a+c，进而可求周长，结合内切圆半径r可求【解答】解：AC4，AC边上的高为2，ABC的面积s4，4
22、，ac16，由余弦定理可得，cosB，a2+c2ac48，联立可得，a+c4，故ABC的周长为a+b+c4（），则ABC的内切圆半径r2（）故答案为：2（）【点评】本题考查ABC的面积的求法，考查三角形内切圆半径的求解，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）设函数f（x）sinx，xR（1）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（2）设，求g（x）的单调递减区间【分析】（1）由题意利用三角函数的奇偶性，两角和差的三角公式，求出的值（2）利用三角恒等变换化简g（x）得解析式，再根据正弦函数的单调性，求出g（x）
23、的单调递减区间【解答】解：（I）因为函数f（x）sinx，xR，故f（x+）sin（x+），由于f（x+）sin（x+）是偶函数，所以，对任意实数x都有sin（x+）sin（x+），即sinxcos0，cos0，或 （）g（x）+1（cos2xsin2x），解不等式，kZ可得：，所以，g（x）的单调递减区间为，kZ【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题18（12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：分组频数频率10，15）100.25
24、15，20）25n20，25）mp25，30）20.05合计M1（1）求出表中M、p、m、n的值；（2）补全频率分布直方图；若该校高一学生有360人，估计他们参加社区服务的次数在区间15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率【分析】（1）根据频率及频率之和等于1，频数之和等于数据总数，列出方程可求出；（2）根据频率分布直方图的高度可求出15，20）组的直方图高度，作出图象即可，用高一总人数乘该组的频率即可得到高一学生服务次数在15，20）内的总人数；（3）使用列举法求出概率【解答】解：（1）由
25、题可知，又 10+25+m+2M，解得 M40，n0.625，m3，p0.075（2）由（1）可知，15，20）组的频率与组距之比为0.125则频率分布直方图如下：参加在社区服务次数在区间15，20）内的人数为3600.625225人（3）在样本中，处于20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于25，30）内的人数为2，可分别记为a，b从该5名同学中取出2人的取法有（A，a），（A，b），（B，a）（B，b），（C，a），（C，b），（A，B），（A，C），（B，C），（a，b）共10种，且他们出现的机会均等；至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的情况有（A，a），（A，b）
26、，（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率为【点评】本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率公式，是基础题19（12分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S24a1，a2是a1+1与的等差中项（1）求an与Sn；（2）若数列bn满足bn，设数列bn的前n项和为Tn，求证：n【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式和求和公式；（2）求得bn（），再由数列的裂项相消求和和数列的单调性，即可得证【解答】解：（1）由S24a1，可得a23a1，所以等比数列an的
27、公比q3，所以ana13n1由a2是a1+1与的等差中项，可得2a2（a1+1）+a3，即6a1（a1+1）+（a132），解得a12，所以an23n1Sn3n1；（2）证明：由（1）知：bn（），所以前n项和为Tn（+（）（），由于Tn单调递增，所以T1Tn，从而n【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题20（12分）如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAC2，BAC60，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，（1）证明：平面PAB平面PBC；（2）证明：EF平面ABC；（3）求二面角BC
28、DA的正弦值；【分析】（1）证明ABBC，PABC，推出BC平面PAB，即可证明平面PBC平面PAB（2）法一：过点F作FMPA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN证明四边形MFEN为平行四边形，得到EFMN，然后证明EF平面ABC法二：取AD中点G，连接GE，GF，推出GEAC，GFAB，证明平面GEF平面ABC，即可证明EF平面ABC（3）过点B作BHAC，垂足为H，在直角DBC中，过点B作BODC，垂足为O，说明BOH为所求二面角的平面角，通过求解三角形求解即可【解答】（1）证明：在ABC中，由正弦或余弦定理得AB1或ABC90，从而ABBC，因为PA平面ABC，BC平面ABC，
29、所以PABC，PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB；BC平面PBC，平面PBC平面PAB（2）证明：法一：过点F作FMPA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN点E为CD的中点，ENAD，ENAD又D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，3FMAD，FMAD，FMEN且FMEN，所以四边形MFEN为平行四边形，EFMN，EF平面ABC，MN平面ABC，EF平面ABC法二：取AD中点G，连接GE，GF，则GEAC，GFAB，因为GEGFG，ACABA，所以平面GEF平面ABC，所以EF平面ABC（3）解：过点B作BHAC，垂足为H，则可证BH平面DAC，在直角DBC中，过
30、点B作BODC，垂足为O，则BOH为所求二面角的平面角，则sinBOH【点评】本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想语句计算能力，是中档题21（12分）已知f（x）logax，g（x）2loga（2x+t2），（a0，a1，tR）（1）若f（1）g（2），求t的值；（2）当t4，x1，2，且F（x）g（x）f（x）有最小值2时，求a的值；（3）当0a1，x1，2时，有f（x）g（x）恒成立，求实数t的取值范围【分析】（1）根据f（1）g（2），代入解得t的值即可；（2）当t4时，F（x）g（x）f（x）2loga（2x+2）l
31、ogaxlogaloga4（x+2），由于yx+在x1，2单调递增，所以分当a1时和当0a1时两种情况得F（x）的最小值，解得a的值即可；（3）f（x）g（x）恒成立转化为logax2loga（2x+t2），即logaxloga（2x+t2）2，由于0a1，x1，2，故x（2x+t2）2，分离参数得2x+2t，转化为（2x+2）maxt，求函数最大值即可得t的取值范围【解答】解：（1）由题意得f（1）g（2），02loga（2+t）；t+21，t1（2）当t4时，F（x）g（x）f（x）2loga（2x+2）logaxlogaloga4（x+2）又yx+在x1，2单调递增，当a1时，F（x）在
32、x1，2也单调递增，F（x）minloga162，解得a4当0a1时，F（x）在x1，2也单调递减，F（x）minloga182，解得a3（舍去）；所以a4（3）f（x）g（x），即logax2loga（2x+t2），logaxloga（2x+t2）20a1，x1，2，x（2x+t2）2，2x+t2，2x+2t，2x+2t，依题意有（2x+2）maxt；而函数y2x+22（）2+；因为x1，2，1，ymax1，所以t1【点评】本题考查了函数求值问题，利用函数单调性求最值问题，函数恒成立问题，渗透了分类讨论和转化的思想方法，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系中，动点M分别与两个定点A（2，
33、0），B（2，0）的连线的斜率之积为（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，判断直线x与以线段PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由【分析】（1）设动点M的坐标为（x，y），由斜率之积为列式求动点M的轨迹C的方程；（2）过点（1，0）的直线为x轴时，显然不合题意设过点（1，0）的直线方程为xmy1，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得PQ的中点坐标为N（）再由弦长公式求|PQ|求得点N到直线x的距离为d由0，可得d，即直线x与以线段PQ为直径的圆相离【解答】解：（1）设动点M的坐标为（x，y），（x2），（x2），整理得动点M的轨迹C的方程（x2）；（2）过点（1，0）的直线为x轴时，显然不合题意可设过点（1，0）的直线方程为xmy1，设直线xmy1与轨迹C的交点坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（m2+2）y22my30（2m）2+12（m2+2）0，由韦达定理得，PQ的中点坐标为N（）|PQ|点N到直线x的距离为d0，即d，直线x与以线段PQ为直径的圆相离【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题
