1、2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）椭圆的焦点坐标为（）A（1，0），（1，0）BC（0，1），（0，1）D2（4分）圆O：（x1）2+y21和直线l：xy+10的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定3（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线D1B与平面BB1C1C所成角的余弦值为（）ABCD4（4分）某几何体的三视图如图，则它的体积是（）A6B4+C2+2D2+5（4分）对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得（）Aa，bBa，
2、bCa，bDa，b6（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）ABCD7（4分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE与B1C1为异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E8（4分）如图，60的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为（）ABC2D9（4分）如图，已知椭圆，斜率为1的直线与椭圆C相交于A，B
3、两点，平行四边形OAMB（O为坐标原点）的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为（）ABCD10（4分）斜线段PA与平面M成角，斜足为A，动直线PB与直线PA成（）角，交平面M于点B，动点B的轨迹图形为（）A一条直线B一个圆C一个半圆D一个椭圆二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）圆x2+y24x4y80的圆心坐标为 ，半径为 12（6分）已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，则椭圆的离心率为 ，过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，则|F1A| 13（4分）已知圆（x+2）2+y25外点P（0，3）
4、，过P点作直线l与圆相切交于点Q，则切线长|PQ| 14（6分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 15（4分）已知F1，F2为椭圆上的左、右焦点，点B为上顶点，延长BF2交椭圆于M点，且F1BM是腰长为3的等腰三角形，则a 16（6分）已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC中点，则直线PE与平面BCD所成角的
5、正弦值为 ，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为 17（4分）如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，则二面角DAFB的平面角余弦值的取值范围是 三、解答题：本大题共5题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E，F分别是棱BC，CC1，B1C1的中点求证：（1）直线A1F平面ADE；（2）平面ADE平面BCC1B119（15分）已知关于x，y的
6、方程x2+y24x+4y+m0表示一个圆（1）求实数m的取值范围；（2）若m4，过点P（0，2）的直线l与圆相切，求出直线l的方程20（15分）已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过点M（0，2）且与椭圆C相交于A，B两点，且OAB（O为坐标原点）的面积为，求出直线l的方程21（15分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，且ADBC，ADCD，ABC60，BC2AD2，PC3，PAB是正三角形（1）求证：ABPC；（2）求二面角PCDB的平面角的正切值22（15分）已知椭圆（1）若过点的直线l与椭圆C恒有公共点，求实
7、数a的取值范围；（2）若存在以点B（0，2）为圆心的圆与椭圆C有四个公共点，求实数a的取值范围2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）椭圆的焦点坐标为（）A（1，0），（1，0）BC（0，1），（0，1）D【分析】直接利用椭圆的方程，求解椭圆的焦点坐标即可【解答】解：椭圆，可得a2，b，所以c1，椭圆的焦点坐标为：（1，0），（1，0）故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查2（4分）圆O：（x1）2+y21和直线l：
8、xy+10的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定【分析】计算圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论【解答】解：圆O：（x1）2+y21，圆心坐标为（1，0），半径为1圆心到直线xy+10的距离为：1，直线与圆相离故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是计算圆心到直线的距离与半径比较，属于基础题3（4分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线D1B与平面BB1C1C所成角的余弦值为（）ABCD【分析】连结BC1，由D1C1平面BCC1B1，得D1BC1是直线BD1与平面BB1C1C所成角，由此能求出直线D1B与平面BB1C1C所成角的余弦值【解答】解：连结BC1，D
9、1C1平面BCC1B1，D1BC1是直线BD1与平面BB1C1C所成角，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为a，则BD1，cosD1BC1故直线D1B与平面BB1C1C所成角的余弦值为故选：D【点评】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题4（4分）某几何体的三视图如图，则它的体积是（）A6B4+C2+2D2+【分析】根据三视图知该几何体是左边为长方体，右边为半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积即可【解答】解：根据三视图知，该几何体是左边为长方体，右边为半圆柱体的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积
10、是VV长方体+V半圆柱体112+1222+故选：D【点评】本题考查了根据三视图还原几何体以及几何体体积的计算问题，是基础题5（4分）对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得（）Aa，bBa，bCa，bDa，b【分析】对两条不相交的空间直线a与b，有ab 或a与b是异面直线，从而得出结论【解答】解：两条不相交的空间直线a和b，有ab 或 a与b是异面直线，一定存在平面，使得：a，b故选：B【点评】本题主要考查立体几何中线面关系问题，属于基础题6（4分）正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）ABCD【分析】取BD中点O，连结EO、F
