1、2018-2019学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）过A（1，2），B（3，2）两点的直线的倾斜角为（）A135B120C60D452（3分）设两直线l1：（3+m）x+4y53m与l2：2x+（5+m）y8，则“l1l2”是“m1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（3分）已知直线l，m是两条不重合的直线，平面，是二个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A若，l，则lB若，l，则lC，l，m，ml，则mD若m，m，n，n，则4（3
2、分）如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中（底面是正三角形，侧棱与底面垂直）A1A1，AB，则直线A1B与CB1所成角的大小为（）A90oB60oC45oD30o5（3分）若直线l1：3x+4y+a0与l2：3x+4y+b0（ab）都与圆x2+y2+2x+4y+10相切，则|ab|（）A4B5C20D256（3分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）ABCD7（3分）过点M（0，1）且斜率为1的直线l与双曲线C：1（a0，b0）的两渐近线交于点A，B，且2，则渐近线方程为（）AyxBy3xCyxDy2x8（3分）已知点A（4，0），B（0，4），M（1，0），O为坐标原
3、点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则MPQ的周长的最小值为（）A4B5C6D9（3分）如图所示，A，B，C是双曲线1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD310（3分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为边长为2的正三角形，B1在底面的射影为AC中点且B1到底面的距离为，已知E，F分别是线段AB1与CA1上的动点，记线段EF中点M的轨迹为L，则|L|等于（）（注：|L|表示L的测度，本题中L若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）A1BCD二、填空题（本大题共7小题，11-14
4、题，每空2分，15-17题，每空3分，共21分）11（2分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为 12（4分）已知焦点F1，F2在x轴上的椭圆+1的离心率为，则实数m等于 过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则ABF2的周长为 13（2分）已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，表示，则 14（4分）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图均为腰长为1（单位：cm）的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm315（2分）正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+1（ab0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的
5、取值范围是 16（2分）已知矩形ABCD中，AB2，AD5，E，F分别在AD，BC上，且AE1，BF3，沿EF将四边形AEFB折成四边形AEFB，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，则二面角ADEF的大小为 17（2分）已知点A（3，0）和圆O：x2+y29，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P（异于A，B）是圆O上的动点，PDAB于D，直线PA与BE交于C，则当 时，|CM|+|CN|为定值三、解答题（本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18（9分）已知过点A（1，0）的斜率为k的直线l与圆C：x2+（y3）24相交于P、Q两点，l与直线m：x+
6、3y+60相交于点N（1）求证：当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C（2）当PQ2时，求直线l的方程：（3）求圆C上点到点A的距离的范围19（10分）已知ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDAD2（1）求PC与平面PBD所成的角；（2）求点D到平面PAC的距离；（3）在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE？若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由20（10分）如图，方程为x22py的抛物线C，其上一点Q（a，2）到焦点F的距离为3，直线AB与C交于A、B两点（点A在y轴左侧，点B在y轴右侧），与y轴交于D点（1）求抛物线C的方程；（2）若4，求证直线AB过定点，并求出定点坐标；（3
7、）若D（0，5），OABF，求直线OA的斜率t的值21（10分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABC90，ADP是等边三角形，ABAP2，BP3，ADBP（）求BC的长度；（）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值22（10分）如图，椭圆C1：+1（ab0）和圆C2：x2+y2b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M（1）求椭圆C1的方程；（2）直线PM与AB的斜率之比是否为常数？请说明理由（3）求EPM面积最大时直线l的方程2018
