1、2017-2018学年云南省保山市腾冲八中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）设集合Ax|x22x0，Bx|1x4，则AB（）A（0，2B（1，2）C1，2）D（1，4）2（5分）在ABC中，“A”是“cosA”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是（）Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y4（5分）函数f（x）sin（x）的图象的一条对称轴是（）AxBxCxDx5（5分）
2、已知实数x，y满足则z2xy的最小值是（）A5BC5D6（5分）函数f（x）xlnx的增区间为（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）7（5分）设向量，满足|+|，|，则（）A1B2C3D58（5分）已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则（）A1+B1C3+2D329（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD10（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A18+2B24+2C24+4D36+411（5分）过点P（，1）的直线l与圆x2+y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）
3、A（0，B（0，C0，D0，12（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y24x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）AB1C1D2二.填空题（每小题5分，共20分13（5分）从A、B、C、D、E，5名学生中随机选出2人，A被选中的概率为 14（5分）已知椭圆+1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 15（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）4x，则f（）+f（1） 16（5分）ABC中，若bc，a22b2（1sinA），则A 三、解答题（共70分）1
4、7（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）8sin2（1）求cosB；（2）若a+c6，ABC的面积为2，求b18（12分）从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图（）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；（）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率19（12分）设函数f（x）ax3+bx+c
5、（a0）为奇函数，其图象在点（1，f（1）处的切线与直线x6y70垂直，导函数f（x）的最小值为12（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间，并求函数f（x）在1，3上的最大值和最小值20（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为PAD中AD边上的高（1）证明：PH平面ABCD；（2）若PH1，FC1，求三棱锥EBCF的体积21（12分）已知数列an的前n项和Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列bn中，b11，点P（bn，bn+1）在直线xy+20上（1）求a1和a2的值；（2）求数列an，bn的通项公式an和
6、bn；（3）设cnanbn，求数列cnbn的前n项和Tn22（12分）点A、B分别是以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，0（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值2017-2018学年云南省保山市腾冲八中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）设集合Ax|x22x0，Bx|1x4，则AB（）A（0，2B（1，2）C1，2）
7、D（1，4）【分析】分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可【解答】解：Ax|0x2，Bx|1x4，ABx|1x2故选：C【点评】本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题2（5分）在ABC中，“A”是“cosA”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案【解答】解：在ABC中，若A，则cosA，是充分条件，在ABC中，若cosA，则A，是必要
8、条件，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题3（5分）顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是（）Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y【分析】依题意，设抛物线的标准方程为x22py（p0）或y22px（p0），将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程，求得p即可【解答】解：抛物线的顶点在原点，且过点（4，4），设抛物线的标准方程为x22py（p0）或y22px（p0），将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x22py（p0）得：168p，p2，此时抛物线的标准方程为x24y；将点（4，4）的坐标代入抛物线的标准方程
9、y22px（p0），同理可得p2，此时抛物线的标准方程为y24x综上可知，顶点在原点，且过点（4，4）的抛物线的标准方程是x24y或y24x故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题4（5分）函数f（x）sin（x）的图象的一条对称轴是（）AxBxCxDx【分析】将内层函数x看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果【解答】解：由题意，令xk+，kz得xk+，kz是函数f（x）sin（x）的图象对称轴方程令k1，得x故选：C【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的
10、求法，整体代入的思想方法，属基础题5（5分）已知实数x，y满足则z2xy的最小值是（）A5BC5D【分析】由题意作出其平面区域，将z2xy化为y2xz，z相当于直线y2xz的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将z2xy化为y2xz，z相当于直线y2xz的纵截距，故当过点（1，3）时，z有最大值，此时z有最小值，z2xy的最小值是235；故选：C【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题6（5分）函数f（x）xlnx的增区间为（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【分析】先求出函数的导数，由导数值大于0，解得x1，从而求出单调增区间【解答】解：函
