1、2017-2018学年云南省大理州高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设全集U1，2，3，4，5，M1，2，4，N2，4，5，则（UM）（UN）等于（）A4B1，3C2，5D32（5分）设xR，“x1”是“x1”的（）A充分必要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知直线l经过点P（2，5），且斜率为，则直线l的方程为（）A3x+4y140B3x4y+140C4x+3y140D4x3y+1404（5分）如果执行如图的程序框图，那么输出的S（）A90B110
2、C250D2095（5分）将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（）ABCD6（5分）已知变量x，y满足线性约束条件，则目标函数zxy的最小值为（）AB2C2D7（5分）下列四个命题中正确的是（）若一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；垂直于同一条直线的两个平面相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直ABCD8（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）ABCD9（5分）若，则sin的值为（）ABCD10（5分）若圆C的半径为1，圆
3、心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A（x2）2+（y1）21B（x2）2+（y+1）21C（x+2）2+（y1）21D（x3）2+（y1）2111（5分）莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包A4B3C2D112（5分）设函数f（x）1g（1+|2x|），则使得f（3x2）f（x4）成立的x的取值范围是（）A（）B（1，）C（，）D（，1）（，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20
4、分把答案填在答题卡相应位置）13（5分）已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么|2| 14（5分）若焦点在x轴上的椭圆+1的离心率为，则m 15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，若D1AC内切圆的半径为，则该正方体内切球的表面积为 16（5分）函数f（x）ax1+3（a0且a1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny20（m0，n0）上，则+的最小值是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）已知数列an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2an2（nN*），数列bn为等差数列，b1a1，b4a3（ I）求数列an，b
5、n的通项公式；（II）求数列an+bn的前n项和Tn18（12分）已知f （x）sin（x）sinxcos2x（1）求f（x）最小正周期及最大值（2）讨论f（x）在，上的单调性19（12分）某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：年龄段支持保留不支持40岁以下（含40岁）4506014040岁以上15013070（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）
6、的人有多少被抽取；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率20（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离21（12分）已知ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）b（1）证明：A，B，C成等差数列；（2）若ABC的面积为，求b的最小值22（12分）如图，点在椭圆上，且点M到两焦点的距离之和为6（1）求椭
7、圆的方程；（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），求的取值范围2017-2018学年云南省大理州高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设全集U1，2，3，4，5，M1，2，4，N2，4，5，则（UM）（UN）等于（）A4B1，3C2，5D3【分析】由M与N，求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集，所求集合变形为并集的补集后即可得到结果【解答】解：全集U1，2，3，4，5，M1，2，4，N2，4，5，MN1，2，4，5，U（MN）3，则（
8、UM）（UN）U（MN）3，故选：D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握 各自的定义是解本题的关键2（5分）设xR，“x1”是“x1”的（）A充分必要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【分析】“x1”“x1”，反之不成立即可判断出结论【解答】解：“x1”“x1”，反之不成立“x1”是“x1”的充分不必要条件故选：C【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知直线l经过点P（2，5），且斜率为，则直线l的方程为（）A3x+4y140B3x4y+140C4x+3y140D4x3y+140【分析】直接弦长直线
9、方程的点斜式，整理为一般式得答案【解答】解：直线l经过点P（2，5），且斜率为，直线l的点斜式方程为y5（x+2），整理得：3x+4y140故选：A【点评】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题4（5分）如果执行如图的程序框图，那么输出的S（）A90B110C250D209【分析】根据题意，模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值【解答】解：第一次循环，k1，S0+22；第二次循环，k2，S2+222+46；第三次循环，k3，S6+236+612；第四次循环，k4，S12+2412+820；第五次循环，k5，S20+2520+1030；第六次循环，k6，S30
10、+2630+1242；第七次循环，k7，S42+2742+1456；第八次循环，k8，S56+2856+1672；第九次循环，k9，S72+2972+1890；第十次循环，k10，S90+21090+20110；此时k10+111，不满足循环条件k11，终止循环输出S110故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题5（5分）将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（）ABCD【分析】将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于1米，即在距离两端分别至少为1米，关键几何概型公式可得【解答】解：由题意，只要在距离两端分别至