8、-2019学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）过A（1，2），B（3，2）两点的直线的倾斜角为（）A135B120C60D45【分析】设过A（1，2），B（3，2）两点的直线的倾斜角为，0，180）利用斜率计算公式可得tan1即可得出【解答】解：设过A（1，2），B（3，2）两点的直线的倾斜角为，0，180）tan1可得135故选：A【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（3分）设两直线l1：（3+m）x+4y5
9、3m与l2：2x+（5+m）y8，则“l1l2”是“m1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用两直线方程的一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出实数m的值，再根据必要条件判断即可【解答】解：l1l2，（3+m）（5+m）42，解得m1或m7，当m1时，l1l2重合，故m7，m7是m1的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了两条平行的充要条件、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题3（3分）已知直线l，m是两条不重合的直线，平面，是二个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A若，l，则lB若，l，则lC，l，m，ml，则mD若m，m，
10、n，n，则【分析】A利用面面平行的性质判断B利用面面平行的性质定理判断C利用面面垂直的性质判断D利用面面平行的判定定理判断【解答】解：A根据两个平面平行可知，两个平面没有交点，l，则l，A正确B根据面面平面的性质定理可知，若，l，则l成立，B正确C根据线面垂直的性质可知，命题成立C正确D如果直线m，n平行则，可能相交或平行，D错误故选：D【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，属于基础题4（3分）如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中（底面是正三角形，侧棱与底面垂直）A1A1，AB，则直线A1B与CB1所成角的大小为（）A90oB60oC45oD30o【分析】以C为原点，在
11、平面ABC内过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B与CB1所成角的大小【解答】解：在正三棱柱A1B1C1ABC中（底面是正三角形，侧棱与底面垂直）A1A1，AB，以C为原点，在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（，1），B（0，0），C（0，0，0），B1（0，1），（，1），（0，1），设直线A1B与CB1所成角的大小为，则cos0，90，直线A1B与CB1所成角的大小为90故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查
12、运算求解能力，是基础题5（3分）若直线l1：3x+4y+a0与l2：3x+4y+b0（ab）都与圆x2+y2+2x+4y+10相切，则|ab|（）A4B5C20D25【分析】求出圆心，半径，则根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，得到a，b的方程组，即可得到所求【解答】解：依题意，x2+y2+2x+4y+10的圆心为（1，2），半径为r2，因为直线l1：3x+4y+a0与l2：3x+4y+b0（ab）都与圆x2+y2+2x+4y+10相切，解得或者，|ab|20，故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的一般方程，考查了点到直线的距离，考查空间想象能力和计算能力，属
13、于基础题6（3分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）ABCD【分析】求出半径为4 的半圆所围成的圆锥底面圆的半径r和圆锥内切球的半径x，再求内切球的表面积【解答】解：半径为4 的半圆围成一个圆锥，如图所示；则该圆锥底面圆的半径r满足2r4，解得r2；设圆锥内切球的半径为x，则tan30，解得xrtan302，内切球的表面积为S4故选：B【点评】本题考查了圆锥与其内切球的应用问题，是中档题7（3分）过点M（0，1）且斜率为1的直线l与双曲线C：1（a0，b0）的两渐近线交于点A，B，且2，则渐近线方程为（）AyxBy3xCyxDy2x【分析】运用斜截式方程可得直线l的
14、方程，设A（x1，y1）B（x2，y2），由2，可得点A、B的横坐标之间的关系； 再联立直线l的方程与双曲线渐近线方程，解方程可得x1，x2，化简整理可得b3a，可得所求渐近线方程【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），由M（0，1），2，得x22x1，由题得直线l的方程为yx+1，双曲线C：1（a0，b0）的渐近线方程为yx，联立直线l的方程和渐近线方程，解得x1，x2，即有，化为b3a，可得双曲线的渐近线方程为y3x故选：B【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和基本量之间的关系，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题8（3分）已知点A（4
