1、2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合A1，则下列关系错误的是（）A1ABAACADA2（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2Ca+b0的充要条件是1Da1且b1是ab1的充分条件3（5分）若函数f（x）x+（x2），在xa处取最小值，则a（）A1+B1+C3D44（5分）设函数yx3与y（）x2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5（5分）某几何体的三视图如图
2、所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3A4+B4+C6+D6+6（5分）如果直线ax+3y+10与直线2x+2y30互相垂直，那么a的值等于（）A3BC3D7（5分）美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的程序框图如图所示，若输入a，n，的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A2.81B2.82C2.83D2.848（5分）已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是（）ABCD9（5分）已知函数f（x）x2+2x+3，若在区间4，
3、4上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）ABCD110（5分）在ABC中，若ab，A2B，则cosB等于（）ABCD11（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）12（5分）已知P为曲线+10上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y21和圆（x3）2+y24上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A5B7C13D15二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13（5分）设，为单位向量且、的夹角为，若+3，2，则向量在方向上
4、的射影为 14（5分）在九章算术方田章圆田术（刘徽注）中指出：，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x2，类似地不难得到1+ 15（5分）如果直线l：x+yb0与曲线有公共点，那么b的取值范围是 16（5分）已知函数f（x），任意x1，x2（，）（x1x2），给出下列结论：f（x+）f（x）； f（x）f（x）； f （0）1；0； f（）f（）+f（）当f（x）tanx时，正确结论的序号为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要
5、的文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在数列an中，a11，an+12an+2n（）设bn证明：数列bn是等差数列；（）求数列an的前n项和Sn18（12分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABADCDDAAFFE2，AB4（1）求证：DF平面BCE；（）求二面角CBFA的正弦值；（）线段CE上是否存在点G，使得AG平面BCF？请说明理由19（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图
6、，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）60，70）70，80）80，90）x：y1：12：13：44：520（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M，都有f（x）M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界已知函数f（x）（a0）（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）求函数f（x）在lna，+）上所有下界构成的集合21（12分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为y
7、1，直线l过点（1，2），且与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）求抛物线的方程；（2）求证：点M在定直线上，并求出直线的方程；（3）求抛物线上的点到（2）中的定直线的最小距离选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（理科
8、）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合A1，则下列关系错误的是（）A1ABAACADA【分析】由集合和元素的关系得D错误【解答】解：A、B、C显然正确，与集合的关系不能是，故选：D【点评】本题考查集合和元素的关系，属于简单题2（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，e0BxR，2xx2Ca+b0的充要条件是1Da1且b1是ab1的充分条件【分析】对于A，根据指数函数的图象与性质来分析；对于B，可举个反例说明其为假，如x2时，左边右边；对于C，因为是充要条件，所以要互相推出；对于D，只要能从左
9、边推到右边即可【解答】解：A，根据指数函数的图象与性质可知ex0恒成立，故A假；B，举个反例说明其不成立即可，如x2时，左边右边，故B假；C，当a+b0且b0时，才能推出，所以不是充分条件，故C假；D，显然当a1且b1时，必有ab1成立，故D为真命题故选：D【点评】这道题主要考查了充分必要性、特称命题与全称命题的真假判断，要在准确把握判断方法的基础上解决此类问题3（5分）若函数f（x）x+（x2），在xa处取最小值，则a（）A1+B1+C3D4【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值【解答】解：f（x）x+x2+24当x21时，即x3时等号成立xa处取最小值，
10、a3故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式的应用考查了分析问题和解决问题的能力4（5分）设函数yx3与y（）x2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】根据yx3与y（）x2的图象的交点的横坐标即为g（x）x322x的零点，将问题转化为确定函数g（x）x322x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案【解答】解：y（）x222x令g（x）x322x，可求得：g（0）0，g（1）0，g（2）0，g（3）0，g（4）0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）故选：B【点评】本题主要考查函数的零点和方程的根的
11、关系和零点存在性定理考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解5（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3A4+B4+C6+D6+【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3V故选：D【点评】本题考查由三视图求原几何体的体积，关键是正确还原原图形，是中档题6（5分）如果直线ax+3y+10与直线2x+2y30互相垂直，那么a的值等于（）A3BC
