1、2019-2020学年甘肃省兰州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每题4分，共32分）1（4分）顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（）A平行四边形B菱形C梯形D正方形2（4分）等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A17B22C13D17或223（4分）已知直角三角形中30角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A2cmB4cmC6cmD8cm4（4分）从1到9这9个自然数中任取一个，既是2的倍数，又是3的倍数的概率是（）ABCD5（4分）下列函数的图象，不经过原点的是（）ABy2x2Cy（x1）21D6（4分）一个等腰梯形的两底之差为12，高为6
2、，则等腰梯形的锐角为（）A30B45C60D757（4分）下列四个点，在反比例函数y的图象上的是（）A（1，6）B（2，4）C（3，2）D（6，1）8（4分）已知关于x的函数yk（x+1）和y（k0）它们在同一坐标系中的大致图象是（）ABCD二、填空题（每空3分，共30分）9（3分）若，则锐角 10（3分）方程（x3）24的解是 11（3分）某学校的初三（1）班，有男生20人，女生23人现随机抽一名学生，则：抽到一名男生的概率是 12（3分）已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为 cm213（3分）反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足 14（3分）用配方法解方程x2
3、2x60，原方程可化为 15（3分）如图，在RtABC中，C90，AB10，BC6，则sinA 16（3分）菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC6cm，则对角线BD cm17（3分）已知关于x的一元二次方程（a1）x22x+10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 18（3分）已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0三、解答题（共68分）19（4分）计算：20（8分）在ABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，BD：DC2：1，BC7.8cm，求点D到AB的距离21（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AOD60，AB，AEBD于点E
4、，求OE的长22（8分）在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F求证：四边形AECF是菱形23（8分）如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度24（10分）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45，从地面B点测得C点的仰角为60已知AB20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）25（10分）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w
5、2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？26（12分）如图，二次函数y2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使SABDSABC，求点D的坐标2019-2020学年甘肃省兰州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，每题4分，共32分）1（4分）顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（）A平行四边形B菱形C梯形D正方形【分析】连接AC、BD，
6、根据三角形的中位线定理得到EHAC，EHAC，同理FGAC，FGAC，进一步推出EHFG，EHFG，即可得到答案【解答】解：连接AC、BD，E是AD的中点，H是CD的中点，EHAC，同理FGAC，EHFG，同理EFHG，四边形EFGH是平行四边形，故选：A【点评】本题主要考查了中点四边形，平行四边形的判定等知识点，解此题的关键是连接AC、BD，把它转化成三角形的中位线来证明题型较好，比较典型2（4分）等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A17B22C13D17或22【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长【解答】解：当腰长为4
7、时，则三角形的三边长为：4、4、9；4+49，不能构成三角形；因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长9+9+422故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键3（4分）已知直角三角形中30角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A2cmB4cmC6cmD8cm【分析】根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半解答【解答】解：直角三角形中30角所对的直角边为2cm，斜边的长为224cm故选：B【点评】本题主要考查了直角三角形30角所对的直角边
8、等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键4（4分）从1到9这9个自然数中任取一个，既是2的倍数，又是3的倍数的概率是（）ABCD【分析】从1到9这9个自然数中，既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，所以既是2的倍数，又是3的倍数的概率是九分之一【解答】解：P（既是2的倍数，又是3的倍数）故选：A【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比5（4分）下列函数的图象，不经过原点的是（）ABy2x2Cy（x1）21D【分析】根据函数图象上的点的坐标特征知，经过原点的函数图象，点（0，0）一定在函数的解析式上；反之，点（0，0）一定不在函数的解析式上
