1、一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4分）若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）A1BC2D32（4分）双曲线x21的渐近线方程是（）AyxByCyDy3（4分）某个命题与正整数n有关，如果当nk+1，（kN+）时命题成立，那么可推得当nk时命题也成立现已知当n2019时该命题不成立，那么可推得（）A当n2020时该命题不成立B当n2020时该命题成立C当n2018时该命题不成立D当n2018时该命题成立4（4分）经过点且与椭圆相切的直线方程是（）ABCD5（4分）方程所表示的曲线是（）A焦点在x
2、轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在x轴上的双曲线D焦点在y轴上的双曲线6（4分）设函数 ，则（）A 为 f（x）的极大值点B为f（x）的极小值点Cx2 为 f（x）的极大值点Dx2为f（x）的极小值点7（4分）设抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于（）A4B6C6D128（4分）有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是（）A960B720C480D2409（4分）已知抛物线y22px（p0）与椭圆（ab0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx轴，则椭圆的离心率为（）
3、A1B1CD10（4分）从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取三个不同的元素作为直线l：ax+by+c0中a，b，c的值若直线l的倾斜角小于135，且l在x轴上的截距小于1，那么不同的直线l有（）A109条B110条C111条D120条二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）计算： ； （用数字作答）12（6分）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线C2方程是 ，其C2离心率是 13（6分）函数的增区间是 ，曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程是 14
4、（6分）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个无重复数字的三位数，也可以组成 个能被5整除且无重复数字的五位数15（4分）已知圆C：x2+y2+8x+ay50经过抛物线E：x24y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为 16（4分）双曲线x2y21与直线x+2y+30交于A，B两点，且线段AB中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率是 17（4分）已知P是椭圆1（a1b10）和双曲线1（a20，b20）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，F1PF2，则的最大值为 &nbs
5、p; 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18已知函数（）求f（x）的减区间；（）当x1，1时，求f（x）的值域19已知椭圆经过两点（0，1），（）求椭圆E的方程；（）若直线l：xy10交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求AOB的面积S20已知函数f（x）exx（e为自然对数的底数）（）求f（x）的最小值；（）若对于任意的x0，2，不等式f（x）ax恒成立，求实数a的取值范围21已知点F是抛物线C：y2x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|（）求点S的坐标；（）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线
6、C于M、N两点；判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；延长NM交x轴于点E，若|EM|NE|，求cosMSN的值22已知函数（）求f（x）极大值；（）求证：，其中nN+，n2（）若方程f（x）t有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x222018-2019学年浙江省嘉兴一中、湖州中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4分）若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）A1BC2D3【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数，通过复数虚部不为0，实部为0，求解即可
7、【解答】解：复数（2+i）（1+ai）2a+（2a+1）i，复数（2+i）（1+ai）是纯虚数，可得2a0，2a+10，解得a2故选：C【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念的应用，考查计算能力2（4分）双曲线x21的渐近线方程是（）AyxByCyDy【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，由双曲线的渐近线方程分析可得答案【解答】解：双曲线x21的焦点在x轴上，其中a1，b，则其渐近线方程为yx；故选：A【点评】考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置3（4分）某个命题与正整数n有关，如果当nk+1，（kN+）时命题成立，那么可推得当nk时命题也成立现已
8、知当n2019时该命题不成立，那么可推得（）A当n2020时该命题不成立B当n2020时该命题成立C当n2018时该命题不成立D当n2018时该命题成立【分析】由归纳法的性质，我们由P（n）对nk+1成立，则它对nk也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对nk不成立时，则它对nk+1也不成立，由此类推，对nk的任意正整数均不成立，由此不难得到答案【解答】解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P（n）对n2019不成立，P（n）对n2020也不成立，否则，n2020成立，由已知推得n2019也成立与当n2019时该命题不成立矛盾故选：A【点评】当P（
