1、一、选择题：（共10小题，每小题4分）1（4分）若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D1202（4分）如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A平行B相交C平行或相交D垂直相交3（4分）如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）AB2C3D44（4分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，n，且m，n，则D若m，n，且，则mn5（4分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD
2、的位置关系为（）A相交B平行C异面而且垂直D异面但不垂直6（4分）已知圆O1：x2+y21与圆O2：（x3）2+（x+4）216，则圆O1与圆O2的位置关系为（）A外切B内切C相交D相离7（4分）若实数x，y满足x2+y22x2y+10，则的取值范围为（）A0，B，+）C（D，0）8（4分）已知点P是直线l：3x+4y70上的动点，过点P引圆C：（x+1）2+y2x2（r0）的两条切线PM，PN，M，N为切点，当MPN的最大值为时，则r的值为（）A4B3C2D19（4分）对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|+|y2y1|
3、给出下列三个命题：若点C在线段AB上则AC+BCAB；在ABC中，若C90，则AC2+BC2AB2；在ABC中，AC+BCAB其中的真命题为（）ABCD10（4分）如图，在菱形ABCD中，BAD60，线段AD，BD的中点分别为E，F现将ABD沿对角线BD翻折，使二面角ABDC的在大小为120，则异面直线图BE与CF所成角的余弦值为（）ABCD二、填空题：（共7小题，每小题5分）11（5分）在直观图（如图）中，四边形为OABC菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO周长为 cm，面积为 cm212（5分）如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度
4、为 ，体积为 13（5分）直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24k+m0的两根，若l1l2，则m ；若l1l2，则m 14（5分）如果平面直角坐标系内的两点A（a1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为 15（6分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为 ，CE和该截面所成角的正弦值为 16（5分）已知实数x、y满足x2+（y2）21，则的取值范围是
5、 17（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB平面BCD，BCD是等边三角形若侧面ABD的面积为1，则球O的表面积的最小值为 三、解答题：（共5小题）18（14分）已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍（1）求圆台两底面的半径；（2）如图，点B为下底面圆周上的点，且AOB120，求A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值19（14分）如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90，求证：平面PEF
6、平面PBC20（14分）已知点M（3，1），直线axy+40及圆（x1）2+（y2）24（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线axy+40与圆相切，求a的值；（3）若直线axy+40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值21（16分）如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且EDCF，现沿DC把CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC，CDF，ABD沿BC，CD，BD折起，使EFA三点重合于点A'（1）求证：BA'CD；（2）求二面角BCDA'的正切值的最小值22（16分）如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴的正半
7、轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB3（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT212，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分EAF，求证：直线EF的斜率为定值2019-2020学年浙江省嘉兴一中、湖州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分）1（4分）若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D120【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值【解答】解：若直线经过两
8、点，则直线的斜率等于 设直线的倾斜角等于，则有tan再由 0可得 ，即30，故选：A【点评】本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题2（4分）如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A平行B相交C平行或相交D垂直相交【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行故这两个平面有可能相交或平行这两个平面的
9、位置关系是相交或平行故选：C【点评】本题考查两个平面的位置关系的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养3（4分）如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）AB2C3D4【分析】该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，由此能求出该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积【解答】解：如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积：S3故选：C【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查旋转体、球的