9、【解答】解：A、当x0时，y0，即该函数图象一定经过原点（0，0）故本选项错误；B、当x0时，y0，即该函数图象一定经过原点（0，0）故本选项错误；C、当x0时，y0，即该函数图象一定经过原点（0，0）故本选项错误；D、当x0时，原方程无解，即该函数图象一定不经过原点（0，0）故本选项正确故选：D【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标特征函数图象上的每一个点都在函数图象上，都适合该函数的解析式6（4分）一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为（）A30B45C60D75【分析】作梯形的两条高线，证明ABEDCF，则有BEFC，然后判断ABE为等腰直角三角形求解【解答】解：如图，
10、作AEBC、DFBC，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，BCAD12，AE6，四边形ABCD为等腰梯形，ABDC，BC，ADBC，AEBC，DFBC，AEFD为矩形，AEDF，ADEF，ABEDCF，BEFC，BCADBCEF2BE12，BE6，AE6，ABE为等腰直角三角形，BC45故选：B【点评】根据等腰梯形的性质，结合全等三角形求解7（4分）下列四个点，在反比例函数y的图象上的是（）A（1，6）B（2，4）C（3，2）D（6，1）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断【解答】解：1（6）6，248，3（2）6，（6）（1）6，点（3，2）在反比例函数y的图象上故选：D【点评】
11、本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk8（4分）已知关于x的函数yk（x+1）和y（k0）它们在同一坐标系中的大致图象是（）ABCD【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案【解答】解：当k0时，反比例函数的系数k0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；当k0时，反比例函数的系数k0，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限故选：A【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性
12、质，要掌握它们的性质才能灵活解题二、填空题（每空3分，共30分）9（3分）若，则锐角45【分析】首先求得cos的值，即可求得锐角的度数【解答】解：，cos，45故答案是：45【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，已知角的度数要能知道三角函数值，已知函数值也必须知道对应的角的度数10（3分）方程（x3）24的解是x11，x25【分析】方程的左边是一个完全平方的形式，右边是4，两边直接开平方有x32，然后求出方程的两个根【解答】解：（x3）24x32x32，x11，x25故答案是：x11，x25【点评】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，方程的左边的一个完全平方的形式，右边是一个非负数，
13、两边直接开平方，得到两个一元一次方程，求出方程的根11（3分）某学校的初三（1）班，有男生20人，女生23人现随机抽一名学生，则：抽到一名男生的概率是【分析】随机抽取一名学生总共有20+2343种情况，其中是男生的有20种情况利用概率公式进行求解即可【解答】解：抽到一名男生的概率是【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）12（3分）已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为32cm2【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可【解答】解：四边形ABC
14、D为正方形，ACBD8cm，ACBD，正方形ABCD的面积ACBD32cm2，故答案为：32【点评】本题考查正方形的性质，解题关键是掌握正方形的对角线相等且垂直，且当四边形的对角线互相垂直时面积等于对角线乘积的一半，比较容易解答13（3分）反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足k2【分析】由于反比例函数的图象在一、三象限内，则k+20，解得k的取值范围即可【解答】解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，则k+20，解得k2故答案为k2【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y（k0）中k的取值，当k0时，反比例函数的图象位于一、三象限；当k0时，反比例函数的图象位于二、四象限14
15、（3分）用配方法解方程x22x60，原方程可化为（x1）27【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果【解答】解：方程变形得：x22x6，配方得：x22x+17，即（x1）27故答案为：（x1）27【点评】此题考查了解一元二次方程配方法与直接开方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键15（3分）如图，在RtABC中，C90，AB10，BC6，则sinA【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案【解答】解：在RtABC中，C90，AB10，BC6，则sinA，故答案为：【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边
16、比邻边16（3分）菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC6cm，则对角线BD8cm【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可得解【解答】解：如图，菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC6cm，AB2045cm，AOAC3cm，又ACBD，BO4cm，BD2BO8cm故答案为：8【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，比较简单，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观17（3分）已知关于x的一元二次方程（a1）x22x+10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a2，且a1【分析】本题是根的判别式的
17、应用，因为关于x的一元二次方程（a1）x22x+l0有两个不相等的实数根，所以b24ac0，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0【解答】解：关于x的一元二次方程（a1）x22x+l0有两个不相等的实数根，b24ac0，即44（a1）10，解这个不等式得，a2，又二次项系数是（a1），a1故a的取值范围是a2且a1【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点18（3分）已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则a0，b