11、O，则OFCD，OEAB，且OFOE，从而EFO是异面直线EF与CD所成的角，由此能求出异面直线EF与CD所成的角【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OFCD，OEAB，且OFOE，EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AGCD，BGCD，BGAGG，CD平面ABG，AB平面ABG，CDAB，OFOE，EFO异面直线EF与CD所成的角为故选：B【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（4分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面
12、A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE与B1C1为异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1
13、C1与交线有公共点，故A1C1平面AB1E不正确；故选：C【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强8（4分）如图，60的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为（）ABC2D【分析】由已知可得，利用数量积的性质即可得出【解答】解：CAAB，BDAB，62+42+82+0+268cos120+068故选：A【点评】熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键9（4分）如图，已
14、知椭圆，斜率为1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB（O为坐标原点）的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】考察直线和椭圆相交，平行四边形对角线互相平分，得AB中点也是OM中点，进而得到kOM斜率，结合椭圆中a，b，c关系，得到离心率【解答】解：设lAB方程yx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由 得：（a2+b2）x22ma2x+a2m2a2b20，则x0x1+x2，y0，得kOM，所以离心率e，故选：B【点评】直线和椭圆相交，椭圆中a，b，c关系，得到离心率属于常考题型10（4分）斜线段PA与平面M成角，斜足为A，动直
15、线PB与直线PA成（）角，交平面M于点B，动点B的轨迹图形为（）A一条直线B一个圆C一个半圆D一个椭圆【分析】判断动直线PB与定直线PA的关系，画出图形判断即可【解答】解：由题意，PA看作定直线，PB与PA所成角是定值，看作PB绕PA旋转一周，得到圆锥型图形，因为PA看作是定直线，则平面M也是定平面，如图，动点B的轨迹图形为椭圆故选：D【点评】本题考查动点的轨迹的判断，准确理解直线与平面所成角以及直线与直线的夹角，空间几何体的形状，是解题的关键，是难题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）圆x2+y24x4y80的圆心坐标为（2，2），半径为4【分析】
16、把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径【解答】解：圆x2+y24x4y80，即 （x2）2+（y2）216，故它的圆心坐标为（2，2），半径为4，故答案为：（2，2）；4【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题12（6分）已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，则椭圆的离心率为，过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，则|F1A|【分析】利用椭圆的标准方程求出a，b得到c，然后求解离心率；求出椭圆的通径，利用椭圆的定义转化求解|F1A|即可【解答】解：椭圆，可得a2，b，则c1，所以椭圆的离心率为：e过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，所以|AF2|，由椭圆的定义可知：|F1A
17、|2a|AF2|4故答案为：；【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义，考查转化思想以及计算能力，是中档题13（4分）已知圆（x+2）2+y25外点P（0，3），过P点作直线l与圆相切交于点Q，则切线长|PQ|2【分析】利用圆心C到点P的距离和半径r与切线长组成直角三角形，利用勾股定理求|PQ|的值【解答】解：圆（x+2）2+y25的圆心为C（2，0），半径为r；且|PC|2（20）2+（03）213，所以切线长|PQ|2故答案为：2【点评】本题考查了直线与圆相切的应用问题，是基础题14（6分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径
18、恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果【解答】解：由题意，圆柱底面半径r球的半径R，圆柱的高h2R，则V球R3，V柱r2hR22R2R3S球4R2，S柱2r2+2rh2R2+2R2R6R2故答案为：；【点评】本题主要考查圆柱与内切球的关系及推理运算能力本题属基础题15（4分）已知F1，F2为椭圆上的左、右焦点，点B为上顶点，延长BF2交椭圆于M点，且F1BM是腰长为3的等腰三角形，则a2【分析】利
19、用焦点三角形的性质，代入即可【解答】解：根据椭圆的定义，F1BM的周长为4a，所以4a6+6+a，所以3a6，a2，故答案为：2【点评】本题重点是知道三角形F1BM的周长为4a，基础题16（6分）已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为【分析】连结BE，AE，过A作AO底面BCD，垂足为O，连结OD，则ADO是直线PE与平面BCD所成角，由此能求出直线PE与平面BCD所成角的正弦值；当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，由此能求出结
20、果【解答】解：连结BE，AE，过A作AO底面BCD，垂足为O，连结OD，则ADO是直线PE与平面BCD所成角，设三棱锥ABCD的所有棱长均相等，设棱长为2，则DOBOBE，AO，sinADO直线PE与平面BCD所成角的正弦值为当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，此时直线QE与平面BCD所成角为AEO，AE，直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为：sinAEO故答案为：，【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（4分）如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC（端点