11、数f（x）xlnx，f（x）1，由10，解得：x1，函数f（x）xlnx的增区间为（1，+），故选：C【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题7（5分）设向量，满足|+|，|，则（）A1B2C3D5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论【解答】解：|+|，|，分别平方得+2+10，2+6，两式相减得41064，即1，故选：A【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础8（5分）已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则（）A1+B1C3+2D32【分析】先根据等差中项的性质可知得2（）a1+2a2，进而利用通项公式表示出q
12、21+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依题意可得2（）a1+2a2，即，a3a1+2a2，整理得q21+2q，求得q1，各项都是正数q0，q1+3+2故选：C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解9（5分）已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD【分析】由导函数图象可知，f（x）在（，2），（0，+）上单调递减，在（2，0）上单调递增；从而得到答案【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（，2），（0，+）上单调递减，在（2，0）上单调递增，故选：A【点评】本题考查了导数的综合应
13、用，属于中档题10（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A18+2B24+2C24+4D36+4【分析】根据三视图判断几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，利用勾股定理求出腰为，代入棱柱的表面积公式计算【解答】解：由三视图知几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，腰为，几何体的表面积S（2+4+2）2+2224+4故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键11（5分）过点P（，1）的直线l
14、与圆x2+y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A（0，B（0，C0，D0，【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围【解答】解：由题意可得点P（，1）在圆x2+y21的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1k（x+），即 kxy+k10根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 1，即 3k22k+1k2+1，解得0k，故直线l的倾斜角的取值范围是0，故选：D【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题12（
15、5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y24x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）AB1C1D2【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c1，又由已知得|AF2|F1F2|2，而抛物线准线为x1，根据抛物线的定义A点到准线的距离|AF2|2，因此A点坐标为（1，2），由此可知是AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，
16、因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e+1故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力二.填空题（每小题5分，共20分13（5分）从A、B、C、D、E，5名学生中随机选出2人，A被选中的概率为【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，求出基本事件总数n，甲被选中包含的基本事件个数m4，由此能求出甲被选中的概率【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n，甲被选中包含的基本事件个数m4，则甲被选中的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求出能力
17、，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）已知椭圆+1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，椭圆上的点P到一个焦点的距离为3P到另一个焦点的距离为1037故答案为：7【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题15（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）4x，则f（）+f（1）2【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可【解答】解：函数f（x）是定义R上的周期为
18、2的奇函数，当0x1时，f（x）4x，f（1）f（1）f（1+2）f（1），f（1）0，f（）f（+2）f（）f（）2，则f（）+f（1）2+02，故答案为：2【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键16（5分）ABC中，若bc，a22b2（1sinA），则A【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1cosA1sinA，即sinAcosA，进行求解即可【解答】解：bc，a2b2+c22bccosA2b22b2cosA2b2（1cosA），a22b2（1sinA），1cosA1sinA，则sinAcosA，即tanA1，即A，故答案为：【点评】本
19、题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键三、解答题（共70分）17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）8sin2（1）求cosB；（2）若a+c6，ABC的面积为2，求b【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+CB，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B1，求出cosB，（2）由（1）可知sinB，利用三角形的面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b【解答】解：（1）sin（A+C）8sin2，sinB4（1cosB），sin2B+cos2B1，16（1cosB）2+co
20、s2B1，16（1cosB）2+cos2B10，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）0，（17cosB15）（cosB1）0，cosB；（2）由（1）可知sinB，SABCacsinB2，ac，b2a2+c22accosBa2+c22a2+c215（a+c）22ac153617154，b2【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18（12分）从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图（）试估计这所学校高三年级