11、少为1米处剪断，满足题意的位置由3米，由几何概型公式得到所求概率为；故选：B【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确剪断的地方对应的绳子长度，利用几何概型的公式解答6（5分）已知变量x，y满足线性约束条件，则目标函数zxy的最小值为（）AB2C2D【分析】画出满足条件的平面区域，由目标函数zxy变形为yxz，通过图象读出即可【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目标函数zxy得：yxz，显然直线过（0，2）时，z最小，z的最小值是：2，故选：C【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题7（5分）下列四个命题中正确的是（）若一个平面经过另一平面
12、的垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；垂直于同一条直线的两个平面相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直ABCD【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断真假性即可【解答】解：对于，根据平面的判断定理知，若一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，正确；对于，根据面面平行的判定定理知，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，错误；对于，根据线面垂直的性质定理知，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，正确；对于，根据面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直
13、，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，正确综上，正确的命题是故选：D【点评】本题利用命题真假的判断问题，考查了空间中的平行于垂直关系的应用问题，是综合题8（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）ABCD【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方形为底面的四棱锥，然后求解几何体的体积即可【解答】解：该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥ABCDE为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形：ACCDBC2，几何体的体积为：，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5分
14、）若，则sin的值为（）ABCD【分析】由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos+sin，结合同角三角函数基本关系式可求2sin2+sin0，进而解得sin的值【解答】解：，可得：sin0，cos+sin，可得：cos+sin，又sin2+cos21，可得：sin2+（+sin）21，整理可得：2sin2+sin0，解得：sin，或（舍去）故选：A【点评】本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题10（5分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A（x2）2+（y1
15、）21B（x2）2+（y+1）21C（x+2）2+（y1）21D（x3）2+（y1）21【分析】要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x3y0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可【解答】解：设圆心坐标为（a，b）（a0，b0），由圆与直线4x3y0相切，可得圆心到直线的距离dr1，化简得：
16、|4a3b|5，又圆与x轴相切，可得|b|r1，解得b1或b1（舍去），把b1代入得：4a35或4a35，解得a2或a（舍去），圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x2）2+（y1）21故选：A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程11（5分）莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个
17、面包A4B3C2D1【分析】设五个人所分得的面包为a2d，ad，a，a+d，a+2d，（其中d0），则由条件求得a 和d的值，可得最少的一份为a2d的值【解答】解：设五个人所分得的面包为a2d，ad，a，a+d，a+2d，（其中d0），则有（a2d）+（ad）+a+（a+d）+（a+2d）5a120，a24由a+a+d+a+2d7（a2d+ad），得3a+3d7（2a3d）；24d11a，d11最少的一份为a2d24222，故选：C【点评】本题是等差数列模型的实际应用，要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式进行化简求值，此题的突破点在于设出等差数列，属于中档题12（5分）设函数f（
18、x）1g（1+|2x|），则使得f（3x2）f（x4）成立的x的取值范围是（）A（）B（1，）C（，）D（，1）（，+）【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|3x2|x4|，解绝对值不等式即可【解答】解：f（x）ln（1+|2x|），定义域为R，f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，当x0时，f（x）ln（1+2x）值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（3x2）f（x4）成立，|3x2|x4|，（3x2）2（x4）2，解得：x或x1，故选：D【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数
19、图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置）13（5分）已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么|2|2【分析】根据均为单位向量，并且夹角为，即可求出，从而求出【解答】解：均为单位向量，且夹角为；故答案为：2【点评】考查单位向量的概念，向量夹角的概念，向量数量积的运算及计算公式14（5分）若焦点在x轴上的椭圆+1的离心率为，则m3【分析】由已知可得a2，b2的值，求得c24m，结合椭圆离心率列式求得m值【解答】解：由已知a24，b2m，则c24m，解得m3故答案为：3【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆隐含条件及离心率
20、的应用，是基础题15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，若D1AC内切圆的半径为，则该正方体内切球的表面积为16【分析】利用正三角形内切圆半径的特殊性，结合重心定理，可得正方体的棱长，从而得内切球半径，得解【解答】解：如图，设棱长为a，则D1AC的边长为，其内切圆半径OE，a4，内切球的半径为2，内切球表面积为16故答案为：16【点评】此题考查了正方体内切球，三角形内切圆等，难度不大16（5分）函数f（x）ax1+3（a0且a1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny20（m0，n0）上，则+的最小值是【分析】函数f（x）恒过定点P（1，4），由点P在直线mx+ny20（m0且n0