21、除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，则二面角DAFB的平面角余弦值的取值范围是【分析】作出二面角的平面角，设DFx，求出平面角的余弦值，求出范围【解答】解：作DKAB，则DK平面ABCF，作DOAF，则OKAF，则DOK为所求二面角的平面角，cosDOK，设DFx，AF，AD2AOAF，则AO，OD，由平面图形ABCD知，DAF90FAB，故tanFABcotDAF，所以OKOA，所以cosDOK，x（1，2），故cosDOK（，1）故答案为：（，1）【点评】考查二面角的平面角的作法和有关的计算，中档题三、解答题：本大题共5题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演
22、算步骤18（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E，F分别是棱BC，CC1，B1C1的中点求证：（1）直线A1F平面ADE；（2）平面ADE平面BCC1B1【分析】（1）连结DF，证明四边形ADFA1为平行四边形，推出A1FAD，然后证明A1F平面ADE（2）证明BB1AD，结合BCAD，证明AD平面BCC1B1，然后证明平面ADE平面BCC1B1【解答】证明：（1）连结DF，D，F为中点，四边形ADFA1为平行四边形，A1FAD，AD平面ADE，A1F平面ADE，A1F平面ADE（2）BB1平面ABC，BB1AD，BCAD（三线合一），AD平面BCC1B1，AD平面A
23、DE，平面ADE平面BCC1B1【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，是中档题19（15分）已知关于x，y的方程x2+y24x+4y+m0表示一个圆（1）求实数m的取值范围；（2）若m4，过点P（0，2）的直线l与圆相切，求出直线l的方程【分析】（1）圆的一般方程化为标准方程，令r20求得m的取值范围；（2）求出m4时圆的圆心和半径，讨论直线l的斜率k存在和不存在时，利用圆心到直线的距离dr求出直线l的方程【解答】解：（1）方程x2+y24x+4y+m0可化为（x2）2+（y+2）28m，令8m0，解得m8；所以方程表
24、示圆时m的取值范围是m8（2）m4时，圆的方程为（x2）2+（y+2）24，则圆心为C（2，2），半径为r2，当直线l的斜率k存在时，设l的方程为：ykx+2，化为kxy+20，则圆心C到直线l的距离为d2，解得k，所以直线l的方程为yx+2；当直线l的斜率k不存在时，直线x0也为圆C的切线；综上，直线l的方程为和x0【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了分类讨论思想和运算求解能力，是基础题20（15分）已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为，且点在椭圆上（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过点M（0，2）且与椭圆C相交于A，B两点，且OAB（O为坐标原点）的面积为，求出直
25、线l的方程【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b得到椭圆方程（2）设直线l：ykx2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及弦长公式转化求解三角形的面积求出直线的斜率，即可得到直线方程【解答】解：（1）椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为，且点在椭圆上，可得，椭圆的标准方程为（2）设直线l：ykx2，A（x1，y1），B（x2，y2），（4k2+3）x216kx+40，解得，直线l的方程为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查设而不求思想方法的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题21（15分）如图，在四棱
26、锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，且ADBC，ADCD，ABC60，BC2AD2，PC3，PAB是正三角形（1）求证：ABPC；（2）求二面角PCDB的平面角的正切值【分析】（1）取AB中点E，连结PE，CE，证明CEAB，PEAB，推出AB平面PCE，即可说明ABPC（2）过P点作POCE，PHCD，连结OH，说明PHO为二面角PCDB的平面角，通过求解三角形求解即可【解答】（1）证明：取AB中点E，连结PE，CE，易证ABC为正三角形，E为AB中点，CEAB，ABP为正三角形，E为AB中点，PEAB，AB平面PCE，ABPC（2）解：过P点作POCE，PHCD，连结OH，AB平面P
27、CE，平面ABCD平面PCE，POCE，PO平面ABCD，PHCD，OHCD，PHO为二面角PCDB的平面角，四边形ABCD是直角梯形，且ADBC，ADCD，ABC60，BC2AD2，PC3，PAB是正三角形AB2，PAPB2，PECE，PCE30，所以PO，OC，ECD60，OH，三角形POH是直角三角形，POH90，二面角PCDB的平面角的正切值：【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题22（15分）已知椭圆（1）若过点的直线l与椭圆C恒有公共点，求实数a的取值范围；（2）若存在以点B（0，2）为圆心的圆与椭圆
28、C有四个公共点，求实数a的取值范围【分析】（1）点要在椭圆上或者椭圆内，满足题意，推出结果即可（2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B点的距离相等，列出方程，构造函数，利用二次函数的对称轴在区间内列出不等式求解即可法二设圆B：x2+（y2）2r2，联立圆的方程与椭圆方程，整理得：（1a2）y24y+a2+4r20，转化为存在r，使得方程（1a2）y24y+a2+4r20在（1，1）上有两解，利用二次函数的性质求解即可【解答】解：（1）要使得直线l与椭圆C恒有公共点，则点要在椭圆上或者椭圆内，（2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B点的距离相等，设动点Q（x0，y0）在椭圆上，令，使得f（y0）在y0（1，1）上不单调，法二：设圆B：x2+（y2）2r2，整理得：（1a2）y24y+a2+4r20，所以存在r，使得方程（1a2）y24y+a2+4r20在（1，1）上有两解，令函数f（y）（1a2）y24y+a2+4r2，对称轴，只需即可，【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题