15、，0），B（0，4），M（1，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则MPQ的周长的最小值为（）A4B5C6D【分析】分别作点M关于AB和OB的对称点M1，M2，则周长的最小值就是M1与M2两点间的距离【解答】解：过M（1，0）作直线AB的垂线，并延长到M1，连接PM1，；过M作直线OB的垂线，并延长到M2，连接QM2，则PMPM1，QMQM2，所以MPQ的周长为：PQ+PM+QMPQ+PM1+QM2M1 M2，当且仅当M1、P、Q、M2四点共线时等号成立，依题意可求得M1（4，3），M2（1，0）所以M1M2故选：D【点评】本题考查了点关于直线对称的问题属基础题9（3分）如图
16、所示，A，B，C是双曲线1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD3【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BFAC且|BF|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|2|OA|2|OF|2c，设A（m，n），则m2+n2c2，又1，解得m，n，即有A（，），B（，），又F（c，0），由于BFAC且|BF|CF|，可设
17、C（x，y），即有1，又（c+）2+（）2（xc）2+y2，可得x，y，将C（，）代入双曲线方程，可得1，化简可得（b2a2）a3，由b2c2a2，e，可得（2e21）（e22）21，对照选项，代入检验可得e成立另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|CF|AE|m，|AF|n，由双曲线的定义有，|CE|CF|AE|AF|2a，在直角三角形EAC中，m2+（m+n）2（m+2a）2，代入2amn，化简可得m3n，又mn2a得na，m3a，在直角三角形EAF中，m2+n2（2c）2，即为9a2+a24c2，可得e故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心
18、率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题10（3分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为边长为2的正三角形，B1在底面的射影为AC中点且B1到底面的距离为，已知E，F分别是线段AB1与CA1上的动点，记线段EF中点M的轨迹为L，则|L|等于（）（注：|L|表示L的测度，本题中L若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）A1BCD【分析】取特殊点得到M的轨迹为平行四边形区域，建立空间直角坐标系，再由三角形面积求解【解答】解：当E位于B1，A，而F在A1C上移动时，M的轨迹为平行于A1C的两条线段，当F位于A1，C，而E在AB1
19、上移动时，M的轨迹为平行与AB1的两条线段其它情况下，M的轨迹构成图中平行四边形内部区域以O为坐标原点，分别以OC，OB1所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（0，0，），C（1，0，0），A1 （1，），则，则异面直线AB1与CA1所成角的正弦值为sin|L|2故选：D【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键，是中档题二、填空题（本大题共7小题，11-14题，每空2分，15-17题，每空3分，共21分）11（2分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为（1，2，3）【分析】根据
20、空间直角坐标系中点A（x，y，z）关于x轴的对称点坐标为A（x，y，z），写出即可【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，2，3）关于x轴的对称点坐标为A（1，2，3）故答案为：（1，2，3）【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点坐标问题，是基础题12（4分）已知焦点F1，F2在x轴上的椭圆+1的离心率为，则实数m等于3过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则ABF2的周长为8【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，进而由椭圆的离心率公式，解可得m的值，即可得第一问答案利用椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a；把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解
21、决第二问【解答】解：根据题意，焦点F1，F2在x轴上的椭圆+1的离心率为，则有e，解可得m3；根据椭圆的定义：|AF1|+|AF2|2a4；|BF1|+|BF2|2a4；ABF1的周长为：|AB|+|AF1|+|BF1|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|4a8故答案为：3；8【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆的定义，解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题，利用椭圆的定义解决，是基础题13（2分）已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，表示，则【分析】作出图象，由向量的运算法则易得答案，其中是解决问题的关键【解答】解：如图结合向量的运算