10、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（4分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，n，且m，n，则D若m，n，且，则mn【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得mn【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：在A中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，n，且m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，且，则线面垂直、面面垂直的性质定理得mn，故D正确故选：
11、D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题5（4分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A相交B平行C异面而且垂直D异面但不垂直【分析】根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断AB，CD的位置关系【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则ABCE；DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60；AB，CD异面但不垂直故选：D【点评】考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直
12、观图6（4分）已知圆O1：x2+y21与圆O2：（x3）2+（x+4）216，则圆O1与圆O2的位置关系为（）A外切B内切C相交D相离【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切【解答】解：圆O1的圆心为O（0，0），半径等于1，圆O2的圆心为（3，4），半径等于4，它们的圆心距等于5，等于半径之和，故两个圆相外切，故选：A【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于中档题7（4分）若实数x，y满足x2+y22x2y+10，则的取值范围为（）A0，B，+）C（D，0）【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，求出圆心（1，1）到
13、直线txy2t+40的距离d1，即可得出所求式子的范围【解答】解：令t，即txy2t+40，表示一条直线；又方程x2+y22x2y+10可化为（x1）2+（y1）21，表示圆心为（1，1），半径1的圆；由题意直线与圆有公共点，圆心（1，1）到直线txy2t+40的距离d1，t，即的取值范围为，+）故选：B【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，熟练运用数形结合思想是解本题的关键8（4分）已知点P是直线l：3x+4y70上的动点，过点P引圆C：（x+1）2+y2x2（r0）的两条切线PM，PN，M，N为切点，当MPN的最大值为时，则r的值为（）A4B3C2D1【分析】因为点P
14、在直线l：3x+4y70上，连接PC，当PCl时，MPN最大，再利用点到直线的距离公式可得【解答】解：因为点P在直线l：3x+4y70上，连接PC，当PCl时，MPN最大，由题意知，此时MPN，所以CPM，所以|PC|2r，又因为C到l的距离d2，所以r1，故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题9（4分）对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|x2x1|+|y2y1|给出下列三个命题：若点C在线段AB上则AC+BCAB；在ABC中，若C90，则AC2+BC2AB2；在ABC中，AC+BCAB其中的真命题为（）ABCD【
15、分析】首先分析题目任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：|AB|x2x1|+|y2y1|，对于若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然|AC|+|CB|AB|成立成立故正确对于在ABC中，若C90，则|AC|2+|CB|2|AB|2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于在ABC中，用坐标表示|AC|+|CB|然后根据绝对值不等式可得到大于等于|AB|不成立，故可得到答案【解答】解：若点C在线段AB上，设点C（x0，y0），那么x0在x1，x2之间y0在y1，y2之间，|AC|+|CB|x0x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y
16、2y0|x2x1|+|y2y1|AB|，故正确；平方后不能消除x0，y0，命题不成立，故不正确；在ABC中，|AC|+|CB|x0x1|+|y0y1|+|x2x0|+|y2y0|x0x1+y0y1+x2x0+y2y0|x2x1|+|y2y1|AB|，故不正确故选：C【点评】本题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求属于中档题目10（4分）如图，在菱形ABCD中，BAD60，线段AD，BD的中点分别为E，F现将ABD沿对角线BD翻折，使二面角ABDC的在大小为120，则异面直线图BE与CF所成角的余弦值为（）ABCD【分析】取ED中点M连接FM，
17、AF，设菱形ABCD的边长为4，可得MFC（或补角）为BE与CF所成角在MFC中，cosMFC即可【解答】解：如图，取ED中点M连接FM，AF，设菱形ABCD的边长为4，因为BAD60，AFBD，CFBD，则MFC（或补角）为BE与CF所成角AFBECF2，在AFC中，AFC120，可得AC26，在ACD中，cosADC在DMC中，CD3在MFC中，cosMFC故选：C【点评】本题考查了空间线线角的求法，考查了计算能力，属于中档题二、填空题：（共7小题，每小题5分）11（5分）在直观图（如图）中，四边形为OABC菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO周长为12cm，面积为8cm