12、3D【分析】利用两直线垂直，斜率之积等于1，列方程解出参数a的值【解答】解：直线ax+3y+10与直线2x+2y30互相垂直，斜率之积等于1，1，a3，故选：C【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于1，用待定系数法求参数a7（5分）美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的程序框图如图所示，若输入a，n，的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A2.81B2.82C2.83D2.84【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是
13、利用循环计算n值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a8，n2，0.5m4，n3不满足条件|mn|0.5，m2.67，n2.84满足条件|mn|0.5，退出循环，输出n的值为2.84故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法8（5分）已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题lm；lm；lm；lm其中正确命题的序号是（）ABCD【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l平面，再利用面面垂直的判定可得为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平
14、面内，故为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m平面，再利用面面垂直的判定可得为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面内，则有和相交于m，故为假命题【解答】解：l平面且可以得到直线l平面，又由直线m平面，所以有lm；即为真命题；因为直线l平面且可得直线l平行与平面或在平面内，又由直线m平面，所以l与m，可以平行，相交，异面；故为假命题；因为直线l平面且lm可得直线m平面，又由直线m平面可得；即为真命题；由直线l平面以及lm可得直线m平行与平面或在平面内，又由直线m平面得与可以平行也可以相交，即为假命题所以真命题为故
15、选：C【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用9（5分）已知函数f（x）x2+2x+3，若在区间4，4上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）ABCD1【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答【解答】解：已知区间4，4长度为8，满足f（x0）0，f（x）x02+2x0+30，解得1x03，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）0成立的概率是故选：B【点评】本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、
16、面积函数体积表示，然后利用公式解答10（5分）在ABC中，若ab，A2B，则cosB等于（）ABCD【分析】由题意可得sinAsinB，sinA2sinBcosB，联立解方程组可得【解答】解：在ABC中ab，由正弦定理可得sinAsinB，又A2B，sinAsin2B2sinBcosB，由可得sinB2sinBcosB，约掉sinB可得cosB，故选：B【点评】本题考查正弦定理解三角形，涉及三角函数公式和解方程组，属基础题11（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）【
17、分析】若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2，e2，故选C【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件12（5分）已知P为曲线+10上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y21和圆（x3）2+y24上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A5B7C13D15【分析】由已知可得P在椭圆椭圆上，画出图形，数形结合得答案【解答】
18、解：曲线+10表示椭圆，椭圆的两个焦点F1，F2分别是圆（x+3）2+y21和圆（x3）2+y24的圆心，且|PF1|+|PF2|10，则2a10，a5，c3，则b4P在椭圆上如图：从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|127故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13（5分）设，为单位向量且、的夹角为，若+3，2，则向量在方向上的射影为【分析】根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果【解答】解：、为单位向量，且 和 的夹角等于，11cos+3
19、，2，（+3）（2）2+62+35在上的射影为 ，故答案为 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题14（5分）在九章算术方田章圆田术（刘徽注）中指出：，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x2，类似地不难得到1+【分析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子【解答】解：可以令1+t（t0），由1+t解的其值为，故答案为：【点评】本题考查类比推理的思想
20、方法，考查从方法上类比，是一道基础题15（5分）如果直线l：x+yb0与曲线有公共点，那么b的取值范围是【分析】根据同角三角函数关系，换元得到点M（cos，sin）是曲线C上的点，其中0因此问题转化为方程cos+sinb0，在区间0，上有解，利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质，即可算出实数b的取值范围【解答】解：对于曲线，设xcos，则ysin（0）因此点M（cos，sin）是曲线C上的点，其中0线l：x+yb0与曲线C有公共点方程cos+sinb0，在区间0，上有解即bcos+sinsin（），可得sin（），1bsin（）1，即直线l：x+yb0与曲线有公共点时，b的取值范围是1，故答
21、案为：1，【点评】本题给出直线l与曲线C有公共点，求参数b的范围着重考查了同角三角函数的关系、三角函数的图象与性质与函数的值域求法等知识，属于中档题16（5分）已知函数f（x），任意x1，x2（，）（x1x2），给出下列结论：f（x+）f（x）； f（x）f（x）； f （0）1；0； f（）f（）+f（）当f（x）tanx时，正确结论的序号为【分析】由正切函数的周期可判断；由正切函数为奇函数，可判断；由正切函数的单调性可判断；由f（0）0可判断；由正切函数的图象可判断【解答】解：由于f （x）tanx的周期为，故正确；函数f （x）tanx为奇函数，故不正确；f （0）tan00，故不正确；
22、表明函数为增函数，而f （x）tanx为区间（，）上的增函数，故正确；由函数f （x）tanx的图象可知，函数在区间（，0）上有f（）f（）+f（）；在区间（0，）上有f（）f（）+f（），故不正确故答案为：【点评】本题考查正切函数的图象和性质，主要是周期性和奇偶性、单调性，考查判断能力和推理能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在数列an中，a11，an+12an+2n（）设bn证明：数列bn是等差数列；（）求数列an的前n项和Sn【分析】（1）由an+12an+2n构造可得即数列bn为等差数列（2）由（1）可求n，
23、从而可得ann2n1 利用错位相减求数列an的和【解答】解：由an+12an+2n两边同除以2n得，即bn+1bn1bn以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）得ann2n1Sn20+221+322+n2n12Sn21+222+（n1）2n1+n2nSn20+21+22+2n1n2nSn（n1）2n+1【点评】本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握18（12分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABADCDDAAFFE2，AB4（1）求证：D
