1、2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是（）Axy10Bx+y10CD2（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，1，1）关于平面xOz对称的点Q的坐标是（）A（1，1，1）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）3（4分）直线截圆x2+y24所得弦长是（）A2B2CD14（4分）椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是（）A3B5C8D105（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）AB2CD46（4分）设xR，则“0x5
2、”是“|x1|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则aC若a丄，丄，则aD若m丄，n丄，则mn8（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，Q是平面ABCD内一动点，若D1Q与D1C所成角为，则动点Q的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆9（4分）已知P为抛物线x212y上一个动点，Q为圆（x4）2+y21，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（）A4B3C2D110（4分）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段S
3、A上的点（不含端点），设直线BE与CD所成的角为1，直线BE与平面ABCD所成的角为2，二面角SBCD的平面角为3，则（）A13，23B21，23C21，31D12，32二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 12（4分）棱长为1的正方体的内切球的半径是 ，该正方体的外接球的表面积是 13（4分）已知圆O1：x2+y24与圆O2：（x2）2+（y+1）21相交于A，B两点，则两圆的圆心O1，O2所在直线方程是 ，两圆公共弦AB的长度是 14（4分）已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD
4、60o，则 ，| 15（4分）过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是 16（4分）在三棱锥PABC中，ABBCCAAP3，PB4，PC5，则三棱锥PABC的体积是 17（4分）在ABC中，B（10，0），直线BC与圆x2+（y5）225相切，切点为线段BC的中点若ABC的重心恰好为该圆圆心，则点A的坐标是 三、解答题：5小题，共74分18已知直线l：x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，圆C：（x2）2+y22（1）已知平行于l的直线l1与圆C相切，求直线l1的方程；（2）已知动点P在
5、圆C上，求ABP的面积的取值范围19如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是线段AC上的中点（1）证明：A1M平面CB1D1；（2）求异面直线A1M与CD1的所成角的余弦值20设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且倾斜角为45的直线l与C交于A，B两点（1）求|AB|的值；（2）求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程21如图，三棱台ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC和A1B1C1均为等边三角形，AB2AA12CC12A1B1，O为AC的中点（1）证明：OBAA1；（2）求直线OB1与平面BCC1B1所成角的正弦值22如图，已知椭圆C1：经过点P（2，0），且离心
6、率，圆C2以椭圆C1的短轴为直径过点P作互相垂直的直线l1，l2，且直线l1交椭圆C1于另一点D，直线l2交圆C2于A，B两点（1）求椭圆C1和圆C2的标准方程；（2）求ABD面积的最大值2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）下列四条直线中，倾斜角最大的是（）Axy10Bx+y10CD【分析】根据题意，依次求出选项中直线的倾斜角，比较即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，xy10，其斜率k1，倾斜角为45，对于B，x+y10，其斜率k1，倾斜角为135，对于C，xy10，其斜率k，倾斜角为60，对于D
7、，x+y10，其斜率k，倾斜角为120，则B选项中直线的倾斜角最大；故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角，涉及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题2（4分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，1，1）关于平面xOz对称的点Q的坐标是（）A（1，1，1）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）【分析】根据空间直角坐标系中点P（x，y，z）关于平面xOz对称的点Q的坐标是（x，y，z），写出即可【解答】解：空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，1，1）关于平面xOz对称的点Q的坐标是（1，1，1）故选：D【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称问题，是基础题3（4分）直线截圆