9、n）对nk+1成立，则它对nk也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对nk不成立时，则它对nk+1也不成立对nk的任意整数均不成立4（4分）经过点且与椭圆相切的直线方程是（）ABCD【分析】根据题意，分析可得P在椭圆上，结合椭圆的切线方程可得要求直线的方程为+y1，变形即可得答案【解答】解：根据题意，椭圆，点P（1，），有+（）21，即P在椭圆上，则过点且与椭圆相切的直线方程为+y1，变形可得：x+2y40；故选：A【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，注意分析点P与椭圆的关系，属于基础题5（4分）方程所表示的曲线是（）A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴
10、上的椭圆C焦点在x轴上的双曲线D焦点在y轴上的双曲线【分析】利用sin值的范围，求得2sin+3与sin2的范围，结合标准形式判断曲线的形状【解答】解：1sin1，2sin+30sin20，方程所表示的曲线是：表示焦点在x轴上的双曲线，故选：C【点评】本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键6（4分）设函数 ，则（）A 为 f（x）的极大值点B为f（x）的极小值点Cx2 为 f（x）的极大值点Dx2为f（x）的极小值点【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可【解答】解：f（x）+，（x0），令f（x）
11、0，解得：x2，令f（x）0，解得：0x2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，故x2是函数的极小值点，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题7（4分）设抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于（）A4B6C6D12【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA丄l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长【解答】解：抛物线方程为y26x，焦点F（1.5
12、，0），准线l方程为x1.5，APF为正三角形，直线AF的斜率为，直线AF的方程为y（x1.5），与x1.5联立，可得A点坐标为（1.5，3）PAl，A为垂足，P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），|PF|PA|4.5（1.5）6故选：C【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题8（4分）有七名同学排成一排，其中甲，乙两人不能在一起，丙，丁两人要排在一起的排法数是（）A960B720C480D240【分析】利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，再将甲、乙拿出后全部排列，最后甲乙两人去插空即可得到答案【解答】解：
13、根据题意，利用分步计数原理，首先用捆绑法将丙丁两人捆绑在一起作为一个人，将甲、乙拿出后全部排列有A44种排法，排列后的5个空选2个空将甲乙两人去插如可得有A52种排法，将丙丁两人捆绑在一起进行排列有A22种排法，所以满足条件的排法有：A44A52A22960种排法，故选：A【点评】本题考查排列组合的应用，利用分步计数原理，捆绑法和插空法计算可得属于中档题9（4分）已知抛物线y22px（p0）与椭圆（ab0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx轴，则椭圆的离心率为（）A1B1CD【分析】如图所示，由AFx轴，可得c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A，即A（c，2c）代入椭圆的方
14、程可得：1，又b2a2c2，利用离心率计算公式即可得出【解答】解：如图所示，AFx轴，c，把x代入抛物线方程可得：y2，解得ypA，即A（c，2c）代入椭圆的方程可得：1，又b2a2c2，1，化为e46e2+10，0e1解得e232，1故选：B【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（4分）从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取三个不同的元素作为直线l：ax+by+c0中a，b，c的值若直线l的倾斜角小于135，且l在x轴上的截距小于1，那么不同的直线l有（）A109条B110条C111条D120条【分析】先将
15、直线l：ax+by+c0化为，l在x轴上的截距为，利用直线l的倾斜角小于135，且l在x轴上的截距小于1，可得cab，共有种，再考虑重复情况，即可得到不同的直线l的种数【解答】解：直线l：ax+by+c0可化为，l在x轴上的截距为直线l的倾斜角小于135，且l在x轴上的截距小于1，cab，共有种其中重复的项，（c，a，b）从b1开始：（3，2，1），（6，4，2），（9，6，3）（重复2次）；（4，2，1），（8，4，2）（重复1次）；（5，2，1），（10，4，2）（重复1次）；（4，3，1），（8，6，2）（重复1次）；（5，3，1），（10，6，2）（重复1次）；（5，4，1），（10，
16、8，2）（重复1次），共7个重复组合；b2：（4，3，2），（8，6，4）（重复1次）；（5，3，2），（10，6，4）（重复1次）；（5，4，2），（10，8，4）（重复1次），共3个重复组合；b3：（5，4，3），（10，8，6）共1个重复组合所以不同的直线l有：120731109条故选：A【点评】本题考查计数原理的运用，解题的关键是分析出cab，排除重复情况，很容易出错二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）计算：20；35（用数字作答）【分析】根据排列数公式组合数性质以及组合数公式可得【解答】解：A5420；C+CC35故答案为：20，35【点评