18、2【分析】由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是矩形，其中OA2cm，OC4cm，由此能求出四边形ABCO的周长和面积【解答】解：在直观图中，四边形为OABC菱形且边长为2cm，由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是矩形，其中OA2cm，OC4cm，四边形ABCO的周长为：2（2+4）12（cm），面积为S248（cm2）故答案为：12，8【点评】本题考查四边形的周长和面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题12（5分）如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为，体积为【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱
19、锥，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，且PAAB2，则四棱锥的最长棱长与体积可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，且PAAB2，则该几何体最长棱的长度为；体积为V故答案为：；【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题13（5分）直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24k+m0的两根，若l1l2，则m2；若l1l2，则m2【分析】直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24k+m0的两根，利用根与系数的关系可得：k1+k22，k1k2再利用根据相互垂直、平行与斜率之间的关系即可
20、得出【解答】解：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24k+m0的两根，k1+k22，k1k2若l1l2，k1k21，解得m2若l1l2，则k1k2，又k1+k22，k1k2联立解得m2故答案为：2，2【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直及平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）如果平面直角坐标系内的两点A（a1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为xy+10【分析】利用垂直平分线的性质即可得出【解答】解：kAB1，线段AB的中点为，两点A（a1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，kL1，其准线方程为：yx，
21、化为：xy+10故答案为：xy+10【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（6分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为2，CE和该截面所成角的正弦值为【分析】取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，推导出平面MNG平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积；以D1为原点，D1A
22、1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE和该截面所成角的正弦值【解答】解：取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，MGEF，NGEP，MGNGG，EFEPE，平面MNG平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，PE2，EF，四边形PEFH是矩形，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为：S矩形PEFH2以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，2，0），F（0，1，0），H（0，1，2），C（0，2，2），（1，0，2），（1，1，0）
23、，（1，1，2），设平面EFHP的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设CE和该截面所成角为，则sinCE和该截面所成角的正弦值为故答案为：2，【点评】本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16（5分）已知实数x、y满足x2+（y2）21，则的取值范围是0，【分析】构造直线x+0，过圆上一点P作直线的垂线PM，则sinPOM，求出POM的范围即可得到答案【解答】解：P（x，y）为圆x2+（y2）21上的任意一点，则P到直线x+y0的距离PMx+，sinPOM，设圆x2+（y
24、2）21与直线ykx相切，则1，解得k，POM的最小值为0，最大值为60，0sinPOM，故答案为：0，【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属难题17（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB平面BCD，BCD是等边三角形若侧面ABD的面积为1，则球O的表面积的最小值为【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，设BCD是边长为a的等边三角形，可得ABBCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，R（当且仅当a2时取等号），即可求出表面积最小值【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，在四面体ABCD中，AB平面BCD，设BCD是边长为a的
25、等边三角形ABBD2，即AB，RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心为G，作OGAB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE，BG，R（当且仅当a2时取等号）四面体ABCD外接球O的表面积为S4R24故答案为：【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键三、解答题：（共5小题）18（14分）已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍（1）求圆台两底面的半径；（2）如图，点B为下底面圆周上的点，且AOB120，求A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值【分析】（1）设圆台上