8、x2+y24所得弦长是（）A2B2CD1【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长【解答】解：由圆x2+y24，得到圆心（0，0），r2，圆心（0，0）到直线xy+20的距离d1，直线被圆截得的弦长为22故选：A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练运用垂径定理及勾股定理是解本题的关键4（4分）椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是（）A3B5C8D10【分析】利用椭圆的定义，转化求解即可【解答】解：椭圆，可得
9、2a10，椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是：1028故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质与椭圆的定义是应用，是基本知识的考查，基础题5（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（）AB2CD4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面积为直角三角形，高为2的三棱锥体请注意：看图时，变换一下角度：如图所示：所以V故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能
10、力，属于基础题型6（4分）设xR，则“0x5”是“|x1|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案【解答】解：|x1|1，0x2，0x5推不出0x2，0x20x5，0x5是0x2的必要不充分条件，即0x5是|x1|1的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题7（4分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则aC若a丄，丄，则aD若m丄，n丄，则mn【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即
11、可判断出正误【解答】解：对于A，若m，n，则mn或相交或为异面直线，因此不正确对于B，若m，n，则或相交，因此不正确对于C，若，则或相交，因此不正确；对于D，若m，n，利用线面垂直的性质定理可知：mn正确故选：D【点评】本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题8（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，Q是平面ABCD内一动点，若D1Q与D1C所成角为，则动点Q的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆【分析】以D为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，Q（x，y，1），求出轨迹方程，得出结论【解答】解
12、：以D为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，Q（x，y，1），则C（0，1，1），由cos，得x22y，故轨迹为抛物线，故选：C【点评】考查动点的轨迹方程，曲线与向量的结合，中档题9（4分）已知P为抛物线x212y上一个动点，Q为圆（x4）2+y21，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是（）A4B3C2D1【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P
13、到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径【解答】解：抛物线x212y的焦点为F（0，3），（x4）2+y21的圆心为Q（4，0），半径为1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，如图：故问题转化为求P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，由于焦点到圆心的距离是5，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值5311故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想10（4分）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段SA上的点（不含端点），设直线
14、BE与CD所成的角为1，直线BE与平面ABCD所成的角为2，二面角SBCD的平面角为3，则（）A13，23B21，23C21，31D12，32【分析】根据题意，作出异面直线BE与CD所成的角1，直线BE与平面ABCD所成的角2，二面角SBCD所成角的平面角3，由1，2，3均为锐角，再判断2与1、3的大小【解答】解：过点E作EM平面ABCD于点M，在平面ABCD内过M作MNAB于点N，作MPBC于点P，在平面SBC内作PQBC与点P，交SB于点Q，连接BM，EN，则ABE是异面直线BE与CD所成的角1，EBM是直线BE与平面ABCD所成的角2，MPQ是二面角SBCD所成角的平面角3；如图所示，显
15、然1，2，3均为锐角；在RtBEN中，sin1；在RtEBM中，sin2；在RtEMN中，EMEN，所以sin1sin2，即12；又sin3，且EBPQ，所以sin2sin3，即23故选：B【点评】本题考查了空间角的作法与大小判断问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）双曲线的离心率为；渐近线方程为yx【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，计算可得c的值，由离心率公式计算可得e，由渐近线方程计算可得双曲线的渐近线，即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a4，b3，则c5，其离心率e，渐近线方程