17、】本题考查了排列及排列数公式，属基础题12（6分）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线C2方程是，其C2离心率是2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质设C2的方程为t，将点M的坐标代入计算可得t的值，即可得双曲线C2方程，进而求出a、b、c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线C2与双曲线有共同的渐近线，设C2的方程为t，又由双曲线C2经过点，则有t，即t5，则双曲线C2方程为1，其中a，b3，则c2，其离心率e2；故答案为：1，2【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是设出双曲线C2方程，属于基础题13（6分）函数的增区间是（0，1，曲线f（x）在点（1，1
18、）处的切线方程是y1【分析】根据题意，分析函数的定义域，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系可得f（x）0，即0，解可得x的取值范围，即可得函数的递增区间；进而求出f（0）的值，由切线的几何意义分析可得答案【解答】解：根据题意，函数，定义域为（0，+），其导数f（x），若f（x）0，即0，解可得0x1，即函数f（x）的递增区间为（0，1），有f（0）0，则曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y0f（0）（x1），即y1；故答案为：（0，1），y1【点评】本题考查函数单调性的判定以及单调区间的求法，涉及曲线的切线方程，属于基础题14（6分）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成1
19、00个无重复数字的三位数，也可以组成216个能被5整除且无重复数字的五位数【分析】（1）第一空，采用分步计数原理讨论0的情况可得，（2）第二空则分2类情况进行分析，利用分类和分步的计数原理分别求出每种情况下的取法数目可得答案【解答】解：空、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成无重复数字的三位数，则：三位数的最高位不能是0，有A51种排法，后两位数由剩下的数字排列则有A52种排法，采用分步计数原理，可以组成无重复数字的三位数A51A52100个空、分2类情况进行分析：组成能被5整除且无重复数字的五位数个位是0和5的这两类情况，当个位是0时，剩余4位数由剩余数字任意排列有A54种排法，能被5整
20、除且无重复数字的五位数有A11A54120种情况，当个位是5时，最高位排除0在剩余4位数字有A41种排法，剩余中间3位数由剩余数字任意排列有A43种排法，能被5整除且无重复数字的五位数有A11A41A4396种情况，所以：组成能被5整除且无重复数字的五位数有：A11A54+A11A41A43120+96216种情况，故答案为：100，216【点评】本题考查分类和分步的计数原理的运用，关键是分析0在数字中的位置情况，进而确定分类的方法15（4分）已知圆C：x2+y2+8x+ay50经过抛物线E：x24y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为4【分析】求出抛物线E：x24y的焦点为（0，1
21、），准线为y1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长【解答】解：抛物线E：x24y的焦点为（0，1），准线为y1（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay50，可得1+a50，a4圆C：x2+y2+8x+4y50，即（x+4）2+（y+2）225，圆心到直线的距离为d1，抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为24故答案为：4【点评】本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础16（4分）双曲线x2y21与直线x+2y+30交于A，B两点，且线段AB中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率是2【分析】联立直线方程和双曲线方程，运用韦达
22、定理和中点坐标公式，求得P的坐标，由直线的斜率公式可得所求值【解答】解：x2y21与直线x+2y+30联立可得3y2+12y+80，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y24，可得P的纵坐标2，横坐标为1，则直线OP的斜率为2故答案为：2【点评】本题考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题17（4分）已知P是椭圆1（a1b10）和双曲线1（a20，b20）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，F1PF2，则的最大值为【分析】设P为第一象限的交点，|PF1|m，|PF2|n，
23、运用椭圆和双曲线的定义，求得ma1+a2，na1a2，再由余弦定理和离心率公式可得+4，设cos，2sin，由辅助角公式，运用正弦函数的值域即可得到最大值【解答】解：设P为第一象限的交点，|PF1|m，|PF2|n，由椭圆的定义可得，m+n2a1，由双曲线的定义可得，mn2a2，解得ma1+a2，na1a2，在F1PF2中，由余弦定理可得cosF1PF2，即为m2+n2mn4c2，即有2a12+2a22a12+a224c2，即a12+3a224c2，由离心率e，可得+4，设cos，2sin，则cos+2sinsin（+）（为辅助角），sin（+），当sin（+）1，即+时，取得最大值故答案为：
24、【点评】本题考查最值的求法，注意运用椭圆和双曲线的定义和性质：离心率，以及三角换元，辅助角公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤18已知函数（）求f（x）的减区间；（）当x1，1时，求f（x）的值域【分析】（）根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与单调性的关系分析可得答案；（）根据题意，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）在1，0上递减，在0，1上递增，进而求出f（0）与f（1）、f（1）的值，据此分析可得答案【解答】解：（I） 根据题意，函数，其导数f'（x）x2+2x当f'（x）x2