18、0，c0【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：由抛物线的开口方向向下可推出a0；因为对称轴在y轴左侧，对称轴为x0，又因为a0，b0；由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，c0【点评】考查二次函数yax2+bx+c系数符号的确定三、解答题（共68分）19（4分）计算：【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式11+32+1+【点评】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键2
19、0（8分）在ABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，BD：DC2：1，BC7.8cm，求点D到AB的距离【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CDDE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小【解答】解：过点D作DEAB于EAD平分BAC，DEAB，DCACCDDE又BD：DC2：1，BC7.8cmDC7.8（2+1）7.832.6cmDEDC2.6cm点D到AB的距离为2.6cm【点评】此题主要考查角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答21（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AOD60，AB，AEBD于点E，求OE的长【分析
20、】矩形对角线相等且互相平分，即OAOD，根据AOD60可得AOD为等边三角形，即OAAD，AEBD，E为OD的中点，即可求OE的值【解答】解：对角线相等且互相平分，OAODAOD60AOD为等边三角形，则OAAD，BD2DO，ABAD，AD2，AEBD，E为OD的中点OEODAD1，答：OE的长度为 1【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键22（8分）在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F求证：四边形AECF是菱形【分析】首先根据题意画出图形，再证明AO
21、ECOF，进而得到AECF，再根据垂直平分线的性质证明AECEAFCF，可得四边形AECF是菱形【解答】证明：O是AC的中点，AOCO，又在矩形ABCD中，ADBC，12在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AECF，又EF是AC的垂直平分线，AECE，AFCF，AECEAFCF，四边形AECF是菱形【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形23（8分）如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度【分析】设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（802x）
22、厘米，宽为（602x）厘米，根据长方形的面积公式结合截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解答】解：设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（802x）厘米，宽为（602x）厘米，依题意，得：（802x）（602x）8060，整理，得：x270x+6000，解得：x110，x260（不合题意，舍去）答：长方框的宽度为10厘米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键24（10分）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45，从地面B点测得C点的仰角为60已知AB20m
23、，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）【分析】过点C作CDAB，交AB于点D；设ADx本题涉及到两个直角三角形ADC、BDC，应利用其公共边AD构造等量关系，解三角形可得AD与BD与x的关系；借助ABADBD构造方程关系式，进而可求出答案【解答】解：过点C作CDAB，交AB于点D；设CDx，在RtADC中，有ADCDx，在RtBDC中，有BDx，又有ABADBD20；即xx20，解可得：x10（3+），答：气球离地面的高度CD为10（3+）米【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形25（10分）某商
24、场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台）与销售单价x（元）满足w2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价【解答】解：（1）yw（x20），（x20）（2x+80），2x2+120x1600；（2）y2x2+120x1600，2（x30）2+200，当x30元时，最大利润y200元【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据配方法求出二
25、次函数的顶点坐标是解题关键26（12分）如图，二次函数y2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使SABDSABC，求点D的坐标【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用方程来求m的值；（2）令y0，则通过解方程来求点B的横坐标；（3）利用三角形的面积公式进行解答【解答】解：（1）把A（1，0）代入y2x2+x+m，得212+1+m0，解得 m1；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y2x2+x+1令y0，则2x2+x+10，故x，解得 x1，x21故该抛物线与x轴的交点是（，0）和（1，0）点为A（1，0），另一个交点为B是（，0）；（3）抛物线解析式为y2x2+x+1，C（0，1），OC1SABDSABC，点D与点C的纵坐标的绝对值相等，当y1时，2x2+x+11，即x（2x+1）0解得 x0或x即（0，1）（与点C重合，舍去）和D（，1）符合题意当y1时，2x2+x+11，即2x2x20解得x即点（，1）和（，1）符合题意综上所述，满足条件的点D的坐标是（，1）或（，1）或（，1）【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点解答（3）题时，注意满足条件的点D还可以在x轴的下方