16、为：yx；故答案为：，yx【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置12（4分）棱长为1的正方体的内切球的半径是，该正方体的外接球的表面积是3【分析】根据内切球与正方体各面相切可知其半径，再根据长方体外接球的性质，即可求出答案【解答】解：正方体内切球与正方体各个面均相切，正方体的棱长即为内切球的直径，内切球半径为，设外接球半径为R，根据长方体外接于直径公式，得，故答案为：；3【点评】本题考查正方体内切球、外接球的性质，属于基础题13（4分）已知圆O1：x2+y24与圆O2：（x2）2+（y+1）21相交于A，B两点，则两圆的圆心O1，O2所在直线方程是x+2y0，两
17、圆公共弦AB的长度是【分析】根据题意，对于第一空：分析两个圆的圆心坐标，求出直线O1O2的斜率，进而分析可得其方程；对于第二空：由两圆的方程分析可得AB所在直线的方程，分析圆O1的圆心、半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：根据题意，圆O1：x2+y24，其圆心为（0，0），圆O2：（x2）2+（y+1）21，其圆心为（2，1）；则，即直线O1O2的方程为yx，即x+2y0；则两圆的圆心O1，O2所在直线方程x+2y0；又由圆O1：x2+y24与圆O2：（x2）2+（y+1）21，则AB所在直线的方程为2xy40，圆O1的圆心为（0，0），半径r2，圆心O1到直线AB的距离d，则
18、|AB|2，故答案为：x+2y0；【点评】本题考查圆与圆相交的性质，涉及两圆公共弦长度的计算，属于基础题14（4分）已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD60o，则3，|【分析】可画出图形，根据条件知ABAD1，AA12，A1ABA1AD60o，BAD90，并得出，然后进行数量积的运算即可；可得出2，进行数量积的运算即可得出，从而得出【解答】解：如图，ABAD1，AA12，A1ABA1AD60o，BAD90，3，10，故答案为：【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法
19、，考查了计算能力，属于基础题15（4分）过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是x21【分析】求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得A，再由圆的性质可得|AF|OF|c2，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），由xa和一条渐近线yx，可得A（a，b），以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则|AF|OF|c2，即有2，c2a2+b24，解得a1，b，即有双曲线的方程为x21，故答案为：x21【点评】本
20、题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用和圆的性质，考查运算能力，属于基础题16（4分）在三棱锥PABC中，ABBCCAAP3，PB4，PC5，则三棱锥PABC的体积是【分析】取PC中点O，连结AO，CO，推导出PBBC，AOPC，OCOPOC，AOOC，从而AO平面PBC，由此能求出三棱锥PABC的体积【解答】解：取PC中点O，连结AO，CO，在三棱锥PABC中，ABBCCAAP3，PB4，PC5，PBBC，AOPC，OCOPOC，AOOC，PCCOO，AO平面PBC，AO，三棱锥PABC的体积是：VPABCVAPBC故答案为：【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面
21、面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（4分）在ABC中，B（10，0），直线BC与圆x2+（y5）225相切，切点为线段BC的中点若ABC的重心恰好为该圆圆心，则点A的坐标是（0，15）或（8，1）【分析】设BC的中点为D，设点A和C的坐标，根据圆心（0，5）到直线AB的距离等于半径5求出AB的斜率k的值再由斜率公式以及DBC，求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得A的坐标【解答】解：设BC的中点为D，设点A（x1，y1 ）、C（x2，y2），则由题意可得DBC，且D（，）故有圆心（0，5）到直线AB的距离Dr5设BC的方程为y0k（x10），即 kxy10k0则有 5，
22、解得 k0或 k当k0时，有，当k时，有 解得，或 再由三角形的重心公式可得 ，由此求得 或 ，故点A的坐标为 （0，15）或（8，1），故答案为 （0，15）或（8，1）【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题三、解答题：5小题，共74分18已知直线l：x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，圆C：（x2）2+y22（1）已知平行于l的直线l1与圆C相切，求直线l1的方程；（2）已知动点P在圆C上，求ABP的面积的取值范围【分析】（1）设直线l的方程为x+y+m0，利用直线与圆相切求出m，代入即可；（2）求出|AB|2，设点
23、P到直线l的距离为h，圆C的半径为r，求出圆心C到直线l的距离d，求出h的取值范围，由求出面积的范围【解答】解：（1）设直线l的方程为x+y+m0，则，解得m0，m4，所以直线l的方程为x+y0或者x+y40；（2）由A（2，0），B（0，2），|AB|2，设点P到直线l的距离为h，圆C的半径为r，又圆心C到直线l的距离d，所以drhd+r，即h3，则2，6，故ABP的面积的取值范围为2，6【点评】考查直线与圆相切，直线与圆的综合，面积的取值范围，中档题19如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是线段AC上的中点（1）证明：A1M平面CB1D1；（2）求异面直线A1M与CD1的所成角的余