25、+2x0，解得x（2，0）即f（x）的减区间（2，0）；（II） 当f'（x）x2+2x0，解得x（，2）（0，+）即f（x）在1，0上递减，在0，1上递增，则f（0）0，f（1）+1，f（1）+1，则f（x）的值域【点评】本题考查函数的单调性的判定与单调区间，涉及函数的值域计算，属于基础题19已知椭圆经过两点（0，1），（）求椭圆E的方程；（）若直线l：xy10交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求AOB的面积S【分析】（）根据题意，将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得，解可得a、b的值，即可得椭圆的方程；（）记A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，5y2+
26、2y30，解可得y的值，即可得直线l与x轴交点的坐标，结合三角形面积公式计算可得答案【解答】解：（）根据题意，椭圆经过两点（0，1），则有，解得：a2，b1即椭圆E的方程为+y21（）记A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为xy+1由消去x得5y2+2y30，所以设直线l与x轴交于点P（1，0）S|OP|y1y2|S【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的标准方程20已知函数f（x）exx（e为自然对数的底数）（）求f（x）的最小值；（）若对于任意的x0，2，不等式f（x）ax恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）由已知得f（x）ex1，由此利用导
27、数性质能求出f（x）的最小值（）由已知得c对于任意x0，2，不等式f（x）ax恒成立，由f（x）ax，得（a+1）xex，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）exx，f（x）ex1，令f（x）0，解得x0，令f（x）0，得x0，f（x）在（，0）内单调递减，在（0，+）单调递增，当x0时，f（x）取得极小值1（）不等式f（x）ax的解集为P，且x|0x2P，c对于任意x0，2，不等式f（x）ax恒成立，由f（x）ax，得（a+1）xex，当x0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x（0，2的情况，将（a+1）xex变形为a，令g（x），则g（x）的导数，令g（x）0，解
28、得x1；令g（x）0，解得0x1，g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+）内单调递增，当x1时，g（x）取得最小值e1，从而实数a的取值范围是（，e1）【点评】本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用21已知点F是抛物线C：y2x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|（）求点S的坐标；（）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；延长NM交x轴于点E，若|EM|NE|，求cosMSN的值【分析】（）设S（x0，y0）（y00），由已知得F，则|
29、SF|，由此能求出点S的坐标（）设直线SA的方程为y1k（x1）（k0），M（x1，y1），由，得ky2y+1k0，所以由已知SASB，知直线SB的斜率为k，由此能导出直线MN的斜率为定值设E（t，0），由|EM|NE|，知k2所以直线SA的方程为y2x1，则，同理由此能求出cosMSN的值【解答】解：（）设S（x0，y0）（y00），由已知得F，则|SF|，y01，点S的坐标是（1，1）（2分）（）设直线SA的方程为y1k（x1）（k0），M（x1，y1），由得ky2y+1k0，由已知SASB，直线SB的斜率为k，（7分）设E（t，0），|EM|NE|，则，k2（8分）直线SA的方程为y2x
30、1，则，同理（12分）【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化22已知函数（）求f（x）极大值；（）求证：，其中nN+，n2（）若方程f（x）t有两个不同的零点x1，x2，求证：x1+x22【分析】（）求得f（x）的导数和极值点，单调性，可得极大值；（II）方法一、求得最值，可得（1lnx）1，即lnx2（1），由累加法和两性信箱，即可得证；方法二、运用数学归纳法证明，注意运用假设和f（x）的最值，即可得证；（）运用分析法和构造函数h（x）f（x）f（2x），（0x1），求得导数和单调性，即可得证【解答
31、】解：（）函数，解得x1，x（0，1）1（1，+）f'（x）+0f（x）递增极大值递减f（x）极大值是f（1）1；（II）方法一：函数，由（）得：f（x）在x1处取得极大值1，且该极值是唯一的，则（1lnx）1，即lnx2（1），当且仅当x1时取“”，故当i2时，lni2（1）2224（），因此lnilni24（）2（n1）4（1+）2（n1）4（1）2（1）2方法二：下面用数学归纳法证明：lni2（1）2，对nN+，n2恒成立（1）当n2时，左边ln2ln，右边2（1）22，左边右边，结论成立；（2）假设当nk时，结论成立，即lni2（1）2，当nk+1时，左边lnilni+ln（k
32、+1）2（1）2+ln（k+1）2（1）22（1+22）+ln（k+1）而ln（k+1）2（1+22）ln（k+1）2+ln（k+1）2+，设f（x）（1lnx），由（）得：f（x）在x1处取得极大值1，且该极值是唯一的，则（1lnx）1，即lnx2（1），当且仅当x1时取“”，则ln（k+1）2+0对kN+恒成立，即2（1）22（1+22）+ln（k+1）2（1）2成立，故当nk+1时，结论成立，因此，综合（1）（2）得lni2（1）2，对nN+，n2恒成立（I）证明：由（）知方程f（x）t有两个不同的零点x1，x2，则0x11x2x22x11，分析法：要证x1+x22x22x11f（x2）f（2x1）f（x1）f（x2）f（2x1）f（x1）f（2x1）0，令函数h（x）f（x）f（2x），（0x1），由，得h（x）在（0，1上递增，h（x）h（1）0，即f（x1）f（2x1）0成立，由上知x1+x22成立【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数学归纳法的运用，以及函数的零点问题解法，考查化简运算能力，以及推理能力，属于难题