22、法则可得：故答案为：【点评】本题考查向量的加减混合运算及几何意义，属基础题14（4分）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图均为腰长为1（单位：cm）的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3【分析】由正视图、侧视图、俯视图均为均为腰长为1（单位：cm）的等腰直角三角形，我们可以把它看成是棱长为1正方体的一部分【解答】解：由正视图、侧视图、俯视图均为均为腰长为1（单位：cm）的等腰直角三角形，是正方体的一部分，如图：四棱锥的表面积为：（cm2），体积为：（cm3）故答案为：；【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，与体积，判断几何体的形状是解题的关键15（2分）正方
23、形ABCD的四个顶点都在椭圆+1（ab0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是【分析】设正方形的边长为2m，显然mc，由题意，进而得到答案【解答】解：设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+1（ab0）上，e43e2+10，故答案为：【点评】本题考查椭圆离心率的取值范围及椭圆方程，考查运算求解能力，属于基础题16（2分）已知矩形ABCD中，AB2，AD5，E，F分别在AD，BC上，且AE1，BF3，沿EF将四边形AEFB折成四边形AEFB，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，则二面角ADEF的大小为135【分析】建
24、立空间直角坐标系，利用B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，求出点B的坐标，分别求出平面ADE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角【解答】解：如图，过E作ERDC，过E作ES平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B（0，y，z），H（0，y，0）根据题意，F（2，2，0），又BEBE，BFBF3，在Rt三角形BEH和Rt三角形BHF中，由勾股定理得y2+z25，4+（y2）2+z29，联立解方程组得：y1，z2，故B（0，1，2），由，平面CDEF的法向量为，设平面ADE的法向量为，由，得，则，
25、根据题意，二面角ADEF为钝角135，故答案为：135【点评】考查了用向量法求二面角，建立空间直角坐标系利用求出两个平面的法向量是求二面角的关键，中档题17（2分）已知点A（3，0）和圆O：x2+y29，AB是圆O的直径，M和N是AB的三等分点，P（异于A，B）是圆O上的动点，PDAB于D，直线PA与BE交于C，则当时，|CM|+|CN|为定值【分析】设点P（x0，y0），则点E（x0，），用点斜式求出PA、BE的方程，联立方程组求得点C满足的关系式，为 +1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a6再根据a2b2c2 可得的值【解答】解：由题意可
26、得B（3，0），M（1，0）、N（1，0），设点P（x0，y0），则点E（x0，）故PA的方程为 y（x+3），BE的方程为 y（x3）由联立方程组可得 y2 （x29）把9 代入化简可得 +1，故点C在以AB为长轴的椭圆上，当M、N为此椭圆的焦点时，|CM|+|CN|为定值2a6此时，a3，c1，b，由 a2b2c2 可得 91，求得，故答案为 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，椭圆的定义和简单性质的应用，求两条直线的交点坐标，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18（9分）已知过点A（1，0）的斜率为k的直线l与圆C：x2+（y3）
27、24相交于P、Q两点，l与直线m：x+3y+60相交于点N（1）求证：当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C（2）当PQ2时，求直线l的方程：（3）求圆C上点到点A的距离的范围【分析】（1）由已知求出直线的斜率k，得到直线方程，把圆心坐标代入成立，即可证明直线l必过圆心C；（2）设直线l的方程为yk（x+1），即kxy+k0由已知弦长结合点到直线的距离公式及垂径定理列式求解；（3）画出图形，求出A与圆心C的距离，数形结合可得圆C上点到点A的距离的范围【解答】（1）证明：l与m垂直，且，k3则直线l的方程为y3（x+1），代入圆心坐标（0，3）方程成立，当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；（2）
28、解：设直线l的方程为yk（x+1），即kxy+k0PQ2，圆心到直线的距离d，解得k直线l的方程为：4x3y+40；（3）解：如图，圆C上点到点A的距离的最小值为，最大值为圆C上点到点A的距离的范围为，【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题19（10分）已知ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDAD2（1）求PC与平面PBD所成的角；（2）求点D到平面PAC的距离；（3）在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE？若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由【分析】（1）推导出OCBD，PDOC，从而OC平面PBD，CPO是PC与平面PBD所成角，以D为