24、弦值【分析】（1）连结A1C1，交B1D1于点N，连结CN，推导出四边形A1MCN是平行四边形，从而A1MNC，由此能证明A1M平面CB1D1（2）由A1MNC，得NCD1是异面直线A1M与CD1的所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1M与CD1的所成角的余弦值【解答】解：（1）证明：连结A1C1，交B1D1于点N，连结CN，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1NCM，且A1NCM，四边形A1MCN是平行四边形，A1MNC，A1M平面CB1D1，CN平面CB1D1，A1M平面CB1D1（2）解：由（1）可知A1MNC，NCD1是异面直线A1M与CD1的所成角（或所成角的补角），设
25、正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则CD12，CN，D1N，在RtCND1中，cosNCD1，异面直线A1M与CD1的所成角的余弦值为【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且倾斜角为45的直线l与C交于A，B两点（1）求|AB|的值；（2）求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程【分析】（1）求得抛物线的焦点F的坐标，可得直线l的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值；（2）求得AB的垂直平分线方程，设所求圆的圆心为（
26、a，b），由直线和圆相切的条件：dr，可得a，b的方程组，解方程可得a，b，半径r，可得所求圆的方程【解答】解：（1）抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），过F且倾斜角为45的直线l的方程为yx1，联立抛物线方程y24x，可得x26x+10，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x26，x1x21，则|AB|8；（或|AB|x1+x2+26+28）（2）由（1）可得AB的中点坐标为（3，2），AB的垂直平分线为y2（x3），即y5x，设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，则a+b5，（a+1）216+，解得a3，b2，r4，或a11，b6r12，则所求圆的方程为（x3）2+（y2）
27、216或（x11）2+（y+6）2144【点评】本题考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查圆的方程和直线和圆相切的条件：dr，考查化简运算能力，属于中档题21如图，三棱台ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC和A1B1C1均为等边三角形，AB2AA12CC12A1B1，O为AC的中点（1）证明：OBAA1；（2）求直线OB1与平面BCC1B1所成角的正弦值【分析】（1）推导出OBAC，从而OB平面A1ACC1，由此能证明OBAA1（2）把三棱台还原为锥，设顶点为P，则PO平面ABC，作ODBC于D，由三垂线定理得PDBC，连结PD，BC平面POD，平面PBC平
28、面POD，作OHPD于H，则OH平面POD，连结B1H，OB1H是直线OB1与平面BCC1B1所成角，由此能求出直线OB1与平面BCC1B1所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：ABC为等边三角形，且O为AC的中点，OBAC，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，OB平面A1ACC1，AA1平面A1ACC1，OBAA1（2）解：把三棱台还原为锥，设顶点为P，则PO平面ABC，作ODBC于D，由三垂线定理得PDBC，连结PD，BC平面POD，平面PBC平面POD，作OHPD于H，则OH平面POD，连结B1H，OB1H是直线OB1与平面BCC1B1所成角，设AB2AA12CC
29、12A1B14，在RtPOB中，在RtPOD中，在RtPOD中，sin直线OB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22如图，已知椭圆C1：经过点P（2，0），且离心率，圆C2以椭圆C1的短轴为直径过点P作互相垂直的直线l1，l2，且直线l1交椭圆C1于另一点D，直线l2交圆C2于A，B两点（1）求椭圆C1和圆C2的标准方程；（2）求ABD面积的最大值【分析】（1）由题意知a，与离心率的值及a，b，c之间的关系求出椭圆与圆的标准方程；（2）设椭圆过P的直线l1，l
30、2，先求l2与圆的相交弦长|AB|，由判别式大于0求出参数的取值范围，再由l1与椭圆联立求出D的坐标，再求PD的值进而求出面积的表达式，由参数的范围求出面积的最大值【解答】解：（1）由题意知a2，b2a2c2，解得a24，b22，所以椭圆C1的标准方程：1，圆C2的方程为：x2+y22；（2）因为过点P作互相垂直的直线l1，l2，设l1的直线方程：xmy+2，l2的方程为：ym（x2），所以圆心O到直线的距离d，|AB|222，直线l2与圆有两个交点，d，所以0m21，由于整理得：（2+m2）y2+4my0，可得yD，|PD|yD|，所以SABD4，令t2+m2，m21，则t（2，3），SABD44，当t，即m时SABD有最大值【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题