26、底面半径为r，则下底面半径为2r，且ASO30推导出SA2rSA4r从而ra由此能求出圆台上底面半径和下底面半径（2）过点B作BHAO于点H，连接AH，推导出OOBH，BH面AOOA，从而BAH为AB与平面AOOA所成的角，由此能求出A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值【解答】解：（1）如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且ASO30在RtSOA中，sin30，SA2r在RtSOA中，SA4rSASAAA，即4r2r2a，ra故圆台上底面半径为a，下底面半径为2a（2）过点B作BHAO于点H，连接AH，OO面AOB，OOBH，BH面AOOA，BAH为A
27、B与平面AOOA所成的角，AOB120，OB2a，OHa，BH，AH，ABa，sinBAH，A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值为【点评】本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（14分）如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90，求证：平面PEF平面PBC【分析】（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EFAB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF平面PAB（2）证明PEAC，利用
28、平面与平面垂直的判定定理证明PE平面ABC，通过证明PEBCEFBC，EFPEE，证明BC平面PEF，然后推出平面PEF平面PBC【解答】（本小题满分14分）证明：（1）E，F分别是AC，BC的中点，EFAB（1分）又EF平面PAB，（2分）AB平面PAB，（3分）EF平面PAB（4分）（2）在三角形PAC中，PAPC，E为AC中点，PEAC（5分）平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面ABC（7分）PEBC（8分）又EFAB，ABC90，EFBC，（10分）又EFPEE，BC平面PEF（12分）平面PEF平面PBC（14分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平
29、面垂直的性质定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力20（14分）已知点M（3，1），直线axy+40及圆（x1）2+（y2）24（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线axy+40与圆相切，求a的值；（3）若直线axy+40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值【分析】（1）点M（3，1）在圆（x1）2+（y2）24外，故当x3时满足与M相切，由此能求出切线方程（2）由axy+40与圆相切知2，由此能求出a（3）圆心到直线的距离d，l2，r2，由r2d2+（）2，能求出a【解答】解：（1）点M（3，1）到圆心（1，2）的距离d2圆半径r，点M在圆（x1）2+（y2）24外，当x3时满足
30、与M相切，当斜率存在时设为y1k（x3），即kxy3k+10，由，k所求的切线方程为x3或3x4y50（5分）（2）由axy+40与圆相切，知2，（7分）解得a0或a（9分）（3）圆心到直线的距离d，（10分）又l2，r2，由r2d2+（）2，解得a（12分）【点评】本题考查圆的切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离、两点间距离等知识点的合理运用21（16分）如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且EDCF，现沿DC把CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC，CDF，ABD沿BC，CD，BD折起，使EFA三点重合于点A'
31、;（1）求证：BA'CD；（2）求二面角BCDA'的正切值的最小值【分析】（1）可得折叠后BA'A'C，BA'A'D，即可证明BA'CD（2）作AECD交CD于点E，连结BE可得A'EB为二面角BCDA'的平面角令A'Ca，A'Db，a+b2，易得图3中，tan2，利用a+b2即可求解【解答】解：（1）证明：折叠前，BEEC，BAAD，折叠后BA'A'C，BA'A'D又A'CA'DA'，所以BA'平面A'CD，因此BA'CD（2
32、）作AECD交CD于点E，连结BEBA'CDA'EB为二面角BCDA'的平面角令A'Ca，A'Db，a+b2易得图3中，CAAD二面角BCDA'的正切值的最小值为2【点评】本题考查了空间线线垂直判定，二面角的大小求解，考查了计算能力，属于中档题，22（16分）如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB3（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT212，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分EAF，求证：直线EF的
33、斜率为定值【分析】（1）由圆心C到直线AB的距离为2，则圆C的半径为r因为圆C与x轴相切于点T（2，0），所以圆心C的坐标为C（2，），继而写出方程即可；（2）用反证法，假设P点存在，根据已知推出矛盾即可；（3）因为圆C上存在E、F两点，使得射线AB平分EAF，所以EABFAB，得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数设直线AE斜率为k且k0，则直线AE的方程为ykx+4，联立得，解得E点坐标，根据对称写出F点坐标，继而可得EF的斜率【解答】解：（1）由题知，圆心C到直线AB的距离为2，则圆C的半径为r因为圆C与x轴相切于点T（2，0），所以圆心C的坐标为C（2，），故圆C的方程为（2）因为圆
34、C的方程为，所以A（0，4），B（0，1）设P（x，y），则由PA2+PB2+PT212得x2+（y1）2+x2+（y4）2+（x2）2+y212，化简得，所以点P在以（）为圆心，为半径的圆上，又因为B（0，1），T（2，0），所以得直线BT的方程为x+2y20圆心（）到直线x+2y20的距离d，即直线x+2y20与圆相离，所以直线BT上不存在点P满足PA2+PB2+PT212（3）因为圆C上存在E、F两点，使得射线AB平分EAF，所以EABFAB，得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数设直线AE斜率为k且k0，则直线AE的方程为ykx+4，联立得，消去x化简得（k2+1）x2+（3k4）x0，解得x0或x，所以E（），用k替换点E坐标中的k得F（），由k0得xExF，则kEF，所以直线EF的斜率为定值【点评】本题考查了直线与圆的关系，涉及了直线的斜率公式，点到直线的距离公式，对称知识等，属于综合性题目，难度中等