29、原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与平面PBD所成的角（2）过D作DF平面PAC于点F，求出平面PAC的法向量，利用向量法能求出点D到平面PAC的距离（3）假设在PB上存在E点，使PC平面ADE，利用向量法能求出存在E点，且E为PB的中点时，PC平面ADE【解答】解：（1）ABCD是正方形，ACBDO，OCBD，PD平面ABCD，OC平面ABCD，PDOC，DBPDD，OC平面PBD，CPO是PC与平面PBD所成角，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0），（0，2
30、，2），（1，1，2），cos，PC与平面PBD所成的角为30（2）过D作DF平面PAC于点F，设平面PAC的法向量（x，y，z），则，令x1，得（1，1，1），A（2，0，0），D（0，0，0），（2，0，0），点D到平面PAC的距离d（3）假设在PB上存在E点，使PC平面ADE，则，（2，2，2），（2，2，2），E（2，2，22），（22，2，22），要证PC平面ADE，即证PCAE，即证840，即证，E（1，1，1），存在E点，且E为PB的中点时，PC平面ADE【点评】本题考查线面角、点到平面的距离的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
31、等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（10分）如图，方程为x22py的抛物线C，其上一点Q（a，2）到焦点F的距离为3，直线AB与C交于A、B两点（点A在y轴左侧，点B在y轴右侧），与y轴交于D点（1）求抛物线C的方程；（2）若4，求证直线AB过定点，并求出定点坐标；（3）若D（0，5），OABF，求直线OA的斜率t的值【分析】（1）到焦点的距离转化为准线的距离得p的值，即写出抛物线的方程；（2）设直线AB的方程，联立抛物线的横坐标之积及纵坐标之积，再由数量积得纵坐标，即恒过定点；（3）设直线OA的方程，代入抛物线方程求出A的坐标，再得B的坐标，由OABF，得数量积为零，求出OA的斜率【
32、解答】解：（1）由题意得抛物线的准线方程：y，到焦点的距离转化为准线的方程得：2+3，p2，所以抛物线方程：x24y；（2）证明：由题意得直线AB的斜率不为零，设直线AB 的方程：ykx+b，代入抛物线：x24kx4b0，A（x，y），B（x，y），x+x4k，xx4b，yyk2xx+kb（x+x）+b24bk2+4bk2+b2b2，4，xx+yy4，即：b24b+40，解得b2，直线方程：ykx+2，所以直线AB过定点，且定点为：（0，2）；（3）设直线OA的方程：ytx代入抛物线整理得：x24tx0，得A（4t，4t2），kAD，直线AB方程：yx+5，代入抛物线整理：x2x200，B（，
33、），（4t，4t2），（，1），由OABF得，20+4k2250t，因为A在y轴左边，所以t，即直线OA的斜率t的值：【点评】考查直线与抛物线的关系，属于中档题21（10分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABC90，ADP是等边三角形，ABAP2，BP3，ADBP（）求BC的长度；（）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值【分析】（I）取AD中点F，连PF、BF，推导出PFAD，ADBP，从而AD平面PFB，进而ADBF，由此能求出BC（II）推导出平面PFB平面APD，作BGPF交PF为G，则BG平面APD，AD、BC交于H，BHG为直线BC与平面ADP所成的角，由此能求出直线BC与
34、平面ADP所成的角的正弦值【解答】解：（I）取AD中点F，连PF、BF，ADP是等边三角形，PFAD，（2分）又ADBP，AD平面PFB，BF平面PFB，ADBF，（4分）BDAB2，BC （6分）（II）AD平面PFB，AD平面APD平面PFB平面APD （8分）作BGPF交PF为G，则BG平面APD，AD、BC交于H，BHG为直线BC与平面ADP所成的角，（10分）由题意得PFBF，又BP3，GFB30，BG，（12分）ABCBCD90，CD1，BH2，sinBHG直线BC与平面ADP所成的角的正弦值为（15分）【点评】本题考查线估长的求法，考查考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线
35、面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（10分）如图，椭圆C1：+1（ab0）和圆C2：x2+y2b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M（1）求椭圆C1的方程；（2）直线PM与AB的斜率之比是否为常数？请说明理由（3）求EPM面积最大时直线l的方程【分析】（1）由题意知a，b的值，即椭圆方程求出；（2）不妨设直线PE的方程联立椭圆得出P的坐标，同理可得M的坐标，进而求出PM的斜率，联立椭圆的A 的
36、坐标，进而求出AB的斜率，两个斜率相比可得是常数；（3）写出面积的表达式，用均值不等式可求出最大值是自变量的取值，进而求出直线l的方程；【解答】解：（1）由题意：b1则2a32b，a3，所以椭圆方程为：（2）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PEEM不妨设直线PE的斜率为k，E（0，1），设PE：ykx1，由：，得，或，所以：P（，），同理得：M（，），kPM，由 得，A（，），所以kABkOA，所以kPMkAB，所以两个斜率之比为常数；（3）SEPM|PE|EM|令tk，则SEPM，当且仅当tk+时取等号，解得k所以k，则直线AB：yx（k）x，所以直线l的方程为：yx【点评】考查直线与椭圆相交的综合应用，属于中难题