21、800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；（）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率【分析】（I）由频率分布直方图，结合各组累积频率为1，及每组的频率矩形的面积矩形的高组距，可求出身高介于185cm190cm的频率，进而求出身高在180cm以上的累积频率，进而根据频数频率样本容量得到答案（II）根据频数频率样本容量，可以求出身高介于185cm190cm的学生人数和身高介于190cm195cm的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在185cm以上的学生中随机抽取
22、2名学生的事件个数及身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案【解答】解：（）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm190cm的频率为：1（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.016+0.008）50.06，（3分）800名学生中身高在180cm以上的人数为：800（0.0165+0.06+0.0085）144人 （6分）（）样本中，身高介于185cm190cm的学生人数为500.063人，身高介于190cm195cm的学生人数为500.00852人（8分）“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本
23、事件数共10种，（10分）其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有7种所求事件的概率为 （12分）【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，其中利用公式：频数频率样本容量计算出满足条件的各组人数是解答的关键19（12分）设函数f（x）ax3+bx+c（a0）为奇函数，其图象在点（1，f（1）处的切线与直线x6y70垂直，导函数f（x）的最小值为12（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间，并求函数f（x）在1，3上的最大值和最小值【分析】（1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f（x）的最小值求出b的值，最后
24、依据在x1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；（2）先求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值【解答】解：（1）f（x）为奇函数，f（x）f（x），即ax3bx+cax3bxc，c0f（x）3ax2+b的最小值为12，b12又直线x6y70的斜率为，则f（1）3a+b6，得a2，a2，b12，c0；（2）由（1）知f（x）2x312x，f（x）6x2126（x+）（x），列表如下： x （，） （，） （，+） f（x）+ 0 0+ f
25、（x） 增 极大 减 极小 增所以函数f（x）的单调减区间是（，），f（1）10，f（）8，f（3）18，f（x）在1，3上的最大值是f（3）18，最小值是f（）8【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力20（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为PAD中AD边上的高（1）证明：PH平面ABCD；（2）若PH1，FC1，求三棱锥EBCF的体积【分析】（1）由AB平面PAD，可得PHAB再由PH为PAD中AD边上的高，可得PHAD然后利用线面垂直的判定可得PH平面ABCD；
26、（2）连结BH，取BH中点G，连结EG则EGPH再由PH平面ABCD，可得EG平面ABCD结合已知由棱锥体积公式求得三棱锥EBCF的体积【解答】（1）证明：AB平面PAD，PHABPH为PAD中AD边上的高，PHADABADA，PH平面ABCD；（2）连结BH，取BH中点G，连结EGE是PB的中点，EGPHPH平面ABCD，EG平面ABCD又PH1，FC1，【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题21（12分）已知数列an的前n项和Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列bn中，b11，点P（bn，bn+1）在直线xy+20上（1）求a1和a2
27、的值；（2）求数列an，bn的通项公式an和bn；（3）设cnanbn，求数列cnbn的前n项和Tn【分析】（1）由an是Sn与2的等差中项，可得Sn2an2，求得a12，进一步求得a24；（2）由Sn2an2，得Sn12an12（n2），两式作差可得（n2），即数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得；由点P（bn，bn+1）在直线xy+20上，可得bn+1bn2，又b11，可得bn1+（n1）22n1；（3）cnanbn（2n1）2n，然后利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（1）an是Sn与2的等差中项，Sn2an2，则a1S12a12，即a1
28、2，a1+a2S22a22，解得a24；（2）Sn2an2，Sn12an12（n2），两式作差可得：an2an2an1，（n2），即数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，则；点P（bn，bn+1）在直线xy+20上，bn+1bn2，b11，bn1+（n1）22n1；（3）cnanbn（2n1）2n，则2+（23+24+2n+1）（2n1）2n+1【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查数列递推式的应用，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题22（12分）点A、B分别是以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，0（
29、1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值【分析】（1）求得双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，可得椭圆的长半轴长，椭圆的短半轴长，即可得到所求椭圆方程；（2）设点P的坐标为（x，y），运用椭圆方程和向量数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标，求得AP的方程，运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式，运用二次函数的最值求法，可得最小值【解答】解：（1）已知双曲线实半轴a14，虚半轴b12，半焦距c16，椭圆的长半轴a2c16，椭圆的半焦距c2a14，椭圆的短半轴b22，所求的椭圆方程为+1；（2）由已知A（6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y），则（6x，y），（4x，y），由已知得+1，且（x+6）（x4）+y20，则2x2+9x180，解之得x或x6，由于y0，所以只能取x，于是y，所以点P的坐标为（，），直线AP的方程为xy+60，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是|m6|，又点M在椭圆的长轴上，即6m6m2当m2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离d2（x2）2+y2x24x+4+20x2（x）2+15，又6x6当x时，d取最小值【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，点到直线的距离，考查方程思想和运算能力，属于中档题