24、F平面BCE；（）求二面角CBFA的正弦值；（）线段CE上是否存在点G，使得AG平面BCF？请说明理由【分析】（1）直接利用线面平行的判定求出结果（）直接利用空间直角坐标系，利用平面的法向量求出结果（）根据存在性问题的应用，利用反证法推出矛盾，进一步求出结论【解答】证明：（1）如图所示：由于：CDEF，且CDFE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DFCE由于DF平面BCE，所以：DF平面BCE解：（）在平面ABEF内，过点A作AzAB，由于平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，又Az平面ABEF，AzAB，所以：Az平面ABCD所以：ABAD，ADAz，AzAB，则：建
25、立空间直角坐标系：Axyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：，则：解：（）线段CE上不存在G，使得AG平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG平面BCF，设，其中（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x222，y22+，所以：，由于AG平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG平面BCF【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定的应用，平面的法向量的应用，向量的共线问题的应用，向量的夹角的应用存在向问题的应用19（12分）
26、某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）60，70）70，80）80，90）x：y1：12：13：44：5【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为550.05+6
27、50.4+750.3+850.2+950.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在50，90）之外的人数【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）1，解得a0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.0573（分）；（3）数学成绩在50，60）的人数为：1000.055，数学成绩在60，70）的人数为：，数学成绩在70，80）的人数为：，数学成绩在80，90）的人数为：，所以数学成绩在50，90）之外的人数为：1005
28、20402510【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解20（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M，都有f（x）M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界已知函数f（x）（a0）（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）求函数f（x）在lna，+）上所有下界构成的集合【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；（2）通过定义证明函数f（x）在区间lna，+）上是增函数，求出函数的最小值，从而求出满足条件的集合即可【解答】解：（1）
29、函数f（x）（a0）是R上的偶函数，f（x）f（x），即（exex）a（）a（exex）在R恒成立，a，解得：a1，（a0），（2）在lna，+）上任取x1，x2，且x1x2，则f（x1）f（x2）（）a（），yex是增函数，lnax1x2，0，x1+x22lnalna2，a2，a20，a0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在lna，+）上是增函数，f（x）minf（lna）+2，函数f（x）在lna，+）上所有下界构成的集合是（，2【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题21（12分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐
30、标原点，准线方程为y1，直线l过点（1，2），且与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）求抛物线的方程；（2）求证：点M在定直线上，并求出直线的方程；（3）求抛物线上的点到（2）中的定直线的最小距离【分析】（1）利用抛物线的准线方程可得出p的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），先写出抛物线在点A、B处的切线方程，并将点M的坐标代入两条切线方程，得出两个等式，利用两点确定一条直线，可得出过点M的直线方程，由直线过点（1，2），将该点代入过点M的直线方程，得出点M的坐标所满足的二元一次方程，于是得出点M所在的
31、直线；（3）将（2）中的定直线平移与抛物线相切，求出切点坐标，将问题转化为切点到该定直线的距离【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为x22py（p0），准线方程为y1，则p2，故抛物线的方程为x24y；（2）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）过点A的切线方程为x1x2y+2y1，过点B的切线方程为x2x2y+2y2两切线都过点M，所以有，故过点M的直线为x0x2y0+2y又因为直线l过点（1，2），所以有x02y0+4所以点M在定直线x2y+4上；（3）解：只需要将定直线x2y+4平移与抛物线相切，求出切点坐标由x24y，得yx2由y，x，可得x1，代入x24y
32、，得y，切点为所以所求距离【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中等题选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用xcos，ysin，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程
33、；（2）由题意可得当直线x+y40的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y40平行的直线方程为x+y+t0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标另外：设P（cos，sin），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），移项后两边平方可得+y2cos2+sin21，即有椭圆C1：+y21；曲线C2的极坐标方程为sin（+）2，即有（sin+cos）2，由xcos，ysin，可得x+y40，即有C2的直角坐标方程为直线x+y40；（2）由题意可得当直线x+y40的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y40平行的直线方程为x+y+t0，联立可得4x2+6tx+3t230，由直线与椭圆相切，可得36t216（3t23）0，解得t2，显然t2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|，此时4x212x+90，解得x，即为P（，）另解：设P（cos，sin），由P到直线的距离为d，当sin（+）1时，|PQ|的最小值为，此时可取，即有P（，）【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题