21、）上，可得m+4n2利用基本不等式可得【解答】解：当x1时，f（1）a0+34，函数f（x）恒过定点P（1，4）点P在直线mx+ny20（m0且n0）上，m+4n2，（m+4n）（）（17+），当且仅当mn时取等号，+的最小值，故答案为：【点评】熟练掌握指数函数的性质、基本不等式的性质是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17（10分）已知数列an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2an2（nN*），数列bn为等差数列，b1a1，b4a3（ I）求数列an，bn的通项公式；（II）求数列an+bn的前n项和Tn【分析】（）根据数列
22、的递推公式可得数列an是等比数列，即可求出数列an，再求出bn的公差，即可得到bn的通项公式，（）分别根据等比数列的求和公式和等差数列的求和公式计算即可【解答】解：（）Sn2an2（nN*），S12a12 解得：a12当n2时，Sn12an12，两式相减得an2an1，即n2时，数列an是等比数列，an2n ，当n1时，a12满足上式，an2n ，数列bn为等差数列，b1a12，b4a38，d2，bn2n；（）an+bn2n +2n，Tn+n（n+1）2n+1+n2+n2【点评】本题考查了数列的递推公式和分组求和，考查了运算能力，属于中档题18（12分）已知f （x）sin（x）sinxcos
23、2x（1）求f（x）最小正周期及最大值（2）讨论f（x）在，上的单调性【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最大值、周期性得出结论（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）在，上的单调性【解答】解：（1）f （x）sin（x）sinxcos2xcosxsinxsin2xcos2xsin（2x），故该函数的最大值为1，它的最小正周期为，（2）令2k2x2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为为k，k+，kZ；再结合x，可得函数的增区间为，令2k+2x2k+，求得k+xk+，可得函数的增区间为为k+，k+，kZ；再结合x，可得函数的减区间为，【点评】本题主要考查三角恒等变换
24、，正弦函数的最大值、周期性和单调性，属于中档题19（12分）某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：年龄段支持保留不支持40岁以下（含40岁）4506014040岁以上15013070（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取
25、2人，求至少有1人在40岁以上的概率【分析】（1）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取x人，由分层抽样性质列出方程，由此能出结果（2）设所选的人中，有m人年龄在40岁以下，则，m4即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；分别记作A1，A2，A3，A4，B1，B2，利用列举法能出在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率【解答】解：（1）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取x人，由题意，得n60，则人所以在“支持”的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取（2）设所选的人中，有m人
26、年龄在40岁以下，则，m4即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；分别记作A1，A2，A3，A4，B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15个其中至少有1人在40岁以上的基本事件有9个分别是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）所
27、以在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率为p【点评】本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面AEC；（）通过AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求出AB，作AHPB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离通过解三角形求解
28、即可【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点E为PD的中点，EOPBEO平面AEC，PB平面AECPB平面AEC；（）AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，V，AB，PB作AHPB交PB于H，由题意可知BC平面PAB，BCAH，故AH平面PBC又在三角形PAB中，由等面积法可得：A到平面PBC的距离【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力21（12分）已知ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）b（1）证明：A，B，C成等差数列；（2）若ABC的面积为，求
29、b的最小值【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果【解答】证明：（1）因为2cosB（ccosA+acosC）b，所以由正弦定理得2cosB（sinCcosA+sinAcosC）sinB，即2cosBsin（A+C）sinB在ABC中，sin（A+C）sinB且sinB0，所以因为B（0，），所以又因为A+B+C，所以所以A，B，C成等差数列（2）因为，所以ac6所以b2a2+c22accosBa2+c2acac6，当且仅当ac时取等号所以b的最小值为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应
30、用三角形面积公式22（12分）如图，点在椭圆上，且点M到两焦点的距离之和为6（1）求椭圆的方程；（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），求的取值范围【分析】（1）由已知条件设椭圆方程为，把点M（，）代入，能求出椭圆的方程（2）设AB的方程为yx+m，联立椭圆方程，得11x26mx+6m2180，由0求出0m2，由此能求出的取值范围【解答】解：（1）2a6，a3又点在椭圆上，解得：b23，所求椭圆方程为（2），设直线AB的方程：联立方程组，消去y得：.，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，的取值范围为【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用属于中档题
